2024屆浙江省浙東北聯(lián)盟 數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2024屆浙江省浙東北聯(lián)盟數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測試試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個黃金矩形（寬除以長約等于0.6的矩形）先以寬為邊長做一個正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個正方形，以此循環(huán)做下去，最后在所形成的每個正方形里面畫出1/4圓，把圓弧線順序連接，得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個比例，現(xiàn)把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設(shè)為，每扇形的半徑設(shè)為滿足，若將的每一項(xiàng)按照上圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1，記前項(xiàng)所占的對應(yīng)正方形格子的面積之和為，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C． D．2．曲線在點(diǎn)處的切線方程是

A． B．C． D．3．設(shè)為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A．，則B．，則C．，則D．，則4．袋中有大小相同的5個球，分別標(biāo)有1,2,3,4,5五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機(jī)變量，則所有可能取值的個數(shù)是（）A．5 B．9 C．10 D．255．現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一升高二時面臨著選文理科的問題，學(xué)校抽取了部分男、女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個等高堆積條形圖：根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列統(tǒng)計結(jié)論是不正確的是()A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量B．樣本中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量C．樣本中的男生偏愛理科D．樣本中的女生偏愛文科6．某校團(tuán)委對“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計算得,參照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正確結(jié)論是()A．有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”B．有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”C．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”D．在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”7．三位女歌手與三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相鄰，則不同的排法數(shù)為A．48 B．72 C．120 D．1448．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A．4 B．7 C．14 D．9．.盒子里有25個外形相同的球，其中10個白的，5個黃的，10個黑的，從盒子中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率為A．15B．25C．110．從5名男生和5名女生中選3人組隊(duì)參加某集體項(xiàng)目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)為()A．90 B．60 C．120 D．11011．人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動定律:衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星至地球的連線)在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等.設(shè)橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c.李明根據(jù)所學(xué)的橢圓知識，得到下列結(jié)論：①衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c；②衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值越小，橢圓軌道越扁；③衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時最小，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時最大其中正確結(jié)論的個數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．312．從區(qū)間上任意選取一個實(shí)數(shù)，則雙曲線的離心率大于的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將正整數(shù)對作如下分組，第組為，第組為，第組為，第組為則第組第個數(shù)對為__________．14．在極坐標(biāo)系中，曲線被直線所截得的弦長為_______.15．正六棱柱相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的大小為________16．若向量，且，則等于________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2017年3月智能共享單車項(xiàng)目正式登陸某市，兩種車型“小綠車”、“小黃車”采用分時段計費(fèi)的方式，“小綠車”每30分鐘收費(fèi)元不足30分鐘的部分按30分鐘計算；“小黃車”每30分鐘收費(fèi)1元不足30分鐘的部分按30分鐘計算有甲、乙、丙三人相互獨(dú)立的到租車點(diǎn)租車騎行各租一車一次設(shè)甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為，，，三人租車時間都不會超過60分鐘甲、乙均租用“小綠車”，丙租用“小黃車”．求甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用的概率；2設(shè)甲、乙、丙三人所付的費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（12分）如圖，平面，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值為，求線段的長.19．（12分）某同學(xué)參加了今年重慶市舉辦的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三門學(xué)科競賽的初賽，在成績公布之前，老師估計他能進(jìn)復(fù)賽的概率分別為、、，且這名同學(xué)各門學(xué)科能否進(jìn)復(fù)賽相互獨(dú)立．（1）求這名同學(xué)三門學(xué)科都能進(jìn)復(fù)賽的概率；（2）設(shè)這名同學(xué)能進(jìn)復(fù)賽的學(xué)科數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．（12分）已知集合（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若命題命題且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)f（x）＝alnx﹣ex（a∈R）．其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性并求極值；（2）令函數(shù)g（x）＝f（x）+ex，若x∈[1，+∞）時，g（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（10分）選修4-5：不等式選講（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)定義求數(shù)列和，利用化簡求解，利用特殊值否定結(jié)論.【題目詳解】由題意得為以為長和寬矩形的面積，即；；又，故正確；因?yàn)椋訢錯誤,選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列求和以及利用遞推關(guān)系化簡，考查綜合分析求解能力，屬較難題.2、A【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線方程的斜率，即可得到切線方程．【題目詳解】曲線，解得y′=ex+xex，所以在點(diǎn)(2,1)處切線的斜率為1．曲線在點(diǎn)（2，1）處的切線方程是：y﹣1=x．即x﹣y+1=2．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查曲線的切線方程的求法，考查計算能力3、A【解題分析】

