2024屆福建省廈門市外國語學校數(shù)學高二下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

2024屆福建省廈門市外國語學校數(shù)學高二下期末學業(yè)質量監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底），若方程有且僅有四個不同的解，則實數(shù)的取值范圍是（）．A． B． C． D．2．已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．3．展開式中常數(shù)項為()A． B． C． D．4．已知為坐標原點，雙曲線上有兩點滿足，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．設，則的值為（）A．2 B．0 C． D．16．在的展開式中，含的項的系數(shù)是（）A．-832 B．-672 C．-512 D．-1927．函數(shù)y＝﹣ln（﹣x）的圖象大致為（）A． B．C． D．8．古有蘇秦、張儀唇槍舌劍馳騁于亂世之秋，今看我一中學子論天、論地、指點江山．現(xiàn)在高二某班需從甲、乙、丙、丁、戊五位同學中，選出四位同學組成重慶一中“口才季”中的一個辯論隊，根據(jù)他們的文化、思維水平，分別擔任一辯、二辯、三辯、四辯，其中四辯必須由甲或乙擔任，而丙與丁不能擔任一辯，則不同組隊方式有（）A．14種 B．種 C．種 D．24種9．已知a=1,b=3-2A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a10．六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有（）A．192種 B．216種 C．240種 D．288種11．已知的展開式中的系數(shù)為，則（）A．1 B． C． D．12．已知數(shù)列{an}滿足，則數(shù)列{an}的最小項為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的一個焦點到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是__________14．用1、2、3、4、5、6六個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是____________。15．直線與拋物線交于兩點，且經(jīng)過拋物線的焦點，已知，則線段的中點到準線的距離為___________________．16．已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當a＝3時，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求函數(shù)的值域；（Ⅱ）若方程在上只有三個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）2016年底某購物網(wǎng)站為了解會員對售后服務(包括退貨、換貨、維修等)的滿意度，從2016年下半年的會員中隨機調查了個會員，得到會員對售后服務的滿意度評分如下：958875829094986592100859095778770899390848283977391根據(jù)會員滿意度評分,將會員的滿意度從低到高分為三個等級:滿意度評分低于分分到分不低于分滿意度等級不滿意比較滿意非常滿意（1）根據(jù)這個會員的評分，估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率；（2）以(1)中的頻率作為概率，假設每個會員的評價結果相互獨立.（i）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員,求恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意的概率；（ii）若從下半年的所有會員中隨機選取個會員，記評分非常滿意的會員的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望．20．（12分）如圖，過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，點和點分別為橢圓的右頂點和上頂點，．（1）求橢圓的離心率；（2）過右焦點作一條弦，使，若的面積為，求橢圓的方程．21．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實數(shù)的最小值.22．（10分）設函數(shù)，．(1)解不等式；(2)設函數(shù)，且在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

首先需要根據(jù)方程特點構造函數(shù),將方程根的問題轉化為函數(shù)零點問題，并根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷出函數(shù)在上的零點個數(shù)，再轉化成方程解的問題，最后利用數(shù)形結合思想，構造兩個函數(shù)，轉化成求切線斜率問題，從而根據(jù)斜率的幾何意義得到解.【題目詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù)，，所以零點成對出現(xiàn)，依題意，方程有兩個不同的正根，又當時，，所以方程可以化為：，即，記，，設直線與圖像相切時的切點為，則切線方程為，過點，所以或（舍棄），所以切線的斜率為，由圖像可以得.選D.【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)零點、導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想、轉化與化歸思想，突顯了直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理的考查.屬中檔題.2、C【解題分析】

根據(jù)零點存在性定理，可得，然后比較大小，利用函數(shù)的單調性，可得結果.【題目詳解】由題意可知函數(shù)在上單調遞增，，，∴函數(shù)的零點，又函數(shù)的零點，，故選：C【題目點撥】本題考查零點存在性定理以及利用函數(shù)的單調性比較式子大小，難點在于判斷的范圍，屬基礎題.3、D【解題分析】

