2024屆廣西壯族自治區(qū)欽州市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆廣西壯族自治區(qū)欽州市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.2．由曲線，直線，和軸所圍成平面圖形的面積為（）A． B． C． D．3．隨機變量的分布列如右表，若，則（）012A． B． C． D．4．“，”的否定是A．， B．，C．， D．，5．“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．從甲地去乙地有3班火車，從乙地去丙地有2班輪船，則從甲地去丙地可選擇的旅行方式有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種7．若直線和橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．8．雙曲線的離心率等于2，則實數(shù)a等于（）A．1 B． C．3 D．69．集合，那么（）A． B． C． D．10．已知α，β是相異兩個平面，m，n是相異兩直線，則下列命題中正確的是（）A．若m∥n，m?α，則n∥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∩β=m，n∥m，則n∥β11．王老師在用幾何畫板同時畫出指數(shù)函數(shù)（）與其反函數(shù)的圖象，當(dāng)改變的取值時，發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象時而無交點，并且在某處只有一個交點，則通過所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識，我們可以求出當(dāng)函數(shù)只有一個交點時，的值為（）A． B． C． D．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第二步證明由到時，左邊應(yīng)加（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．關(guān)于圓周率，祖沖之的貢獻(xiàn)有二：①；②用作為約率，作為密率，其中約率與密率提出了用有理數(shù)最佳逼近實數(shù)的問題.約率可通過用連分?jǐn)?shù)近似表示的方法得到，如：，舍去0.0625135，得到逼近的一個有理數(shù)為，類似地，把化為連分?jǐn)?shù)形式：（m，n，k為正整數(shù)，r為0到1之間的無理數(shù)），舍去r得到逼近的一個有理數(shù)為__________.14．已知變量，滿足約束條件，設(shè)的最大值和最小值分別是和，則__________.15．已知函數(shù)，當(dāng)（e為自然常數(shù)），函數(shù)的最小值為3，則的值為_____________.16．已知是拋物線上的一點，過點的切線方程的斜率可通過如下方式求得在兩邊同時求導(dǎo)，得：，則，所以過的切線的斜率.試用上述方法求出雙曲線在處的切線方程為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（理科學(xué)生做）某一智力游戲玩一次所得的積分是一個隨機變量,其概率分布如下表，數(shù)學(xué)期望.（1）求a和b的值；（2）某同學(xué)連續(xù)玩三次該智力游戲，記積分X大于0的次數(shù)為Y，求Y的概率分布與數(shù)學(xué)期望.X036Pab18．（12分）已知等差數(shù)列的前n項和為，各項為正的等比數(shù)列的前n項和為，，，.（1）若，求的通項公式；（2）若，求19．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長，若異面直線與所成角的大小為，求正四棱柱的體積.21．（12分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若，的面積為，求的值．22．（10分）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù).（1）求復(fù)數(shù)；（2）若，求復(fù)數(shù)的模.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：，為偶函數(shù)，當(dāng)且時，或，所以選擇C?？键c：1.導(dǎo)數(shù)運算；2.函數(shù)圖象。2、B【解題分析】

利用定積分表示面積，然后根據(jù)牛頓萊布尼茨公式計算，可得結(jié)果.【題目詳解】，故選：B【題目點撥】本題主要考查微積分基本定理，熟練掌握基礎(chǔ)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)以及牛頓萊布尼茨公式，屬基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】分析：根據(jù)題目條件中給出的分布列，可以知道和之間的關(guān)系，根據(jù)期望為，又可以得到一組關(guān)系，這樣得到方程組，解方程組得到的值.進(jìn)而求得.詳解：根據(jù)題意，解得則故選B.點睛：本題考查期望、方差和分布列中各個概率之間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

通過命題的否定的形式進(jìn)行判斷．【題目詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，故“，”的否定是“，”.故選D.【題目點撥】本題考查全稱命題的否定，屬基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

根據(jù)充分必要條件的定義結(jié)合復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系，從而得到答案．【題目詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限，則解得，故“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限”的充要條件.故選C.【題目點撥】本題考查了充分必要條件，考查了復(fù)數(shù)的與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】由分步計數(shù)原理得，可選方式有2×3＝6種．故選B．考點：分步乘法計數(shù)原理．7、B【解題分析】

根據(jù)橢圓1（b＞0）得出≠3，運用直線恒過（0，2），得出1，即可求解答案．【題目詳解】橢圓1（b＞0）得出≠3，∵若直線∴直線恒過（0，2），∴1,解得，故實數(shù)的取值范圍是故選：B【題目點撥】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．8、A【解題分析】

利用離心率的平方列方程，解方程求得的值.【題目詳解】由可得，從而選A.【題目點撥】本小題主要考查已知雙曲線的離心率求參數(shù)，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

把兩個集合的解集表示在數(shù)軸上，可得集合A與B的并集．【題目詳解】把集合A和集合B中的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則A∪B={x|-2＜x＜3}故選A．【題目點撥】本題考查學(xué)生理解并集的定義掌握并集的運算法則，靈活運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題，屬基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

在A中，根據(jù)線面平行的判定判斷正誤；在B中，由平面與平面平行的判定定理得α∥β；在C中，舉反例即可判斷判斷；在D中，據(jù)線面平行的判定判斷正誤；【題目詳解】對于A，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故A錯；對于B，若m⊥α，m⊥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故B正確；對于C，不妨令α∥β，m在β內(nèi)的射影為m′，則當(dāng)m′⊥n時，有m⊥n，但α，β不垂直，故C錯誤；對于D，若α∩β=m，n∥m，則n∥β或n?β，故D錯．故選：B．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．11、B【解題分析】

