河北南和一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

河北南和一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若如下框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是（）A． B． C． D．2．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)）上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A． B． C． D．3．集合，那么（）A． B． C． D．4．過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線,交雙曲線于,是另一焦點(diǎn),若,則雙曲線的離心率等于（）A． B． C． D．5．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其焦距為，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且恒成立，則橢圓離心率的取值范圍是（）A．B．C．D．6．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（）．A． B． C． D．7．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是曲線與的一個(gè)公共點(diǎn)，，分別是和的離心率，若，則的最小值為()A． B．4 C． D．98．已知集合，，則集合（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．命題的否定是（）A． B．C． D．11．4名學(xué)生報(bào)名參加語、數(shù)、英興趣小組，每人選報(bào)1種，則不同方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種12．已知命題：“，有成立”，則命題為（）A．，有成立 B．，有成立C．，有成立 D．，有成立二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面上兩組平行線互相垂直，一組由條平行線組成，一組由條平行線組成，則它們能圍成的矩形個(gè)數(shù)是___________14．連續(xù)3次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，在至少有一次出現(xiàn)正面向上的條件下，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為．15．已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組，則的最大值是__________．16．一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)出一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3，和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利________元．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段PQ上.設(shè)，試求的取值范圍.18．（12分）（1）3個(gè)不同的球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，共有多少種放法？（2）3個(gè)不同的球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子放球量不限，共有多少種放法？19．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：20．（12分）已知函數(shù)．（1）若有三個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若對(duì)任意都恒成立的的最大值為，證明：．21．（12分）已知橢圓：的離心率，該橢圓中心到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點(diǎn)的直線，使直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過定點(diǎn)？若存在，求出所有符合條件的直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：根據(jù)賦值框中對(duì)累加變量和循環(huán)變量的賦值，先判斷后執(zhí)行，假設(shè)滿足條件，依次執(zhí)行循環(huán)，到累加變量S的值為35時(shí)，再執(zhí)行一次k=k+1，此時(shí)判斷框中的條件不滿足，由此可以得到判斷框中的條件．詳解：框圖首先給累加變量S賦值1，給循環(huán)變量k賦值1．判斷1＞6，執(zhí)行S=1+1=11，k=1﹣1=9；判斷9＞6，執(zhí)行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判斷8＞6，執(zhí)行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判斷7＞6，執(zhí)行S=28+7=35，k=6；判斷6≤6，輸出S的值為35，算法結(jié)束．所以判斷框中的條件是k＞6？．故答案為:D.點(diǎn)睛：本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了當(dāng)型循環(huán)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時(shí)，算法結(jié)束，此題是基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

將直線，化為直角方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列等量關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.【題目詳解】可得：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，可得上的點(diǎn)到直線的距離為【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線距離公式以及三角函數(shù)有界性，考查基本分析求解能力，屬中檔題.3、D【解題分析】

把兩個(gè)集合的解集表示在數(shù)軸上，可得集合A與B的并集．【題目詳解】把集合A和集合B中的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則A∪B={x|-2＜x＜3}故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查學(xué)生理解并集的定義掌握并集的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題，屬基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

根據(jù)對(duì)稱性知是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，可得，利用雙曲線的定義得出，再利用銳角三角函數(shù)的定義可求出雙曲線的離心率的值.【題目詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可知，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，且，則，由雙曲線的定義可得，在中，，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的離心率的求解，要充分研究雙曲線的幾何性質(zhì)，在遇到焦點(diǎn)時(shí)，善于利用雙曲線的定義來求解，考查邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于中等題．5、B【解題分析】由題設(shè)可得，即，解之得，即；結(jié)合圖形可得，即，應(yīng)選答案B。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是建構(gòu)不等式（組），求解時(shí)先依據(jù)題設(shè)條件，將點(diǎn)代入橢圓方程得到，即，解之得，從而求得，然后再借助與橢圓的幾何性質(zhì)，建立了不等式，進(jìn)而使得問題獲解。6、A【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，可得出復(fù)數(shù)的虛部．【題目詳解】，因此，該復(fù)數(shù)的虛部為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法，考查復(fù)數(shù)的虛部，對(duì)于復(fù)數(shù)問題的求解，一般利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，明確復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部進(jìn)行求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．【題目詳解】由題意設(shè)焦距為2c，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a1，雙曲線實(shí)軸為2a2，令P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義|PF1|﹣|PF2|=2a2，①由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a1，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④將④代入③，得a12+a22=2c2，∴4e12+e22==++≥+2=．故選A．【題目點(diǎn)撥】在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.8、B【解題分析】

由并集的定義求解即可.【題目詳解】由題,則,故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的并集運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】分析：通過f（x）的單調(diào)性，畫出f（x）的圖象和直線y=a，考慮四個(gè)交點(diǎn)的情況，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．詳解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=，可得f（x）在x＞2遞增，在0＜x＜2處遞減，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1時(shí)，f（x）遞減；-1＜x＜0時(shí)，f（x）遞增，

可得x=-1處取得極小值1，

作出f（x）的圖象，以及直線y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0遞減，

可得所求范圍為[4，5）．故選B.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想方法，考查二次函數(shù)的最值求法，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．10、A【解題分析】

根據(jù)命題“”是特稱命題，其否定為全稱命題，將“?”改為“?”，“≤“改為“＞”即可得答案【題目詳解】∵命題“”是特稱命題∴命題的否定為．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查全稱命題與特稱命題的相互轉(zhuǎn)化問題．這里注意全稱命題的否定為特稱命題，反過來特稱命題的否定是全稱命題．11、B【解題分析】