求出展開式的通項公式，然后進行化簡，最后讓的指數(shù)為零，最后求出常數(shù)項.【題目詳解】解:，令得展開式中常數(shù)項為，故選D.【題目點撥】本題考查了求二項式展開式中常數(shù)項問題，運用二項式展開式的通項公式是解題的關鍵.4、A【解題分析】

討論直線的斜率是否存在：當斜率不存在時，易得直線的方程，根據(jù)及點O到直線距離即可求得的關系，進而求得離心率；當斜率存在時，設出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，結合及點到直線距離即可求得離心率?！绢}目詳解】（1）當直線的斜率不存在時，由點到直線的距離為可知直線的方程為所以線段因為，根據(jù)等腰直角三角形及雙曲線對稱性可知，即雙曲線中滿足所以，化簡可得同時除以得，解得因為，所以（2）當直線的斜率存在時，可設直線方程為，聯(lián)立方程可得化簡可得設則，因為點到直線的距離為則，化簡可得又因為所以化簡得即所以，雙曲線中滿足代入化簡可得求得，即因為，所以綜上所述，雙曲線的離心率為所以選A【題目點撥】本題考查了雙曲線性質的應用，直線與雙曲線的位置關系，注意討論斜率是否存在的情況，計算量較大，屬于難題。5、C【解題分析】

分別令和即可求得結果.【題目詳解】令，可得：令，可得：故選【題目點撥】本題考查二項展開式系數(shù)和的相關計算，關鍵是采用賦值的方式構造出所求式子的形式.6、A【解題分析】

求出展開式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即可.【題目詳解】含的項的系數(shù)即求展開式中的系數(shù)減2倍的系數(shù)加的系數(shù)即含的項的系數(shù)是．故選A.【題目點撥】本題考查二項式定理，屬于中檔題．7、C【解題分析】

分析函數(shù)的定義域，利用排除法，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，所以可排除A、B、D，故選C．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別問題，其中解答中合理使用函數(shù)的性質，利用排除法求解是解答的關鍵，著重考查了判斷與識別能力，屬于基礎題．8、D【解題分析】五人選四人有種選擇方法，分類討論：若所選四人為甲乙丙丁，有種；若所選四人為甲乙丙戊，有種；若所選四人為甲乙丁戊，有種；若所選四人為甲丙丁戊，有種；若所選四人為乙丙丁戊，有種；由加法原理：不同組隊方式有種.9、A【解題分析】

將b、c進行分子有理化，分子均化為1，然后利用分式的基本性質可得出三個數(shù)的大小關系?！绢}目詳解】由3而3+2<6+5，所以b>c，又【題目點撥】本題考查比較大小，在含有根式的數(shù)中，一般采用有理化以及平方的方式來比較大小，考查分析問題的能力，屬于中等題。10、B【解題分析】分類討論，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根據(jù)加法原理可得結論．解：最左端排甲，共有=120種，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96種，根據(jù)加法原理可得，共有120+96=216種．故選B．11、D【解題分析】

由題意可得展開式中x2的系數(shù)為前一項中常數(shù)項與后一項x的二次項乘積，加上第一項x的系數(shù)與第二項x的系數(shù)乘積的和，由此列方程求得a的值．【題目詳解】根據(jù)題意知，的展開式的通項公式為，∴展開式中含x2項的系數(shù)為a＝，即10﹣5a＝，解得a＝．故選D．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應用問題，利用二項式展開式的通項公式是解決此類問題的關鍵．12、B【解題分析】

先利用，構造新數(shù)列，求出數(shù)列{an}的通項公式，結合通項公式的特點求解最小值.【題目詳解】因為，所以；因為所以；，以上各式相乘可得，所以，由于有最小值，所以的最小值為.故選：B.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，利用累乘法求出通項公式是求解本題的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用點到直線的距離公式計算出焦點到漸近線的距離，然后根據(jù)對應距離等于焦距的求解出的值，即可得到雙曲線的漸近線方程.【題目詳解】因為焦點到漸近線的距離，所以，所以，所以，所以漸近線方程為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查雙曲線漸近線方程的求解，難度一般.雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.14、40【解題分析】

