2024屆湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學數(shù)學高二下期末復習檢測模擬試題含解析

2024屆湖南省長沙市開福區(qū)長沙市第一中學數(shù)學高二下期末復習檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知與之間的一組數(shù)據(jù)，則與的線性回歸方程必過點（）A． B． C． D．2．的展開式中第5項的二項式系數(shù)是（）A． B． C． D．3．設復數(shù)（是虛數(shù)單位），則（）A．i B． C． D．4．已知，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則的取值不可能是（）A． B． C． D．6．已知定義在上的連續(xù)奇函數(shù)的導函數(shù)為，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知A，B是半徑為的⊙O上的兩個點，·＝1，⊙O所在平面上有一點C滿足｜＋｜＝1，則｜｜的最大值為（）A．＋1 B．＋1 C．2＋1 D．+18．已知隨機變量服從二項分布，且，則（）A． B． C． D．9．正三角形ABC的邊長為2，將它沿高AD翻折，使點B與點C間的距離為，此時四面體ABCD外接球表面積為（）A． B． C． D．10．對于函數(shù)，有下列結論：①在上單調遞增，在上單調遞減；②在上單調遞減，在上單調遞增；③的圖象關于直線對稱；④的圖象關于點對稱．其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．②③④11．已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是A．，則B．，則C．，則D．，則12．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知(1+ɑx)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,則ɑ=______________14．設關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域為．記區(qū)域上的點與點距離的最小值為，若，則的取值范圍是__________；15．正四棱柱中，，則與平面所成角的正弦值為__________．16．已知點在不等式組，表示的平面區(qū)域上運動，則的取值范圍是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等比數(shù)列各項都是正數(shù)，其中，，成等差數(shù)列，.求數(shù)列的通項公式；記數(shù)列的前項和為，求數(shù)列的前項和.18．（12分）某學校高三年級有學生1000名，經調查研究，其中750名同學經常參加體育鍛煉（稱為類同學），另外250名同學不經常參加體育鍛煉（稱為類同學），現(xiàn)用分層抽樣方法（按類、類分二層）從該年級的學生中共抽查100名同學.（1）測得該年級所抽查的100名同學身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如圖，按照統(tǒng)計學原理，根據(jù)頻率分布直方圖計算這100名學生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)（單位精確到0.01）；（2）如果以身高達到作為達標的標準，對抽取的100名學生，得到列聯(lián)表：體育鍛煉與身高達標列聯(lián)表身高達標身高不達標合計積極參加體育鍛煉60不積極參加體育鍛煉10合計100①完成上表；②請問有多大的把握認為體育鍛煉與身高達標有關系？參考公式：.參考數(shù)據(jù)：0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）在一次購物抽獎活動中，假設某張獎券中有一等獎券張，可獲得價值元的獎品，有二等獎券張，每張可獲得價值元的獎品，其余張沒有獎，某顧客從此張獎券中任抽張，求（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得獎品總價值為元的概率.20．（12分）在平面直角坐標系中，以為極點，為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是(為參數(shù))．求直線被曲線截得的弦長.21．（12分）假設某士兵遠程射擊一個易爆目標，射擊一次擊中目標的概率為，三次射中目標或連續(xù)兩次射中目標，該目標爆炸，停止射擊，否則就一直獨立地射擊至子彈用完．現(xiàn)有5發(fā)子彈，設耗用子彈數(shù)為隨機變量X．（1）若該士兵射擊兩次，求至少射中一次目標的概率；（2）求隨機變量X的概率分布與數(shù)學期望E(X)．22．（10分）如圖，過橢圓的左焦點作軸的垂線交橢圓于點，點和點分別為橢圓的右頂點和上頂點，．（1）求橢圓的離心率；（2）過右焦點作一條弦，使，若的面積為，求橢圓的方程．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

計算出和，即可得出回歸直線必過的點的坐標.【題目詳解】由題意可得，，因此，回歸直線必過點，故選：C.【題目點撥】本題考查回歸直線必過的點的坐標，解題時要熟悉“回歸直線過樣本中心點”這一結論的應用，考查結論的應用，屬于基礎題.2、D【解題分析】試題分析：由二項展開式的通項公式得，第5項的二項式系數(shù)為.考點：二項式定理.3、D【解題分析】

先化簡，結合二項式定理化簡可求.【題目詳解】，，故選D.【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的運算和二項式定理的應用，逆用二項式定理要注意配湊出定理的結構形式.4、D【解題分析】