依據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置逐個判斷即可.【題目詳解】直線所在的方向向量分別記為，則它們分別為的法向量，因，故，從而有，A正確.B、C中可能平行，故B、C錯，D中平行、異面、相交都有可能，故D錯.綜上，選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查空間中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】號碼之和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9種.考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量．5、D【解題分析】由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量，男生偏愛理科，女生中有理科意愿的學(xué)生數(shù)量多于有文科意愿的學(xué)生數(shù)量，所以選D.6、B【解題分析】

通過與表中的數(shù)據(jù)6.635的比較，可以得出正確的選項(xiàng).【題目詳解】解:，可得有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

女歌手不相鄰，則先排男生，再對女生插空即可.【題目詳解】由插空法得．選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合用插空法解決問題，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

由題意利用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)和公差的值，可得結(jié)論．【題目詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．再根據(jù)，可得，，則，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件是從盒子中取出一個不是白球的小球，共有5+10=15種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的球是一個黑球，共有10種結(jié)果，∴根據(jù)等可能事件的概率得到P==1010、D【解題分析】

用所有的選法共有減去沒有任何一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)，即得結(jié)果【題目詳解】所有的選法共有種其中沒有任何一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)為：故至少有一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)為故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考的是排列，組合及簡單計數(shù)問題，考查組合的運(yùn)用，處理“至少有一名”類問題，宜選用間接法，是一道基礎(chǔ)題。11、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的焦半徑的最值來判斷命題①，根據(jù)橢圓的離心率大小與橢圓的扁平程度來判斷命題②，根據(jù)題中“速度的變化服從面積守恒規(guī)律”來判斷命題③。【題目詳解】對于命題①，由橢圓的幾何性質(zhì)得知，橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為a-c，最大值為a+c，所以，衛(wèi)星向徑的最小值為a-c，最大值為a+c，結(jié)論①正確；對于命題②，由橢圓的幾何性質(zhì)知，當(dāng)橢圓的離心率e=ca越大，橢圓越扁，衛(wèi)星向徑的最小值與最大值的比值a-ca+c對于命題③，由于速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，當(dāng)衛(wèi)星越靠近遠(yuǎn)地點(diǎn)時，向徑越大，當(dāng)衛(wèi)星越靠近近地點(diǎn)時，向徑越小，由于在相同時間掃過的面積相等，則向徑越大，速度越小，所以，衛(wèi)星運(yùn)行速度在近地點(diǎn)時最大，在遠(yuǎn)地點(diǎn)時最小，結(jié)論③錯誤。故選：C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓幾何量對橢圓形狀的影響，在判斷時要充分理解這些幾何量對橢圓形狀之間的關(guān)系，考查分析問題的能力，屬于中等題。12、D【解題分析】分析：求出m的取值范圍，利用幾何概型的計算公式即可得出.詳解：由題意得，，解得，即.故選：D.點(diǎn)睛：幾何概型有兩個特點(diǎn)：一是無限性；二是等可能性．基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】根據(jù)歸納推理可知，每對數(shù)字中兩個數(shù)字不相等，且第一組每一對數(shù)字和為，第二組每一對數(shù)字和為，第三組每對數(shù)字和為，第組每一對數(shù)字和為，第組第一對數(shù)為，第二對數(shù)為，第對數(shù)為，第對數(shù)為，故答案為.14、【解題分析】