將問題分成三步解決，首先將排列，再將插空排列，再根據(jù)已排好的位置將整體插空放入，利用分步乘法計數(shù)原理計算可得結果.【題目詳解】第一步：將進行排列，共有種排法第二步：將插空排列，共有種排法第三步：將整體插空放入，共有種排法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有：種排法本題正確結果：【題目點撥】本題考查分步乘法計數(shù)原理的應用，關鍵是能夠根據(jù)題意將問題拆分成幾個步驟來進行處理，要注意不重不漏.15、【解題分析】

先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標，設點坐標為，進而可得直線方程，把點代入可求得點坐標，進而根據(jù)拋物線的定義，即可求得答案．【題目詳解】由題意，拋物線知，設點坐標為，由直線過焦點，所以直線的方程為，把點代入上式得，解得，所以，所以線段中點到準線的距離為，故答案為.【題目點撥】本題主要考查了直線與拋物線的關系的應用，其中解答中涉及拋物線的焦點弦的問題時，常常利用拋物線的定義來解決，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔題.16、【解題分析】

由復數(shù)乘法法則即可計算出結果【題目詳解】.【題目點撥】本題考查了復數(shù)的乘法計算，只需按照計算法則即可得到結果，較為簡單三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由a＝3可得，去絕對值，分類討論解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由題意可得有解，運用絕對值不等式的性質可得此不等式左邊的最小值，解a的不等式可得所求范圍．【題目詳解】（1）當a＝3時，即為，等價于或或，解得或或，則原不等式的解集為；（2）不等式的解集非空等價于有解．由，（當且僅當時取得等號），所以，解得，故a的取值范圍是．【題目點撥】本題考查分類討論解絕對值不等式以及不等式能成立求參數(shù)的問題，考查學生分類討論的思想，是一道容易題.18、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解題分析】分析：（1）由二倍角公式對函數(shù)化一，得到值域；（2），則，根據(jù)三角函數(shù)的圖像得到或，解出即可.詳解：（Ⅰ）解法1：=，函數(shù)的值域為.解法2：=，函數(shù)的值域為.（Ⅱ），則，或，即：或.由小到大的四個正解依次為：，，，.方程在上只有三個實數(shù)根.，解得：.點睛：函數(shù)的零點或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或對數(shù)式及三角函數(shù)式結構的函數(shù)零點或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點、圖象交點及方程根的個數(shù)問題；(2)應用函數(shù)零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題．研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)。同時在解題過程中要注意轉化與化歸、函數(shù)與方程、分類討論思想的應用．19、(1)可估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率分別為和.(2)（i）；（ii）分布列見解析，0.6.【解題分析】試題分析：（1）由給出的個數(shù)據(jù)可得，非常滿意的個數(shù)為，不滿意的個數(shù)為，比較滿意的個數(shù)為，由此可估算該購物網(wǎng)站會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率；（2）記“恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意”為事件，則.（ii）的可能取值為，由題意，隨機變量由此能求出的分布列，數(shù)學期望及方差.試題解析：（1）由給出的個數(shù)據(jù)可得，非常滿意的個數(shù)為，不滿意的個數(shù)為，比較滿意的個數(shù)為，，可估算該購物網(wǎng)店會員對售后服務比較滿意和非常滿意的頻率分別為和，（2）（i）記“恰好一個評分比較滿意，另一個評分非常滿意”為事件，則.（ii）的可能取值為，，，，，則的分布列為由題可知.20、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由可得，計算進而得答案。（2）設直線的方程，聯(lián)立方程組，利用韋達定理，代入的面積公式計算整理即可。【題目詳解】（1），，，，