安徽省宿州市十三所省重點中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末考試模擬試題含解析

安徽省宿州市十三所省重點中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末考試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，是的導函數(shù)，則函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．2．一個四面體各棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）A． B． C． D．3．某校開設10門課程供學生選修，其中、、三門由于上課時間相同，至多選一門，學校規(guī)定每位學生選修三門，則每位學生不同的選修方案種數(shù)是()A．70 B．98 C．108 D．1204．函數(shù)在上有唯一零點，則的取值范圍為A． B． C． D．5．設M為曲線C:y=2x2+3x+3上的點，且曲線C在點M處切線傾斜角的取值范圍為3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-6．用數(shù)學歸納法證明等式時，第一步驗證時，左邊應取的項是()A．1 B． C． D．7．的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項為A．-40 B．-20 C．20 D．408．若，則()A． B． C．或 D．或9．1+x-x210A．10 B．30 C．45 D．21010．設非零向量，，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．11．拋物線y2=4x的焦點為F，點A（3，2），P為拋物線上一點，且P不在直線AF上，則△PAF周長的最小值為（）A．4 B．5 C． D．12．已知雙曲線的焦距為，其漸近線方程為，則焦點到漸近線的距離為（）A．1 B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，則使成立的值是____________.14．設是數(shù)列的前n項和，且，，則________．15．根據(jù)如圖所示的偽代碼可知,輸出的結果為______.16．雙曲線的焦點是，若雙曲線上存在點，使是有一個內(nèi)角為的等腰三角形，則的離心率是______；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是定義域為的奇函數(shù)，且當時，，設“”.（1）若為真，求實數(shù)的取值范圍；（2）設集合與集合的交集為，若為假，為真，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知數(shù)列，的前n項和分別為，，，且.(1)求數(shù)列的前n項和；(2)求的通項公式.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，，平面，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20．（12分）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點是圓柱底面面圓周上的點.（1）求證：平面；（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的大小；（結果用反三角函數(shù)值表示）（3）若，是的中點，點在線段上，求的最小值.21．（12分）已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項．求n的值；求展開式的所有項的系數(shù)之和；求展開式中所有的有理項．22．（10分）在平面直角坐標系xoy中，已知直線的參數(shù)方程為，直線與拋物線相交于A,B兩點，求線段AB的長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】，令，得：，∴單調(diào)遞減區(qū)間為故選Ａ2、A【解題分析】試題分析：正四面體擴展為正方體，二者有相同的外接球，通過正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，求出球的表面積．由于正四面體擴展為正方體，二者有相同的外接球，所以正方體的棱長為：1，所以正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為：，故選A.考點：球內(nèi)接多面體3、B【解題分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、從A,B,C三門中選出1門,其余7門中選出2門,有種選法，②、從除A,B,C三門之外的7門中選出3門,有種選法；故不同的選法有63+35=98種；故選：B.點睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質進行分類；②按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．4、C【解題分析】分析：函數(shù)有唯一零點，則即可詳解：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且在上有唯一零點，故，解得故選點睛：函數(shù)為一次函數(shù)其單調(diào)性一致，不用分類討論，為滿足有唯一零點列出關于參量的不等式即可求解。5、D【解題分析】

求出導函數(shù)y'，傾斜角的范圍可轉化為斜率的范圍，斜率就是導數(shù)值，由可得y'的不等式，解之可得．【題目詳解】由題意y'=4x+3，切線傾斜角的范圍是[3π4,π)，則切線的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故選D．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點處的導數(shù)就是其圖象在該點處的切線的斜率．解題時要注意直線傾斜角與直線斜率之間的關系，特別是正切函數(shù)的性質．6、D【解題分析】由數(shù)學歸納法的證明步驟可知：當時，等式的左邊是，應選答案D．7、D【解題分析】令x=1得a=1.故原式=．的通項，由5-2r=1得r=2,對應的常數(shù)項=80，由5-2r=-1得r=3,對應的常數(shù)項=-40，故所求的常數(shù)項為40，選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個因式相乘，若第1個括號提出x,從余下的5個括號中選2個提出x，選3個提出；若第1個括號提出，從余下的括號中選2個提出，選3個提出x.故常數(shù)項==-40+80=408、B【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)的公式，列出方程，求出的值即可．【題目詳解】∵，∴，或，解得（不合題意，舍去），或；∴的值是1．故選：B．【題目點撥】本題考查了組合數(shù)公式的應用問題，是基礎題目．9、B【解題分析】1+x-x210=（-1-x+x2）10=[（x2-x）-1]10

的展開式的通項公式為C10rC10-rkx210-r-k-1k10、B【解題分析】

由，且，可得，展開并結合向量的數(shù)量積公式，可求出的值，進而求出夾角.【題目詳解】由，且，得，則，即，故，則，故.又，所以.故選：B【題目點撥】本題考查向量夾角的求法，考查向量的數(shù)量積公式的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.11、C【解題分析】