由三個正數(shù)的和為21，可知三個正數(shù)的平均數(shù)為7，因此可以用反證法來求出的取值范圍.【題目詳解】由三個正數(shù)的和為21，可知三個正數(shù)的平均數(shù)為7，假設，因為，則有，這與，相矛盾，故假設不成立，即，故本題選D.解法二:因為，所以【題目點撥】本題考查了反證法的應用，正確運用反證法的過程是解題的關鍵.5、C【解題分析】試題分析：將其向右平移個單位后得到：，若為偶函數(shù)必有：，解得：，當時，D正確，時，B正確，當時，A正確，綜上，C錯誤.考點：1.函數(shù)的圖像變換；2.函數(shù)的奇偶性.6、C【解題分析】

根據(jù)時可得：；令可得函數(shù)在上單調遞增；利用奇偶性的定義可證得為偶函數(shù)，則在上單調遞減；將已知不等式變?yōu)椋鶕?jù)單調性可得自變量的大小關系，解不等式求得結果.【題目詳解】當時，令，則在上單調遞增為奇函數(shù)為偶函數(shù)則在上單調遞減等價于可得：，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查函數(shù)奇偶性和單調性的綜合應用問題，關鍵是能夠構造函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的符號確定所構造函數(shù)的單調性，并且根據(jù)奇偶性的定義得到所構造函數(shù)的奇偶性，從而將函數(shù)值的大小關系轉變?yōu)樽宰兞恐g的比較.7、A【解題分析】

先由題意得到，根據(jù)向量的數(shù)量積求出，以O為原點建立平面直角坐標系，設A（，）得到點B坐標，再設C（x，y），根據(jù)點B的坐標，根據(jù)題中條件，即可求出結果.【題目詳解】依題意，得：，因為，所以，＝1，得：，以O為原點建立如下圖所示的平面直角坐標系，設A（，），則B（，）或B（，）設C（x，y），當B（，）時，則＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即點C在1為半徑的圓上，A（，）到圓心的距離為：＝｜｜的最大值為＋1當B（，）時，結論一樣．故選A【題目點撥】本題主要考查向量模的計算，熟記向量的幾何意義，以及向量模的計算公式，即可求解，屬于?？碱}型.8、A【解題分析】

由二項分布與次獨立重復實驗的模型得：，，則，得解．【題目詳解】因為服從二項分布，，，所以，，即，，則，故選：A．【題目點撥】本題考查二項分布與次獨立重復實驗的模型，屬于基礎題．9、C【解題分析】分析：三棱錐的三條側棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可.詳解：根據(jù)題意可知三棱錐的三條側棱，底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴展為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點到頂點的距離，就是球的半徑，三棱柱中，底面，,，的外接圓的半徑為，由題意可得：球心到底面的距離為.球的半徑為.外接球的表面積為：.故選：C.點睛：考查空間想象能力，計算能力.三棱柱上下底面中點連線的中點，到三棱柱頂點的距離相等，說明中心就是外接球的球心，是本題解題的關鍵，仔細觀察和分析題意，是解好數(shù)學題目的前提.10、C【解題分析】

將原函數(shù)的導數(shù)求出來，分析其符號即可得出原函數(shù)的單調性，又，故函數(shù)的圖象關于直線對稱【題目詳解】由得令得當時，，原函數(shù)為增函數(shù)當時，，原函數(shù)為減函數(shù)，故②正確因為所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，故③正確故選：C【題目點撥】本題考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性及函數(shù)的對稱性，屬于中檔題.11、D【解題分析】

根據(jù)空間中直線與平面的位置關系的相關定理依次判斷各個選項即可.【題目詳解】兩平行平面內的直線的位置關系為：平行或異面，可知錯誤；且，此時或，可知錯誤；，，，此時或，可知錯誤；兩平行線中一條垂直于一個平面，則另一條必垂直于該平面，正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查空間中直線與平面、平面與平面位置關系的判定，考查學生對于定理的掌握程度，屬于基礎題.12、A【解題分析】

由，得，則，故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-1【解題分析】分析：展開式的系數(shù)為的二次項系數(shù)，加上與展開式中的系數(shù)乘積的和，由此列方程求得的值.詳解：，其展開式中含項的系數(shù)，解得，故答案為.點睛：本題主要考查了二項式定理的應用問題，利用二項式展開式的通項公式求某一項的系數(shù)，是常見的題目.14、；【解題分析】

