2024屆浙江省湖州市安吉縣上墅私立高級中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆浙江省湖州市安吉縣上墅私立高級中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．隨機變量，且，則（）A．64 B．128 C．256 D．322．已知直線與雙曲線分別交于點，若兩點在軸上的射影恰好是雙曲線的兩個焦點，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．4 D．3．已知，則（）A． B．186 C．240 D．3044．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上單調遞減，則a的取值范圍為()A．a(chǎn)≥3B．a(chǎn)>3C．a(chǎn)≤3D．a(chǎn)<35．函數(shù)(e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù))一定存在零點的區(qū)間是（）A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，e)6．讀下面的程序：上面的程序在執(zhí)行時如果輸入6，那么輸出的結果為()A．6 B．720 C．120 D．50407．若等差數(shù)列的前項和滿足，，則（）A． B．0 C．1 D．38．若復數(shù)（）不是純虛數(shù)，則（）A． B． C． D．且9．已知函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．設是定義在上的奇函數(shù)，且,當時，有恒成立，則不等式的解集是（）A．∪B．∪C．∪D．∪11．宋元時期數(shù)學名著《算學啟蒙》中有關于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.如圖是源于其思想的一個程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的（）A．5 B．4 C．3 D．912．已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則在上的值域為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量，，，，且，則與的夾角等于________14．的展開式中常數(shù)項為______．15．球的半徑為8，經(jīng)過球面上一點作一個平面，使它與經(jīng)過這點的半徑成45°角，則這個平面截球的截面面積為_________________.16．若，，且，則的最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）已知，求復數(shù)；（2）已知復數(shù)滿足為純虛數(shù)，且，求復數(shù)．18．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）求過原點，且與函數(shù)圖象相切的切線方程；（Ⅱ）求證：當時，.19．（12分）在二項式的展開式中。（1）求該二項展開式中所有項的系數(shù)和的值；（2）求該二項展開式中含項的系數(shù)；（3）求該二項展開式中系數(shù)最大的項。20．（12分）如圖為某一幾何體的展開圖，其中是邊長為的正方形，，點及共線.(1)沿圖中虛線將它們折疊起來，使四點重合，請畫出其直觀圖，試問需要幾個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為的正方體?(2)設正方體的棱的中點為，求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.(3)在正方體的邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，判斷函數(shù)的單調性；（2）若關于的方程有兩個不同實根，求實數(shù)的取值范圍，并證明．22．（10分）已知橢圓（a＞b＞0）經(jīng)過點，且離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知A（0，b），B（a，0），點P是橢圓C上位于第三象限的動點，直線AP、BP分別將x軸、y軸于點M、N，求證：|AN|?|BM|為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)二項分布期望的計算公式列方程，由此求得的值，進而求得方差，然后利用方差的公式，求得的值.【題目詳解】隨機變量服從二項分布，且，所以，則，因此.故選A.【題目點撥】本小題主要考查二項分布期望和方差計算公式，屬于基礎題.2、A【解題分析】

由直線與雙曲線聯(lián)立，可知x=為其根，整理可得.【題目詳解】解：由．，兩點在軸上的射影恰好是雙曲線的兩個焦點，．．故選：．【題目點撥】本題考查雙曲線的離心率，雙曲線的有關性質和雙曲線定義的應用，屬于中檔題．3、A【解題分析】

首先令，這樣可以求出的值，然后把因式分解，這樣可以變成兩個二項式的乘積的形式，利用兩個二項式的通項公式，就可以求出的會下，最后可以計算出的值.【題目詳解】令，由已知等式可得：，，設的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：；設的通項公式為：，則常數(shù)項、的系數(shù)、的系數(shù)分別為：，，所以，故本題選A.【題目點撥】本題考查了二項式定理的應用，正確求出通項公式是解題的關鍵.4、A【解題分析】∵f(x)=x3?ax?1，∴f′(x)=3x2?a，要使f(x)在(?1,1)上單調遞減，則f′(x)?0在x∈(?1,1)上恒成立，則3x2?a?0，即a?3x2，在x∈(?1,1)上恒成立，在x∈(?1,1)上，3x2<3，即a?3，本題選擇A選項.5、B【解題分析】

