2024屆甘肅省張掖市高臺(tái)縣一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆甘肅省張掖市高臺(tái)縣一中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，，則的取值范圍為（）A．或 B． C． D．或2．用數(shù)字0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字且大于3000的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)有（）A．250個(gè) B．249個(gè) C．48個(gè) D．24個(gè)3．已知函數(shù)，給出下列四個(gè)說法：；函數(shù)的周期為；在區(qū)間上單調(diào)遞增；的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱其中正確說法的序號(hào)是A． B． C． D．4．若函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系A(chǔ)． B．C． D．5．在某次體檢中，學(xué)號(hào)為（）的四位同學(xué)的體重是集合中的元素，并滿足，則這四位同學(xué)的體重所有可能的情況有（）A．55種 B．60種 C．65種 D．70種6．已知函數(shù)在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已如集合，，則（）A． B． C． D．8．在等比數(shù)列中，若，，則A． B．C． D．9．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i3A．-i B．i C．1 D．-110．為了考察兩個(gè)變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨(dú)立地做10次和15次驗(yàn)，并且利用線性回歸方程，求得回歸直線分別為和．已知兩個(gè)人在試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對變x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都為t，那么下列說法正確的（）A．與相交于點(diǎn)（s，t）B．與相交，交點(diǎn)不一定是（s，t）C．與必關(guān)于點(diǎn)（s，t）對稱D．與必定重合11．若的展開式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是()A．792 B．-792 C．330 D．-33012．已知向量是空間的一組基底，則下列可以構(gòu)成基底的一組向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．5人站成一排，若其中甲、乙不相鄰的不同排法共有m種，則m的值為_______．14．某校高二成立3個(gè)社團(tuán)，有4名同學(xué)，每人只選一個(gè)社團(tuán)，恰有1個(gè)社團(tuán)沒有同學(xué)選，共有種不同參加方案（用數(shù)字作答）.15．已知函數(shù)f(x)=|lnx|,0<x≤e3-x+e3+3,x>16．已知曲線在點(diǎn)處的切線為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四邊形為矩形，平面平面，，，，，點(diǎn)在線段上.（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求的長度.18．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是一個(gè)菱形，三角形PAD是一個(gè)等腰三角形，∠BAD＝∠PAD＝，點(diǎn)E在線段PC上，且PE＝3EC．（1）求證：AD⊥PB；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角E﹣AB﹣P的余弦值．19．（12分）已知復(fù)數(shù)，求下列各式的值：(Ⅰ)(Ⅱ)20．（12分）已知曲線在平面直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，有曲線.（1）將的方程化為普通方程，并求出的平面直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線和兩交點(diǎn)之間的距離.21．（12分）已知在△ABC中，|AB|＝1，|AC|＝1．（Ⅰ）若∠BAC的平分線與邊BC交于點(diǎn)D，求；（Ⅱ）若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求△ABC的面積．22．（10分）現(xiàn)從某高中隨機(jī)抽取部分高二學(xué)生,調(diào)査其到校所需的時(shí)間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時(shí)間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.(1)求直方圖中的值；(2)如果學(xué)生到校所需時(shí)間不少于1小時(shí),則可申請?jiān)趯W(xué)校住宿.若該校錄取1200名新生,請估計(jì)高二新生中有多少人可以申請住宿；(3)以直方圖中的頻率作為概率,現(xiàn)從該學(xué)校的高二新生中任選4名學(xué)生,用表示所選4名學(xué)生中“到校所需時(shí)間少于40分鐘”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】，所以，選A.點(diǎn)睛：形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三種解法：(1)分段討論法，利用絕對值號(hào)內(nèi)式子對應(yīng)方程的根，將數(shù)軸分為(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此處設(shè)a＜b)三個(gè)部分，在每個(gè)部分上去掉絕對值號(hào)分別列出對應(yīng)的不等式求解，然后取各個(gè)不等式解集的并集；(2)幾何法，利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的幾何意義：數(shù)軸上到點(diǎn)x1＝a和x2＝b的距離之和大于c的全體；(3)圖象法：作出函數(shù)y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的圖象，結(jié)合圖象求解.2、C【解題分析】先考慮四位數(shù)的首位，當(dāng)排數(shù)字4,3時(shí)，其它三個(gè)數(shù)位上課從剩余的4個(gè)數(shù)任選4個(gè)全排，得到的四位數(shù)都滿足題設(shè)條件，因此依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得滿足題設(shè)條件的四位數(shù)共有個(gè)，應(yīng)選答案C。3、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的周期性可排除，同時(shí)可以確定對．由，可去絕對值函數(shù)化為，可判斷對．由取特值，可確定錯(cuò)．【題目詳解】，所以函數(shù)的周期不為，錯(cuò)，，周期為．=，對．當(dāng)時(shí)，，，所以f(x)在上單調(diào)遞增．對．，所以錯(cuò)．即對，填．【題目點(diǎn)撥】本題以絕對值函數(shù)形式綜合考查三角函數(shù)求函數(shù)值、周期性、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)，需要從定義角度入手分析，也是解題之根本．4、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上為增函數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，是二次函數(shù)，其對稱軸為y軸，且在上為增函數(shù)，，，，則有，則；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性的判定以及應(yīng)用，涉及對數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