將直線和曲線的方程化為普通方程，可知曲線為圓，然后計算圓心到直線的距離和半徑，則直線截圓所得弦長為?！绢}目詳解】曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線，所以圓心到直線的距離為，所求弦長為.故答案為：?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓相交時弦長的計算，而計算直線截圓所得弦長，有以下幾種方法：①幾何法：計算圓心到直線的距離，確定圓的半徑長，則弦長為；②弦長公式：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去或，得到關(guān)于另外一個元的二次方程，則弦長為或（其中為直線的斜率，且）；③將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)，為直線的傾斜角）與圓的普通方程聯(lián)立，得到關(guān)于的二次方程，列出韋達(dá)定理，則弦長為。15、【解題分析】

由正六棱柱的幾何特征可得為正六棱柱相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角計算即可.【題目詳解】解：如圖，由正六棱柱的幾何特征可知，則為正六棱柱相鄰兩個側(cè)面所成的二面角的平面角，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二面角的求解，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，是基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】

根據(jù)題目，可知，根據(jù)空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律，即可求解出的值．【題目詳解】由題意知，向量，即解得，故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)向量的垂直關(guān)系，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求參數(shù)．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解題分析】

（1）利用相互獨(dú)立事件的概率公式，分兩種情況計算概率即可；（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式求出各種情況下的概率，得出分布列，利用公式求解數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】（I）由題意得，甲乙丙在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用為事件A．則，答：甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用的概率為，（Ⅱ）ξ可能取值有2，2.5，3，3.5，4，∴；；；，．甲、乙、丙三人所付的租車費(fèi)用之和ξ的分布列為：ξ22.533.54P∴．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了相互對立事件的概率的計算，以及離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求解，其中正確理解題意，利用相互獨(dú)立事件的概率計算公式求解相應(yīng)的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、基本運(yùn)算求解能力等.18、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）（Ⅲ）【解題分析】

首先利用幾何體的特征建立空間直角坐標(biāo)系(Ⅰ)利用直線BF的方向向量和平面ADE的法向量的關(guān)系即可證明線面平行；(Ⅱ)分別求得直線CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解線面角的正弦值即可；(Ⅲ)首先確定兩個半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值計算公式得到關(guān)于CF長度的方程，解方程可得CF的長度.【題目詳解】依題意，可以建立以A為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系(如圖)，可得.設(shè)，則.(Ⅰ)依題意，是平面ADE的法向量，又，可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面.(Ⅱ)依題意，，設(shè)為平面BDE的法向量，則，即，不妨令z=1，可得，因此有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.(Ⅲ)設(shè)為平面BDF的法向量，則，即.不妨令y=1，可得.由題意，有，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意?所以，線段的長為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查用空間向量解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.19、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1），根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率的求法，即可求解三科都能進(jìn)復(fù)賽的概率；（2）由題意，可得隨機(jī)變量X可取，利用相互獨(dú)立事件的概率求法，求得隨機(jī)變量取每個值的概率，即可求得隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．詳解：設(shè)三科能進(jìn)復(fù)賽的事件分別為A、B、C，則，，．（1）三科都能進(jìn)復(fù)賽的概率為；（2）X可取0，1，2，1．；；；．所以，X的分布列為：X0121P數(shù)學(xué)期望點(diǎn)睛：本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率的計算，以及隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，此類問題的解答中要認(rèn)真審題，合理計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．20、(1).(2)或.【解題分析】分析：（1）分a＞0和a＜0兩種情況討論是否存在滿足條件的實(shí)數(shù)a的值，綜合討論結(jié)果，可得答案；（2）若p是q充分不必要條件，則A?B，分類討論，可得滿足條件的a的取值范圍．詳解：(1)當(dāng)時當(dāng)時顯然故時，，（2）當(dāng)時，則解得當(dāng)時，則綜上是的充分不必要條件，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.點(diǎn)睛：注意區(qū)別：“命題是命題的充分不必要條件”與“命題的充分不必要條件是命題”21、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類討論可得原函數(shù)的單調(diào)性并求得極值；（2）對g（x）求導(dǎo)函數(shù)，對a分類討論，當(dāng)a≥1時，易得g（x）為單調(diào)遞增，有g(shù)（x）≥g（1）＝1，符合題意．當(dāng)a＜1時，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得存在x1∈（1，）使g′（x1）＝1，再結(jié)合g（1）＝1，可得當(dāng)x∈（1，x1）時，g（x