直接根據(jù)乘法原理計(jì)算得到答案.【題目詳解】每個(gè)學(xué)生有3種選擇，根據(jù)乘法原理共有種不同方法.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了乘法原理，屬于簡(jiǎn)單題.12、B【解題分析】

特稱命題的否定是全稱命題?！绢}目詳解】特稱命題的否定是全稱命題，所以，有成立的否定是，有成立，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查特稱命題的否定命題，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

分析矩形的組成：兩個(gè)長(zhǎng)，兩個(gè)寬，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理與排列組合思想計(jì)算可圍成的矩形數(shù).【題目詳解】因?yàn)榫匦斡蓛蓚€(gè)長(zhǎng)，兩個(gè)寬構(gòu)成，第一步選長(zhǎng)：從條直線中選條，共有種方法，第二步選寬：從條直線中選條，共有種方法，所以可圍成的矩形數(shù)為：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和排列組合的綜合應(yīng)用，難度一般.對(duì)于計(jì)數(shù)問題，第一步可考慮是屬于分類還是分步問題，第二步可考慮選用排列或組合的思想解決問題.14、【解題分析】試題分析：至少有一次正面向上的概率為，恰有一次出現(xiàn)反面向上的概率為，那么滿足題意的概率為．考點(diǎn)：古典概型與排列組合．15、12.【解題分析】分析：畫出不等式組表示的可行域，平移，結(jié)合所畫可行域，可求得的最大值.詳解：作出不等式組表示的平面區(qū)域如陰影部分，分析知，當(dāng)時(shí)，平移直線，由圖可得直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.16、37(元)【解題分析】

由已知條件直接求出數(shù)學(xué)期望，即可求得結(jié)果【題目詳解】一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)出一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3，和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利：50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．故答案為37(元)【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了期望的實(shí)際運(yùn)用，由已知條件，結(jié)合公式即可計(jì)算出結(jié)果，本題較為簡(jiǎn)單。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和直線與圓相切得到，解方程組即可.（2）設(shè)，，，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，求出.當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，求出的表達(dá)式，再求出的范圍即可.【題目詳解】（1）由題知：，解得，.橢圓；（2）設(shè)，，.當(dāng)直線與軸重合時(shí)，則，解得：，.當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，則，解得：.設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得：.由韋達(dá)定理得，.于是有：，因此.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題第一問考查橢圓的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系，第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.18、（1）.（2）【解題分析】

（1）把三個(gè)不同的小球分別放入5個(gè)不同的盒子里(每個(gè)盒子至多放一個(gè)球)，實(shí)際上是從5個(gè)位置選3個(gè)位置用3個(gè)元素進(jìn)行排列，即可求得答案.（2）因?yàn)?個(gè)不同的球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子放球量不限，所以一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨(dú)立的放法，即可求得答案.【題目詳解】（1）把3個(gè)不同的小球分別放入5不同的盒子里(每個(gè)盒子至多放一個(gè)球)，實(shí)際上是從5個(gè)位置選3個(gè)位置用3個(gè)元素進(jìn)行排列，共有種結(jié)果，共有：方法．（2）3個(gè)不同的球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子放球量不限一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨(dú)立的放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，放法共有種共有：放法．【題目點(diǎn)撥】本題的求解按照分步計(jì)數(shù)原理可先將球分組，選擇盒子，再將球排列到選定的盒子里，這種先選后排的方法是最常用的思路，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.19、(Ⅰ)有一個(gè)零點(diǎn)；(Ⅱ)見解析【解題分析】

(Ⅰ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，將代入函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在單調(diào)性討論它的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)而在各區(qū)間討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，證明題目要求．【題目詳解】因?yàn)?，在上遞減，遞增(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)零點(diǎn)(Ⅱ)因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以即.設(shè)則要證，因?yàn)橛忠驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以只要證設(shè)則所以在上單調(diào)遞減，，所以因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以方程即構(gòu)造函數(shù)則記則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以設(shè)所以遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以即（）所以，同理所以所以，所以由得，綜上：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)、考查了構(gòu)造函數(shù)證明不等式，意在考查計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，是關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合性題目，有一定的難度.20、（1）（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）若有三個(gè)極值點(diǎn)，只需應(yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.（1），定義域?yàn)?，，∵，只需?yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于的根，，①當(dāng)時(shí)，，∴單增，最多只有一個(gè)實(shí)根，不滿足；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增；∴是的極小值，而時(shí)，，時(shí)，，要有兩根，只需，由，又由，反之，若且時(shí)，則，的兩根中，一個(gè)大于，另一個(gè)小于.在定義域中，連同，共有三個(gè)相異實(shí)根，且在三根的左右，正負(fù)異號(hào)，它們是的三個(gè)極值點(diǎn).綜上，的取值范圍為.（2）對(duì)恒成立，①當(dāng)或1時(shí)，均滿足；②對(duì)恒成立對(duì)恒成立，記，，，，欲證，而，只需證明，顯然成立.下證：，，，，先證：，，，.令，，，，，∴在上單增，∴，∴在上單增，∴，∴在上單增，∴，即證.要證：，.只需證，，而，開口向上，上不等式恒成立，從而得證命題成立.點(diǎn)睛：第一問函數(shù)有是三個(gè)極值點(diǎn)，即導(dǎo)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性滿足函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)．第二問較為復(fù)雜，將恒成立求參的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，分離變量，求出a滿足的表達(dá)式，再求這個(gè)表達(dá)式的范圍．21、(1).(2)存在直線：或：，使得以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).【解題分析】分析：由，該橢圓中心到直線的距離為，求出橢圓方程；（2）先假設(shè)存在這樣的直線，設(shè)出