根據(jù)零點存在性定理，即可判斷出結果.【題目詳解】因為，所以，，，所以，由零點存在定理可得：區(qū)間內必有零點.故選B【題目點撥】本題主要考查判斷零點所在的區(qū)間，熟記零點的存在定理即可，屬于基礎題型.6、B【解題分析】

執(zhí)行程序，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解輸出的結果，得到答案.【題目詳解】由題意，執(zhí)行程序，可得：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；第4次循環(huán)：滿足判斷條件，；第5次循環(huán)：滿足判斷條件，；第6次循環(huán)：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，終止循環(huán)，輸出，故選B.【題目點撥】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算輸出，其中解答中正確理解循環(huán)結構的程序框圖的計算功能，逐次計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7、B【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質仍成等差數(shù)列，則，則，，選B.8、A【解題分析】

先解出復數(shù)（）是純虛數(shù)時的值，即可得出答案．【題目詳解】若復數(shù)（）是純虛數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的定義有：，則復數(shù)（）不是純虛數(shù)，故選A【題目點撥】本題考查虛數(shù)的分類，屬于基礎題．9、A【解題分析】分析：由函數(shù)在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)，得，進而分離參數(shù)得；構造函數(shù)，研究函數(shù)的值域特征，進而得到的單調性，最后求得的取值范圍。詳解：因為在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)所以，而在區(qū)間上所以，即令，則分子分母同時除以，得令，則在區(qū)間上為增函數(shù)所以所以在區(qū)間上恒成立即在區(qū)間上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上為單調遞減函數(shù)所以所以選A點睛：本題考查了函數(shù)與導函數(shù)的綜合應用，分離參數(shù)、構造函數(shù)法在解決單調性、最值問題中的應用，綜合性強，對分析問題、解決問題的能力要求較高，屬于難題。10、B【解題分析】試題分析：因為當時，有恒成立，所以恒成立，所以在內單調遞減．因為,所以在內恒有；在內恒有．又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以在內恒有；在內恒有．又因為不等式的解集，即不等式的解集，由上分析可得，其解集為∪，故應選．考點：1、函數(shù)的基本性質；2、導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的應用．【思路點睛】本題主要考查了函數(shù)的基本性質和導數(shù)在研究函數(shù)的單調性中的應用，屬中檔題．其解題的一般思路為：首先根據(jù)商函數(shù)求導法則可知化為；然后利用導數(shù)的正負性可判斷函數(shù)在內的單調性；再由可得函數(shù)在內的正負性；最后結合奇函數(shù)的圖像特征可得，函數(shù)在內的正負性，即可得出所求的解集．11、B【解題分析】

由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出，分析循環(huán)中各變量的變化情況，可得答案.【題目詳解】當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，滿足進行循環(huán)的條件；當時，，，不滿足進行循環(huán)的條件；故選：B【題目點撥】本題主要考查程序框圖，解題的關鍵是讀懂流程圖各個變量的變化情況，屬于基礎題.12、D【解題分析】由題意得，函數(shù)的圖象關于點對稱，則，即，解得，所以，則，令，解得或，當，則，函數(shù)單調遞減，當，則，函數(shù)單調遞增，所以，，所以函數(shù)的值域為，故選D.點睛：本題考查了函數(shù)的基本性質的應用，其中解答中涉及到利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象關于點對稱，列出方程組，求的得值是解得關鍵，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由平面向量數(shù)量積的運算的：，即與的夾角等于【題目詳解】由，，所以，，，所以，即與的夾角等于，故答案為：【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的坐標運算、向量的夾角公式、向量模的求法，屬于基礎題。14、15【解題分析】

把展開，求的系數(shù)，但無項，所以常數(shù)項為展開式中常數(shù)項乘以3.【題目詳解】展開式中通項為，當時，；由于，無正整數(shù)解，所以常數(shù)項為15，填15.【題目點撥】本題考查二項式定理的特定項問題，往往是根據(jù)二項展開式的通項和所求項的聯(lián)系解題，屬于基礎題，注意運算的準確度．15、【解題分析】