根據(jù)中等號(hào)所取個(gè)數(shù)分類討論，利用組合知識(shí)求出即可.【題目詳解】解：當(dāng)中全部取等號(hào)時(shí)，情況有種；當(dāng)中有兩個(gè)取等號(hào)，一個(gè)不取等號(hào)時(shí)，情況有種；當(dāng)中有一個(gè)取等號(hào)，兩個(gè)不取等號(hào)時(shí)，情況有種；當(dāng)中都不取等號(hào)時(shí)，情況有種；共種.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類討論研究組合問題，關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn)，是中檔題.6、B【解題分析】

根據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，可得在定義域中有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，然后利用根的分布情況，可得，最后利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得結(jié)果.【題目詳解】令，依題意得方程有兩個(gè)不等正根，，則，，令，在上單調(diào)遞減，，故的取值范圍是，故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點(diǎn)求參數(shù)，還考查二次函數(shù)根的分布問題，難點(diǎn)在于使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡，屬中檔題.7、A【解題分析】

求出集合A，B，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【題目詳解】由題意，集合，∴集合．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了描述法、區(qū)間表示集合的定義，絕對值不等式的解法，以及交集的運(yùn)算，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，.故選A.9、C【解題分析】分析：由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算求得結(jié)果．詳解：i3∴復(fù)數(shù)i3故選C點(diǎn)睛：本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】

根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點(diǎn)（s，t），判斷A說法正確．【題目詳解】解：根據(jù)線性回歸方程l1和l2都過樣本中心點(diǎn)（s，t），∴與相交于點(diǎn)，A說法正確．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

由題可得，寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，求得，進(jìn)而求得答案?！绢}目詳解】因?yàn)榈恼归_式中第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以通項(xiàng)為，令得所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式的系數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出，屬于簡單題。12、C【解題分析】

空間的一組基底，必須是不共面的三個(gè)向量，利用向量共面的充要條件可證明、、三個(gè)選項(xiàng)中的向量均為共面向量，利用反證法可證明中的向量不共面【題目詳解】解：，，，共面，不能構(gòu)成基底，排除；，，，共面，不能構(gòu)成基底，排除；，，，共面，不能構(gòu)成基底，排除；若、，共面，則，則、、為共面向量，此與為空間的一組基底矛盾，故、，可構(gòu)成空間向量的一組基底．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間向量基本定理，向量共面的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，判斷向量是否共面是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析，先安排甲乙之外的三人，形成了4個(gè)空位，再從這4個(gè)間隔選2個(gè)插入甲乙，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步分析：先安排除甲乙之外的3人，有種不同的順序，排好后，形成4個(gè)空位，在4個(gè)空位中，選2個(gè)安排甲乙，有種選法，則甲乙不相鄰的排法有種，即；故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的應(yīng)用，本題是不能相鄰問題，處理此類問題，需要運(yùn)用插空法．14、42【解題分析】試題分析：若恰有1個(gè)社團(tuán)沒人選，則問題轉(zhuǎn)化為4人選2個(gè)社團(tuán)，且每人只選擇一個(gè)社團(tuán)，可轉(zhuǎn)化為分組與分配問題，即?？键c(diǎn)：排列組合的綜合應(yīng)用。15、1【解題分析】試題分析：由題意得，0<lnx2<3?1<x2<e3，因?yàn)榇嬖趚1<x2<x3，f(x1)=f(考點(diǎn)：分段函數(shù)的性質(zhì)及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，著重考查了學(xué)生分析、解答問題的能力，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法的應(yīng)用，屬于中檔試題，本題的解答中，先確定1<x2<16、.【解題分析】分析：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得，利用且可得結(jié)果.詳解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由得，，，即，故答案為.點(diǎn)睛：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3)巳知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）先證明，又平面平面，即得平面；（2）以為原點(diǎn)，以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解方程即得解.【題目詳解】（1）證明：∵，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面.（2）以為原點(diǎn)，以，，為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，∴，，由題知，平面，∴為平面的一個(gè)法向量，設(shè)，則，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，∴，令，可得，∴，得或（舍去），∴.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間垂直關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）取中點(diǎn),連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得平面，由此證得.（2）以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過計(jì)算平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）取中點(diǎn),連接,由條件知均為等邊三角形，因此,而由線面垂直定理可證,又即證（2）由（1）知，從而；以建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，，，,，設(shè)面的法向量為則可得；設(shè)面的法向量為則可得由圖知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查線線垂直、線面垂直的證明，考查利用空間向量計(jì)算二面角的余弦值，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19、(1);(2).【解題分析】

由復(fù)數(shù)的平方，復(fù)數(shù)的除法，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求得下面各式值．【題目詳解】(Ⅰ)因?yàn)?所以；(Ⅱ)=.【題目點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.20、(1)，.(2)6.【解題分析】試題分析：(1)結(jié)合題意整理所給的方程可得的方程化為普通方程，并求出的平面直角坐標(biāo)方程分別為：，.(2)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圖形的幾何特征可得曲線和兩交點(diǎn)之間的距離是6.試題解析：（1）消參后得為，由得，∴的平面直角坐標(biāo)方程為.（2）∵圓心到直線的距離，∴.21、（Ⅰ）0（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）先利用基向量表示出，然后利用數(shù)量積進(jìn)行運(yùn)算；（Ⅱ）先利用基向量表示出，求出取最小值時(shí)，角的正弦值，然后可得面積.【題目詳解】（Ⅰ）∵AD是∠BAD的角平分線，∴，即∴．∴0.（Ⅱ）∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴．（5）．當(dāng)且僅當(dāng)5+4cosA＝1（5﹣4cosA），即cosA時(shí)取等號(hào)．此時(shí)△ABC的面積S．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，選擇合適的基底是求解的關(guān)鍵，基底選擇時(shí)一般是利用已知信