遼寧省沈陽(yáng)市交聯(lián)體2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

遼寧省沈陽(yáng)市交聯(lián)體2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則點(diǎn)Z的軌跡為（）A．雙曲線的一支 B．雙曲線 C．一條射線 D．兩條射線2．某教師準(zhǔn)備對(duì)一天的五節(jié)課進(jìn)行課程安排，要求語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)、物理、化學(xué)每科分別要排一節(jié)課，則數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，物理不排最后一節(jié)的情況下，化學(xué)排第四節(jié)的概率是（）A． B．C． D．3．將紅、黑、藍(lán)、黃4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為（）A．18B．24C．30D．364．如圖1是把二進(jìn)制數(shù)化為十制數(shù)的一個(gè)程序框圖,則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A.B.C.D.否否開始是5．下列運(yùn)算正確的為（）A．（為常數(shù)） B．C． D．6．已知函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)是A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i8．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．9．若，則()A．2 B．0 C．-1 D．-210．如圖,陰影部分的面積是（）A． B． C． D．11．若實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線上恰有4個(gè)不同的點(diǎn)滿足，其中，，則雙曲線C的虛軸長(zhǎng)的取值范圍為（）A． B． C． D．12．若函數(shù)f(x)=x3-ax2A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)>3 C．a(chǎn)≤3 D．0<a<3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則______.14．把10個(gè)相同的小球全部放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的小球數(shù)不小于盒子的編號(hào)數(shù)，則不同的方法共有___________種15．已知函數(shù)在定義域內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______16．設(shè)函數(shù)是定義在上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)，時(shí)，，則____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）我國(guó)是枇把生產(chǎn)大國(guó)，在對(duì)枇杷的長(zhǎng)期栽培和選育中，形成了眾多的品種．成熟的枇杷味道甜美，營(yíng)養(yǎng)頗豐，而且中醫(yī)認(rèn)為枇杷有潤(rùn)肺、止咳、止渴的功效．因此，枇杷受到大家的喜愛．某果農(nóng)調(diào)查了枇杷上市時(shí)間與賣出數(shù)量的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)如表所示：結(jié)合散點(diǎn)圖可知，線性相關(guān)．（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程＝（其中，用假分?jǐn)?shù)表示）；（Ⅱ）計(jì)算相關(guān)系數(shù)，并說(shuō)明（I）中線性回歸模型的擬合效果．參考數(shù)據(jù)：；參考公式：回歸直線方程＝中的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：；相關(guān)系數(shù)18．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)a＝3時(shí)，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)/(x.（1）當(dāng)時(shí)，求在最小值；（2）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；（3）求證：.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像在區(qū)間上沒有交點(diǎn).22．（10分）已知復(fù)數(shù)滿足：，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.（I）求復(fù)數(shù)；（Ⅱ）設(shè)，且，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：利用兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的絕對(duì)值表示兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，來(lái)分析已知等式的意義．詳解：∵復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，則點(diǎn)Z到點(diǎn)（1，2）的距離減去到點(diǎn)（﹣2，﹣1）的距離之差等于3，而點(diǎn)（1，2）與點(diǎn)（﹣2，﹣1）之間的距離為3，故點(diǎn)Z的軌跡是以點(diǎn)（1，2）為端點(diǎn)的經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，﹣1）的一條射線．故選C．點(diǎn)睛：本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的絕對(duì)值的意義，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的絕對(duì)值表示兩個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．2、C【解題分析】

先求出事件：數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，物理不排最后一節(jié)的概率，設(shè)事件：化學(xué)排第四節(jié)，計(jì)算事件的概率，然后由公式計(jì)算即得．【題目詳解】設(shè)事件：數(shù)學(xué)不排第一節(jié)，物理不排最后一節(jié).設(shè)事件：化學(xué)排第四節(jié).，，故滿足條件的概率是.故選：C．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查條件概率計(jì)算，考查古典概型概率計(jì)算，考查實(shí)際問(wèn)題的排列組合計(jì)算，屬于中檔題.3、C【解題分析】解：由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里的種數(shù)是C4把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有A3而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個(gè)盒子里有A3∴編號(hào)為紅球和藍(lán)球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是C424、C【解題分析】略5、C【解題分析】分析：由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可得．詳解：，，，．故選C．點(diǎn)睛：本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，牢記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是解題關(guān)鍵．6、A【解題分析】

先將函數(shù)有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程有實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)單調(diào)性，再結(jié)合圖像，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由得，令，則，設(shè)，則，由得；由得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以；又當(dāng)時(shí)，，，作出函數(shù)圖像如下：因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以與有兩不同交點(diǎn)，由圖像可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，通常需要將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)來(lái)處理，通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)單調(diào)性、最值等，根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想求解，屬于?？碱}型.7、B【解題分析】分析：化簡(jiǎn)已知復(fù)數(shù)z，由共軛復(fù)數(shù)的定義可得．詳解：化簡(jiǎn)可得z=∴z的共軛復(fù)數(shù)為1﹣i.故選B．點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】

求導(dǎo)，把分別代入導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)，得到斜率和切點(diǎn)，再計(jì)算切線方程.【題目詳解】將代入導(dǎo)函數(shù)方程，得到將代入曲線方程，得到切點(diǎn)為：切線方程為：故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了曲線的切線，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、C【解題分析】令可得：，令，可得：，據(jù)此可得：-1.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：因?yàn)槎?xiàng)式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時(shí)根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項(xiàng)展開式各項(xiàng)系數(shù)和的一種重要方法．10、C【解題分析】由定積分的定義可得，陰影部分的面積為.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：利用定積分求曲線圍成圖形的面積的步驟：(1)畫出圖形；(2)確定被積函數(shù)；(3)確定積分的上、下限，并求出交點(diǎn)坐標(biāo)；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積．求解時(shí)，注意要把定積分與利用定積分計(jì)算的曲線圍成圖形的面積區(qū)別開：定積分是一個(gè)數(shù)值(極限值)，可為正，可為負(fù)，也可為零，而平面圖形的面積在一般意義上總為正．11、C【解題分析】

