江蘇吳江青云中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

江蘇吳江青云中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個停車場有5個排成一排的空車位，現(xiàn)有2輛不同的車停進這個停車場，若停好后恰有2個相鄰的停車位空著，則不同的停車方法共有A．6種 B．12種 C．36種 D．72種2．某公司從甲、乙、丙、丁四名員工中安排了一名員工出國研學.有人詢問了四名員工，甲說：“好像是乙或丙去了.”乙說：“甲、丙都沒去.”丙說：“是丁去了.”丁說：“丙說的不對.”若四名員工中只有一個人說的對，則出國研學的員工是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．已知復數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則A． B． C． D．4．若能被整除，則的值可能為（）A． B． C．x="5,n=4" D．5．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（）A．實軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限6．已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，，對任意實數(shù)都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．7．甲、乙兩位同學將高三6次物理測試成績做成如圖所示的莖葉圖加以比較（成績均為整數(shù)滿分100分），乙同學對其中一次成績記憶模糊，只記得成績不低于90分且不是滿分，則甲同學的平均成績超過乙同學的平均成績的概率為（）A． B． C． D．8．設函數(shù)是上的可導函數(shù)其導函數(shù)為,且有,則不等式的解集為()A． B． C． D．9．有五名同學站成一排拍畢業(yè)紀念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學要站在一起，則不同的站法種數(shù)為（）A．4 B．8 C．16 D．3210．已知，，是不全相等的正數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)為()①；②與及中至少有一個成立；③，，不能同時成立．A． B． C． D．11．設曲線及直線所圍成的封閉圖形為區(qū)域，不等式組所確定的區(qū)域為，在區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點恰好在區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．12．某部門將4名員工安排在三個不同的崗位，每名員工一個崗位，每個崗位至少安排一名員工，且甲乙兩人不安排在同一崗位，則不同的安排方法共有（）A．66種 B．36種 C．30種 D．24種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．吃零食是中學生中普遍存在的現(xiàn)象．長期吃零食對學生身體發(fā)育有諸多不利影響，影響學生的健康成長．下表給出性別與吃零食的列聯(lián)表男女總計喜歡吃零食51217不喜歡吃零食402868合計454085根據(jù)下面的計算結(jié)果，試回答，有_____的把握認為“吃零食與性別有關(guān)”．參考數(shù)據(jù)與參考公式：0.0500.0100.0013.8416.63510.82814．已知命題,若命題是假命題，則實數(shù)的取值范圍是________.15．己知復數(shù)和均是純虛數(shù)，則的模為________.16．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；18．（12分）如圖，三棱柱中，，，（1）證明：；（2）若平面

平面，，求點到平面的距離．19．（12分）近年來，空氣質(zhì)量成為人們越來越關(guān)注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)（，簡稱）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù).環(huán)保部門記錄了某地區(qū)7天的空氣質(zhì)量指數(shù)，其中，有4天空氣質(zhì)量為優(yōu)，有2天空氣質(zhì)量為良，有1天空氣質(zhì)量為輕度污染.現(xiàn)工作人員從這7天中隨機抽取3天進行某項研究.（I）求抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良的概率；（Ⅱ）用表示抽取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.20．（12分）如圖，已知四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E為PB的中點.(1)求證：AE//平面PDC；(2)若BC＝CD＝PD，求直線AC與平面PBC所成角的余弦值.21．（12分）選修4-5：不等式選講（1）已知，且，證明；（2）已知，且，證明.22．（10分）某中學開設了足球、籃球、乒乓球、排球四門體育課程供學生選學，每個學生必須且只能選學其中門課程.假設每個學生選學每門課程的概率均為，對于該校的甲、乙、丙名學生，回答下面的問題.（1）求這名學生選學課程互不相同的概率；（2）設名學生中選學乒乓球的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

分類討論,利用捆綁法、插空法,即可得出結(jié)論.【題目詳解】把空著的2個相鄰的停車位看成一個整體，即2輛不同的車可以停進4個停車場，由題意,若2輛不同的車相鄰,則有種方法