求周長的最小值，即求的最小值，設點在準線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此問題轉化為求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當、、三點共線時，最小，即可求出的最小值，得到答案?！绢}目詳解】由拋物線為可得焦點坐標，準線方程為：，由題可知求周長的最小值，即求的最小值，設點在準線上的射影為點，則根據(jù)拋物線的定義，可知，因此求的最小值即求的最小值，根據(jù)平面幾何知識，當、、三點共線時，最小，所以又因為，所以周長的最小值為，故答案選C【題目點撥】本題考查拋物線的定義，簡單性質的應用，判斷出、、三點共線時最小，是解題的關鍵，屬于中檔題。12、A【解題分析】

首先根據(jù)雙曲線的焦距得到，再求焦點到漸近線的距離即可.【題目詳解】由題知：，，.到直線的距離.故選：A【題目點撥】本題主要考查雙曲線的幾何性質，同時考查了點到直線的距離公式，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-4或2【解題分析】

當0時，；當時，．由此求出使成立的值．【題目詳解】，當0時，解得當時，，解得故答案為-4或2.【題目點撥】本題考查函數(shù)值的求法及應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．14、【解題分析】分析：把換成，可得的遞推式，從而得通項．詳解：，，∴，∴數(shù)列是首項和公差都為－1的等差數(shù)列，∴，從而．故答案為．點睛：在已知項和前項和的關系中，常常得用得出的遞推式，從而求得數(shù)列的通項公式，但有時也可轉化為的遞推式，得出與有關的數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，先求得，然后再去求．解題時要注意的求法．15、72【解題分析】

模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，可得當時不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為72.【題目詳解】模擬程序的運行，可得滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，；滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，;滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，，；不滿足條件，退出循環(huán)，輸出的值為72,故答案為72【題目點撥】本題考查循環(huán)結構的程序框圖的應用，當循環(huán)的次數(shù)不多或有規(guī)律時，常采用模擬執(zhí)行程序的方法解決，屬于基礎題．16、【解題分析】

根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應該為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【題目詳解】解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個腰應為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，且點在第一象限，故，等腰有一內(nèi)角為，即，由余弦定理可得，，由雙曲線的定義可得，，即，解得：.【題目點撥】本題考查了雙曲線的定義、性質等知識，解題的關鍵是要能準確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由已知可得，函數(shù)為上的奇函數(shù)、且為增函數(shù)，由命題為真，則，所以，從而解得；（2）由集合，若為真，則，因為“為假，為真”等價于“、一真一假”，因此若真假，則；若假真，則.從而可得，實數(shù)的取值范圍是.試題解析：∵函數(shù)是奇函數(shù)，∴，∵當時，，∴函數(shù)為上的增函數(shù)，∵，，∴，∴，若為真，則，解得（2），若為真，則，∵為假，為真，∴、一真一假，若真假，則；若假真，則綜上，實數(shù)的取值范圍是考點：1.函數(shù)性質的應用；2.命題的真假判斷及其邏輯運算.18、（1）（2）【解題分析】

（1）先將表示為，然后利用裂項求和法可求出；（2）先求出數(shù)列的前項和，于是得出，然后利用作差法可求出數(shù)列的通項公式．【題目詳解】（1）因為，所以；（2）因為，所以.當時.；當時，.故【題目點撥】本題考查裂項法求和以及作差法求數(shù)列的通項公式，求通項要結合遞推式的結構選擇合適的方法求數(shù)列通項，求和則需考查數(shù)列通項的結構合理選擇合適的求和方法進行計算，屬于?？碱}．19、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）通過證明，即可得證；（2）建立空間直角坐標系，利用法向量求解二面角的余弦值.【題目詳解】（1）平面，平面，所以，由已知條件得：，，所以平面.（2）由（1）結合已知條件以點為原點，，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，則：各點坐標為，，，，，所以，，，，，設是平面的一個法向量，則，即：，取，則得：，同理可求：平面的一個法向量.設：平面和平面成角為，則.【題目點撥】此題考查線面垂直的證明和求二面角的余弦值，關鍵在于熟練掌握線面垂直的判定定理，根據(jù)法向量的關系求解二面角的余弦值.20、（1）詳見解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)圓柱性質可得,由圓的性質可得,即可證明平面;（2）先判斷當三棱錐體積最大時的位置.過底面圓心作,即可得二面角的平面角為,根據(jù)所給線段關系解三角形即可求得,進而用反三角函數(shù)表示出即可.（3）將繞旋轉到使其共面,且在的反向延長線上,結合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【題目詳解】（1）證明:因為是圓柱的母線,平面所以又因為是圓柱的底面直徑所以,即又因為所以平面（2）當三棱錐體積最大時,底面積最大,所以到的距離最大,此時為設底面圓的圓心為,連接則,又因為所以平面因為,所以取中點,則過O作,垂足為則,所以為中點連接,由平面可知所以為二面角的平面角在中,,,所以則二面角的大小為（3）將繞旋轉到使其共面,且在的反向延長線上,如下圖所示:因為,,,,在中,由余弦定理可知則所以的最小值為【題目點撥】本題考查了線面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空間中最短距離的求法,綜合性較強,屬于中檔題.21、（I）；（II）；（III）有理項分別為，；.【解題分析】

在二項展開式的第六項的通項公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值；在二項展開式中，令，可得展開式的所有項的系數(shù)之和；二項式的展開式的通項公式為，令為整數(shù)，可求出的值，即可求得展開式中所有的有理項．【題目詳