設(shè)點(diǎn)，由結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得出點(diǎn)的軌跡方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為雙曲線與點(diǎn)的軌跡有個(gè)公共點(diǎn)，并將雙曲線的方程與動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，可得出答案．【題目詳解】依題意可得，設(shè)，則由，得，整理得.由得，依題意可知，解得，則雙曲線C的虛軸長(zhǎng).12、A【解題分析】

函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在(0,2)【題目詳解】由題意得f(x)=x3-ax2+1?f'x=3x2-2ax，因?yàn)楹瘮?shù)【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上恒成立的問(wèn)題。通常先求導(dǎo)數(shù)然后轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)恒成立的問(wèn)題。屬于中等題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1.【解題分析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z，然后求解其模即可.詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則有：，則：.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)模的計(jì)算等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、15【解題分析】

將編號(hào)為的三個(gè)盒子中分別放入個(gè)小球，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榉细舭宸ǖ男问?，利用隔板法求解得到結(jié)果.【題目詳解】編號(hào)為的三個(gè)盒子中分別放入個(gè)小球，則還剩個(gè)小球則問(wèn)題可變?yōu)榍髠€(gè)相同的小球放入三個(gè)盒子中，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球的不同方法的種數(shù)由隔板法可知共有：種方法本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查隔板法求解組合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠首先將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為符合隔板法的形式，隔板法主要用來(lái)處理相同元素的組合問(wèn)題.15、【解題分析】

根據(jù)題意可知在內(nèi)能成立，利用參變量分離法，轉(zhuǎn)化為在上能成立，令，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】∵函數(shù)，∴在上能成立，∴，令，即為，∵的最大值為，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)存在減區(qū)間，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分離變量，轉(zhuǎn)化為求最值．屬于中檔題．16、【解題分析】

依題意能得到f（）＝f（），代入解析式即可求解.【題目詳解】依題意得f（﹣x）＝f（x）且f（x+2）＝f（x），∴f（）＝f（）＝f（2）＝f（）2，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），因?yàn)?，所以擬合效果較好?！窘忸}分析】

（Ⅰ）利用最小二乘法求線性回歸方程；（Ⅱ）直接依據(jù)公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)，比較即可。【題目詳解】（1），，，，所以＝，則，故所求線性回歸方程為；（II），故＝,故（I）中線性回歸模型的擬合效果較好.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線性回歸方程的求法以及相關(guān)系數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用。18、（1）；（2）．【解題分析】

（1）由a＝3可得，去絕對(duì)值，分類討論解不等式，求并集，可得所求解集；（2）由題意可得有解，運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得此不等式左邊的最小值，解a的不等式可得所求范圍．【題目詳解】（1）當(dāng)a＝3時(shí)，即為，等價(jià)于或或，解得或或，則原不等式的解集為；（2）不等式的解集非空等價(jià)于有解．由，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），所以，解得，故a的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題考查分類討論解絕對(duì)值不等式以及不等式能成立求參數(shù)的問(wèn)題，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道容易題.19、（Ⅰ）1；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)求出的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出最大值．（Ⅱ）求出的單調(diào)性．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，再判斷出的單調(diào)性即可．【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?.令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以.（Ⅱ），.令，得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以.依題意有，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.又，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求最值、求含參數(shù)的范圍、恒成立的問(wèn)題．是高考中的必考點(diǎn)，也是高考中的壓軸題．在解答時(shí)應(yīng)該仔細(xì)審題．20、（1）1；（2）；（3）見解析【解題分析】分析：（I）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通過(guò)對(duì)a分a=0，a＜0與當(dāng)a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（Ⅲ）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當(dāng)x＞1時(shí)，，即.，再構(gòu)造函數(shù)，令，有，從而，問(wèn)題可解決；（法二）可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．當(dāng)n=1時(shí)，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，成立；設(shè)時(shí)，命題成立，即，，再去證明n=k+1時(shí)，即可（需用好歸納假設(shè)）．詳解：（1），定義域?yàn)?∵∴在上是增函數(shù)..（2）因?yàn)橐驗(yàn)槿舸嬖趩握{(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解.即有有解.①當(dāng)時(shí)，明顯成立.②當(dāng)時(shí)，開口向下的拋物線，總有有解；③當(dāng)時(shí)，開口向上的拋物線，即方程有正跟.當(dāng)時(shí)，；，解得.綜合①②③知：.綜上所述：的取值范圍為.（3）（法一）根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即.令，則有，∴.∵，∴.（法二）當(dāng)時(shí)，.∵，∴，即時(shí)命題成立.設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即.∴時(shí)，根據(jù)（1）的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，，即.令，則有，則有，即時(shí)命題也成立.因此，由數(shù)學(xué)歸納法可知不等式成立.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查最值的求法，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間，則函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大于0有解.21、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（Ⅱ）由題意，求得，利用導(dǎo)數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（Ⅲ）令，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可作出證明.【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處的切線方程是；（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（Ⅲ）令，可以證明函數(shù)的最小值是，所以恒成立，所以兩個(gè)圖像沒有交點(diǎn).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，