若2輛不同的車不相鄰,則利用插空法,2個相鄰的停車位空著,利用捆綁法,所以有種方法，不同的停車方法共有：種，

綜上,共有12種方法，

所以B選項是正確的.本題考查排列、組合的綜合應用,注意空位是相同的,是關(guān)鍵.2、A【解題分析】

逐一假設成立，分析，可推出?！绢}目詳解】若乙去，則甲、乙、丁都說的對，不符合題意；若丙去，則甲、丁都說的對，不符合題意；若丁去，則乙、丙都說的對，不符合題意；若甲去，則甲、乙、丙都說的不對，丁說的對，符合題意.故選A.【題目點撥】本題考查合情推理，屬于基礎題。3、B【解題分析】分析：根據(jù)復數(shù)的運算法則和復數(shù)的模計算即可.詳解：，則.故選：B.點睛：復數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數(shù)化的過程．4、C【解題分析】

所以當時，能被整除，選C.5、B【解題分析】

利用復數(shù)的乘法法則將復數(shù)表示為一般形式，即可得出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的位置．【題目詳解】，對應的點的坐標為，所對應的點在虛軸上，故選B．【題目點撥】本題考查復數(shù)對應的點，考查復數(shù)的乘法法則，關(guān)于復數(shù)問題，一般要利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)表示為一般形式進行解答，考查計算能力，屬于基礎題．6、B【解題分析】令,,所以函數(shù)是減函數(shù)，又，所以不等式的解集為本題選擇B選項.7、C【解題分析】

首先求得甲的平均數(shù)，然后結(jié)合題意確定污損的數(shù)字可能的取值，最后利用古典概型計算公式求解其概率值即可.【題目詳解】由題意可得：，設被污損的數(shù)字為x，則：，滿足題意時，，即：，即x可能的取值為,結(jié)合古典概型計算公式可得滿足題意的概率值：.故選C.【題目點撥】本題主要考查莖葉圖的識別與閱讀，平均數(shù)的計算方法，古典概型計算公式等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8、C【解題分析】分析：先求，所以單調(diào)遞減。再解不等式。詳解：因為，所以，設故單調(diào)遞減，那么，，所以的解集，也即是的解集，由單調(diào)遞減，可得，所以，故選C。點睛：已知抽象函數(shù)的性質(zhì)解不等式的基本解法有兩種：（1）構(gòu)造滿足題目條件的特殊函數(shù)，（2）還原抽象函數(shù)，利用抽象函數(shù)的性質(zhì)求解。9、D【解題分析】

根據(jù)題意，假設有1、2、3、4、5，共5個位置，分3步進行分析：①將甲安排在3號位置；②在1、2、4、5中一個位置任選1個，安排乙，依據(jù)乙、丙兩位同學不能相鄰，再安排丙；③將剩下的2名同學全排列，安排在剩下的2個位置，由分步計數(shù)原理計算可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，假設有1、2、3、4、5，共5個位置，分3步進行分析：①甲必須站在正中間，將甲安排在3號位置；②在1、2、4、5中一個位置任選1個，安排乙，有4種情況，由于乙、丙兩位同學不能相鄰，則丙有2種安排方法；③將剩下的2名同學全排列，安排在剩下的2個位置，有種安排方法.故有1×4×2×2=16種安排方法.故選：C.【題目點撥】本題考查排列組合的應用，注意題目的限制條件，優(yōu)先滿足受到限制的元素.10、C【解題分析】

①假設等式成立，由其推出a、b、c的關(guān)系，判斷與題干是否相符；②假設其全部不成立，由此判斷是否存在符合條件的數(shù)；③舉例即可說明其是否能夠同時成立.【題目詳解】對①，假設（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?a=b=c與已知a、b、c是不全相等的正數(shù)矛盾，∴①正確；