當(dāng)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)只有一個公共點時，則在該點的公切線的斜率相等，列出關(guān)于的方程.【題目詳解】設(shè)切點為，則，解得：故選B.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖象的凹凸性，得到在其公共點處公切線的斜率相等.12、D【解題分析】

當(dāng)成立，當(dāng)時，寫出對應(yīng)的關(guān)系式，觀察計算即可得答案.【題目詳解】在第二步證明時，假設(shè)時成立，即左側(cè)，則成立時，左側(cè)，左邊增加的項數(shù)是，故選：D．【題目點撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查到成立時左邊項數(shù)的變化情況，考查理解與應(yīng)用的能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

利用題中的定義以及類比推理直接進(jìn)行求解即可.【題目詳解】舍去得到逼近的一個有理數(shù)為.故答案為：【題目點撥】本題考查了類比推理，解題的關(guān)鍵是理解題中的定義，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，可以發(fā)現(xiàn)變量，都是正數(shù)，故令，這樣根據(jù)的幾何意義，可以求出的取值范圍，利用表示出，利用函數(shù)的性質(zhì)，可以求出的最值，最后計算出的值.【題目詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示：從圖中可知：變量，都是正數(shù)，令，它表示不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點與原點的連線的斜率，解方程組：，可得點，解方程組：，可得點，所以有，因此，，，故.【題目點撥】本題考查了不等式所表示的平面區(qū)域，考查了斜率模型，考查了數(shù)形結(jié)合思想.15、【解題分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)求出極值，當(dāng)極值只有一個時也即為最值．【題目詳解】，，當(dāng)時，則，在上是減函數(shù)，，（舍去）．當(dāng)時，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增．∴，，符合題意．故答案為．【題目點撥】本題考查由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值．解題時求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出極值，如果極值有多個，還要與區(qū)間端點處函數(shù)值比較大小得最值，如果在區(qū)間內(nèi)只有一個極值，則這個極值也是相應(yīng)的最值．16、【解題分析】分析：結(jié)合題中的方法類比求解切線方程即可.詳解：用類比的方法對兩邊同時求導(dǎo)得，，∴切線方程為，整理為一般式即：.點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.對于此題中的新概念，對閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)分布列見解析，.【解題分析】分析：（1）根據(jù)分布列的性可知所有的概率之和為1然后再根據(jù)期望的公式得到第二個方程聯(lián)立求解即可；（2）根據(jù)二項分布求解即可.詳解：(1)因為，所以，即．①又，得．②聯(lián)立①，②解得，．(2)，依題意知，故，，，．故的概率分布為的數(shù)學(xué)期望為．點睛：考查分布列的性質(zhì)，二項分布，認(rèn)真審題，仔細(xì)計算是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.18、(1),(2)【解題分析】

（1）首先設(shè)出等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比，根據(jù)題中所給的式子，得到關(guān)于與的等量關(guān)系式，解方程組求得結(jié)果，之后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式寫出結(jié)果即可；（2）根據(jù)題中所給的條件，求得其公比，根據(jù)條件，作出取舍，之后應(yīng)用公式求得結(jié)果.【題目詳解】(1)設(shè)的公差為d，的公比為q，由得d+q=3，由得2d+q2=6,解得d=1,q=2.所以的通項公式為；（2）由得q2+q-20=0,解得q=-5（舍去）或q=4，當(dāng)q=4時，d=-1，則S3=-6?！绢}目點撥】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項公式與求和公式，等比數(shù)列的通項公式與求和公式，正確理解與運用公式是解題的關(guān)鍵，注意對所求的結(jié)果進(jìn)行正確的取舍.19、(1)當(dāng)a≤0，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）遞減；當(dāng)，在（0，2）和上單調(diào)遞增，在（2，）遞減；當(dāng)a=，在（0，+∞）遞增；當(dāng)a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（，2）遞減；(2).【解題分析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個零點等價于，得，可證明，當(dāng)時與當(dāng)且時，至多一個零點，綜合討論結(jié)果可得結(jié)論.【題目詳解】（1）的定義域為，，（i）當(dāng)時，恒成立，時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減.（ii）當(dāng)時，由得，（舍去），①當(dāng)，即時，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時，或，恒成立，在上單調(diào)遞增；時，恒成立，在上單調(diào)遞減.③當(dāng)，即時，或時，恒成立，在單調(diào)遞增，時，恒成立，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由（1）知當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，令，則在成立，故單調(diào)遞增，，，有兩個零點等價于，得，，當(dāng)時，，只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，在單調(diào)遞增，至多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)且時，有兩個極值，，記，，令，則，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增，時，，故，又，由（1）知，至多只有一個零點，不符合題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題是以導(dǎo)數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值、零點等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機結(jié)合，設(shè)計綜合題.20、16【解題分析】分析：由正四棱柱的性質(zhì)得，從而，進(jìn)而，由此能求出正四棱柱的體積.詳解：∵∴為與所成角且∵，∴點睛：本題主要考查異面直線所成的角、正四棱柱的性質(zhì)以及棱柱的體積的公式，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).求異面直線所成的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角.21、