根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域，又直線過點，因此可對分類討論，以求得，當時，是到直線的距離，在其他情況下，表示與可行域內頂點間的距離．分別計算驗證．【題目詳解】如圖，區(qū)域表示在第一象限（含軸的正半軸），直線過點，表示直線的上方，當時，滿足題意，當時，直線與軸正半軸交于點，當時，，當時，，滿足題意，當時，，不滿足題意，綜上的取值范圍是．故答案為．【題目點撥】本題考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，解題關鍵是在求時要分類討論．是直接求兩點間的距離還是求點到直線的距離，這要區(qū)分開來．15、【解題分析】分析：建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求AD1與面BB1D1D所成角的正弦值．詳解：以D為原點，DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系D﹣xyz．設AB=1，則D（1，1，1），A（1，1，1），B（1，1，1），C（1，1，1），D1（1，1，2），A1（1，1，2），B1（1，1，2），C1（1，1，2）．設AD1與面BB1D1D所成角的大小為θ，=（﹣1，1，2），設平面BB1D1D的法向量為=（x，y，z），=（1，1，1），=（1，1，2），則x+y=1，z=1．令x=1，則y=﹣1，所以=（1，﹣1，1），sinθ=|cos＜，＞|=，所以AD1與平面BB1D1D所成角的正弦值為．故答案為.點睛：這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關系．求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．16、【解題分析】

畫出可行域，然后利用目標函數(shù)的等值線在可行域中進行平移，根據(jù)或含的式子的含義，目標函數(shù)取最值得最優(yōu)解，可得結果.【題目詳解】如圖令，則為目標函數(shù)的一條等值線將等值線延軸正半軸方向移到到點則點是目標函數(shù)取最小值得最優(yōu)解將等值線延軸負半軸方向移到到點則點是目標函數(shù)取最大值得最優(yōu)解所以所以故答案為：【題目點撥】本題考查線性規(guī)劃，一般步驟：（1）作出可行域；（2）理解或含的式子的含義，利用等值線在可行域中移動找到目標函數(shù)取最值得最優(yōu)解，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；.【解題分析】

等比數(shù)列各項都是正數(shù)，設公比為，，運用等比數(shù)列通項公式和等差數(shù)列中項性質，解方程可得首項和公比，即可得到所求通項；，即，再利用裂項相消法求解即可.【題目詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，由已知得，即.，，解得..由已知得，，，的前n項和【題目點撥】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式的運用，考查方程思想和運算能力，考查數(shù)列的求和方法，裂項相消求和法，屬于中檔題.18、（1）174，174.55；（2）①列聯(lián)表見解析；②.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)的公式即可求解；（2）①根據(jù)頻率分布直方圖求出身高達標與不達標的比例，結合積極參加體育鍛煉和不積極參加體育鍛煉的比例，完成表格；②根據(jù)公式計算出即可下結論.【題目詳解】（1）平均數(shù)，前兩組頻率之和為0.25，前三組頻率之和為0.8，所以中位數(shù)在第三組中位數(shù)為.（2）根據(jù)頻率分布直方圖可得身高不達標所占頻率為0.25，達標所占頻率為0.75，所以身高不達標25人，達標75人，根據(jù)分層抽樣抽取的積極參加體育鍛煉75人，不積極參加體育鍛煉的25人，所以表格為：身高達標身高不達標合計積極參加體育鍛煉601575不積極參加體育鍛煉151025合計7525100假設體育鍛煉與身高達標沒有關系.所以有把握認為體育鍛煉與身高達標有關系.【題目點撥】此題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)，計算指定組的頻率，完成列聯(lián)表進行獨立性檢驗，關鍵在于數(shù)量掌握相關數(shù)據(jù)的求解方法，準確計算并下結論.19、(1);(2).【解題分析】分析：（1）由題意求出該顧客沒有中獎的概率，由此利用對立事件概率計算公式能求出該顧客中獎的概率；（2）利用古典概型概率公式即可求得該顧客獲得獎品總價值為元的概率.詳解：（1）由題意得該顧客沒有中獎的概率為=，∴該顧客中獎的概率為：P=1﹣=，∴該顧客中獎的概率為．（Ⅱ）根據(jù)題意可得：P（X=100）==.點睛：(1)古典概型的重要思想是事件發(fā)生的等可能性，一定要注意在計算基本事件總數(shù)和事件包括的基本事件個數(shù)時，他們是否是等可能的．(2)用列舉法求古典概型，是一個形象、直觀的好方法，但列舉時必須按照某一順序做到不重復、不遺漏．(3)注意一次性抽取與逐次抽取的區(qū)別：一次性抽取是無順序的問題，逐次抽取是有順序的問題.20、【解題分析】分析：首先求得直角坐標方程，然后求得圓心到直線的距離，最后利用弦長公式整理計算即可求得最終結果；詳解：利用加減消