對②，假設都不成立，這樣的數(shù)a、b不存在，∴②正確；

對③，舉例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同時成立，∴③不正確．

故選C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，利用反證法、分析法等方式即可證明，有時運用舉例說明的方式更快捷.11、C【解題分析】分析：求出兩個區(qū)域的面積，由幾何概型概率公式計算可得.詳解：由題意，，∴，故選C.點睛：以面積為測度的幾何概型問題是幾何概型的主要問題，而積分的重要作用正是計算曲邊梯形的面積，這類問題巧妙且自然地將新課標新增內(nèi)容——幾何概型與定積分結(jié)合在一起，是近幾年各地高考及模擬中的熱點題型．預計對此類問題的考查會加大力度．12、C【解題分析】

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，第一步先將4名員工分成3組并去掉甲乙同組的情況，第二步將3組員工安排到3個不同的崗位。【題目詳解】解：由題意可得，完成這件事分兩步，第一步，先將4名員工分成3組并去掉甲乙同組的情況，共有種，第二步，將3組員工安排到3個不同的崗位，共有種，∴根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方法共有種，故選：C．【題目點撥】本題主要考查計數(shù)原理，考查組合數(shù)的應用，考查不同元素的分配問題，通常用除法原理，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、95%．【解題分析】

根據(jù)題意得出觀測值的大小，對照臨界值得出結(jié)論．【題目詳解】根據(jù)題意知K2≈4.722＞3.841，所以有95%的把握認為“吃零食與性別有關(guān)”．故答案為95%．【題目點撥】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應用問題，是基礎題．14、【解題分析】

根據(jù)命題否定為真，結(jié)合二次函數(shù)圖像列不等式，解得結(jié)果【題目詳解】因為命題是假命題，所以為真所以【題目點撥】本題考查命題的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，屬基礎題.15、1【解題分析】

通過純虛數(shù)的概念，即可求得，從而得到模長.【題目詳解】根據(jù)題意設，則，又為虛數(shù)，則，故，則，故答案為1.【題目點撥】本題主要考查純虛數(shù)及模的概念，難度不大.16、【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再計算得到答案.【題目詳解】已知等差數(shù)列故答案為【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，前N項和，利用性質(zhì)可以簡化運算.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析；【解題分析】

（1）要證BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到兩條直線跟BD垂直即證，顯然，從平面中可證，即證.(2)要證明平面PAB⊥平面PAE,可證平面即可.【題目詳解】（1）證明：因為平面,所以；因為底面是菱形，所以;因為,平面,所以平面.（2）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面，平面,所以平面平面.【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.18、（1）見解析（2）【解題分析】試題分析：(1)利用題意首先證得，然后利用線面垂直的定義即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標系，結(jié)合平面的法向量和直線的方向向量可得直線與平面所成角的正弦值是.試題解析：（1）證明：如圖所示，取的中點，連接，，.因為，所以.由于，，故為等邊三角形，所以.因為，所以.又，故（2）由（1）知，，又，交線為，所以，故兩兩相互垂直.以為坐標原點，的方向為軸的正方向，為單位長，建立如圖（2）所示的空間直角坐標系.由題設知，則，，.設是平面的法向量，則即可取故.所以與平面所成角的正弦值為19、（I）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）可先計算對立事件“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良”的概率，再利用相關(guān)公式即得答案；（Ⅱ）找出隨機變量的所有可能取值，分別計算相關(guān)概率，從而列出分布列計算數(shù)學期望.【題目詳解】（Ⅰ）解：設事件為“抽取的3天中至少有一天空氣質(zhì)量為良”，事件的對立事件為“抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良”，從7天中隨機抽取3天共有種不同的選法，抽取的3天空氣質(zhì)量都不為良共有種不同的選法，則,所以，事件發(fā)生的概率為.（Ⅱ）解：隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3.，所以，隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學期望.【題目點撥】本題主要考查對立事件的相關(guān)概念與計算，超幾何分布的分布列與數(shù)學期望，意在考查學生的分析能力，邏輯推理能力和計算能力.20、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）取的中點，連結(jié)、，推導出四邊形是平行四邊形，從而，由此能證明平面．（2）推導出，由，得，再推導出，，從而平面，，，，進而平面，連結(jié)，，則就是直線與平面所成角，由此能求出直線與平面所成角的余弦值．【題目詳解】解：（1）證明：取的中點，連結(jié)、，是的中點，，且，，，，且，四邊形是平行四邊形，，