先求出截面圓的半徑，再算截面面積?！绢}目詳解】截面圓半徑為，截面面積為?！绢}目點撥】先求出截面圓的半徑，再算截面面積。16、【解題分析】分析：由對數(shù)運算和換底公式，求得的關系為，根據(jù)基本不等式確定詳解：因為，所以，所以，即所以當且僅當，即，此時時取等號所以最小值為點睛：本題考查了對數(shù)的運算和對數(shù)換底公式的綜合應用，根據(jù)“1”的代換聯(lián)系基本不等式求最值，綜合性強，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或或.【解題分析】

（1）設復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的運算法則和復數(shù)相等得出關于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)，即可得出復數(shù)；（2）設復數(shù)，根據(jù)為純虛數(shù)和列出關于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)，可得出復數(shù).【題目詳解】（1）設復數(shù)，由，得，根據(jù)復數(shù)相等得，解得，因此，；（2）設復數(shù)，則，由題意可得，.，得，所以有，解得或.因此，或或.【題目點撥】本題考查復數(shù)的求解，常將復數(shù)設為一般形式，根據(jù)復數(shù)的相關運算列舉出方程組進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.18、(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見解析.【解題分析】分析：（1）設出切點，求導，得到切線斜率，由點斜式得到切線方程；（2）先證得，再證即可，其中證明過程，均采用構造函數(shù)，求導研究單調性，求得最值大于0即可.詳解：（Ⅰ）設切點，則，，，切線方程為：，即：，將原點帶入得：，，切線方程為：.（Ⅱ）設，，，則.當時，，當時，，則，所以，即：，.設，，，，，當時，，當時，，則，所以，即：，，所以.點睛：利用導數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調性，利用單調性得不等量關系，進而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉化為對應項之間大小關系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉化為一元函數(shù).19、（1）（2）（3）【解題分析】

（1）令，即可得該二項展開式中所有項的系數(shù)和的值；（2）在通項公式中，令的冪指數(shù)等于4，求得的值，可得含項的系數(shù)；（3）根據(jù)，求得的值，可得結論；【題目詳解】（1）令，可得該二項展開式中所有項的系數(shù)和的值為；（2）二項展開式中，通項公式為，令，求得，故含項的系數(shù)為．（3）第項的系數(shù)為，由，求得，故該二項展開式中系數(shù)最大的項為．【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于中檔題．20、（1）直觀圖見解析，3個；（2）；（3）不存在．【解題分析】

（1）先還原為一個四棱錐，在正方體中觀察；（2）延長與延長線交于點，連接，則為平面與平面的交線，作出二面角的平面角，計算即可；（3）假設點存在，作出點到平面的垂線段，然后計算的長，若，則點在邊上，否則不在邊上．【題目詳解】（1）圖1圖1左邊是所求直觀圖，放到圖1右邊正方體中，觀察發(fā)現(xiàn)要3個這樣的四棱錐才能拼成一個正方體．（2）圖2如圖（2）延長與延長線交于點，連接，則為平面與平面的交線，作于，連接，∵平面，平面，∴，又，∴平面，∴，∴是二面角的平面角．∵，是中點，即，∴是中點，正方體棱長為6，∴，，中，，．（3）假設存在點滿足題意，圖3如圖3，作于，∵平面，∴，而，∴平面．的長就是點到平面的距離．．∴，由，得，∴∽，∴，，不在線段上，∴假設錯誤，滿足題意的點不存在．【題目點撥】本題考查多面體的展開圖，考查二面角、點到平面的距離．立體幾何中求角時要作出這個角的“平面角”，并證明，然后計算．點到平面的距離可能通過作以平面的垂線段計算，也可通過體積法求解．21、（1）在上單調遞增；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）對求導，根據(jù)的符號得出的單調性；（2）由題意可知有兩解，求出的過原點的切線斜率即可得出的范圍，設，根據(jù)分析法構造關于的