湖南衡陽縣2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

湖南衡陽縣2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．2．甲乙丙丁四人參加數(shù)學(xué)競賽，其中只有一位獲獎.有人走訪了四人，甲說:“乙、丁都未獲獎.”乙說：“是甲或丙獲獎.”丙說：“是甲獲獎.”丁說：“是乙獲獎.”四人所說話中只有兩位是真話，則獲獎的人是()A．甲 B．乙 C．丙 D．丁3．已知函數(shù)，關(guān)于的方程有三個不等的實根，則的取值范圍是（）A． B．C． D．4．已知，為銳角，且，若，則的最大值為（）A． B． C． D．5．下列四個命題中，其中錯誤的個數(shù)是（）①經(jīng)過球面上任意兩點，可以作且只可以作一個大圓；②經(jīng)過球直徑的三等分點，作垂直于該直徑的兩個平面，則這兩個平面把球面分成三部分的面積相等；③球的面積是它大圓面積的四倍；④球面上兩點的球面距離，是這兩點所在截面圓上，以這兩點為端點的劣弧的長．A．0 B．1 C．2 D．36．已知命題，命題，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．或 C． D．7．已知數(shù)列滿足，，，設(shè)為數(shù)列的前項之和，則（）A． B． C． D．8．給出定義：若函數(shù)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．9．以雙曲線的焦點為頂點，離心率為的雙曲線的漸近線方程是（）A． B．C． D．10．已知曲線和曲線圍成一個葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．11．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．412．如圖所示陰影部分是由函數(shù)、、和圍成的封閉圖形，則其面積是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．14．已知函數(shù)，則_________.15．已知i是虛數(shù)單位,若,則________16．如圖所示，一個空間幾何體的主視圖和左視圖都是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在的展開式中，第6項為常數(shù)項．求n的值；求展開式的所有項的系數(shù)之和；求展開式中所有的有理項．18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求過點的切線方程；（2）若方程有3個不同的實根，求的取值范圍。（3）已知當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）某學(xué)校1800名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，抽取其中50名學(xué)生組成一個樣本，將測試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組，第二組……，第五組，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）請估計學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)；（2）若成績小于15秒認為良好，求該樣本中在這次百米測試中成績良好的人數(shù)；（3）請根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù).20．（12分）某高速公路收費站入口處的安全標(biāo)識墩如圖1所示．墩的上半部分是正四棱錐P﹣EFGH，下半部分是長方體ABCD﹣EFGH．圖2、圖3分別是該標(biāo)識墩的正視圖和俯視圖．（1）請畫出該安全標(biāo)識墩的側(cè)視圖；（2）求該安全標(biāo)識墩的體積．21．（12分）已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD中點,設(shè)1)證明：PE⊥BC；2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．22．（10分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

設(shè)CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝2、C【解題分析】

本題利用假設(shè)法進行解答.先假設(shè)甲獲獎，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙、丙所說的話是真話，不合題意；然后依次假設(shè)乙、丙、丁獲獎，結(jié)合已知，選出正確答案.【題目詳解】解:若是甲獲獎，則甲、乙、丙所說的話是真話，不合題意；若是乙獲獎，則丁所說的話是真話，不合題意；若是丙獲獎，則甲乙所說的話是真話，符合題意；若是丁獲獎，則四人所說的話都是假話，不合題意.故選C.【題目點撥】本題考查了的數(shù)學(xué)推理論證能力，假設(shè)法是經(jīng)常用到的方法.3、B【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)后可得方程至多有兩個解．因為有三個不同的解，故方程有兩個不同的解，且，，最后利用函數(shù)的圖像特征可得實數(shù)的取值范圍．【題目詳解】，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，在上為減函數(shù)；所以的圖像如圖所示：又時，，又的值域為，所以當(dāng)或時，方程有一個解，當(dāng)時，方程有兩個不同的解，所以方程即有兩個不同的解，令，故，解得，故選B．【題目點撥】復(fù)合方程的解的個數(shù)問題，其實質(zhì)就是方程組的解的個數(shù)問題，后者可先利用導(dǎo)數(shù)等工具刻畫的圖像特征，結(jié)合原來方程解的個數(shù)得到的限制條件，再利用常見函數(shù)的性質(zhì)刻畫的圖像特征從而得到參數(shù)的取值范圍．4、B【解題分析】

把代入等式中，進行恒等變形，用表示，最后利用基本不等式，求出的最大值.【題目詳解】，.因為為銳角，且，所以，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以，因此的最大值為，故本題選B.【題目點撥】本題考查了三角恒等變形，考查了兩角差的正切公式，考查了應(yīng)用基本不等式求代數(shù)式最值問題.5、C【解題分析】

結(jié)合球的有關(guān)概念:如球的大圓、球面積公式、球面距離等即可解決問題,對于球的大圓、球面積公式、球面距離等的含義的理解,是解決此題的關(guān)鍵.【題目詳解】對于①,若兩點是球的一條直徑的端點,則可以作無數(shù)個球的大圓,故①錯;

對于②三部分的面積都是，故②正確對于③,球面積=,是它大圓面積的四倍,故③正確;

對于④,球面上兩點的球面距離,是這兩點所在大圓上以這兩點為端點的劣弧的長,故④錯.

所以①④錯誤.

所以C選項是正確的.【題目點撥】本題考查球的性質(zhì),特別是求兩點的球面距離,這兩個點肯定在球面上,做一個圓使它經(jīng)過這兩個點,且這個圓的圓心在球心上,兩點的球面距離對應(yīng)的是這個圓兩點之間的對應(yīng)的較短的那個弧的距離.6、D【解題分析】試題分析：由，可得，由，可得，解得.因為為假命題，所以與都是假命題，若是假命題，則有，若是假命題，則由或，所以符合條件的實數(shù)的取值范圍為，故選D.考點：命題真假的判定及應(yīng)用.7、A【解題分析】

由可知數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，然后利用等差數(shù)列求和公式代入計算即可．【題目詳解】由可知數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，所以故選．【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的概念及求和公式，屬基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】

對A，B，C，D四個選項逐個進行二次求導(dǎo)，判斷其在上的符號即可得選項.【題目詳解】若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則.在上，恒有，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，充分理解凸函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

由題求已知雙曲線的焦點坐標(biāo)，進而求出值即可得答案?！绢}目詳解】由題可知雙曲線的焦點坐標(biāo)為，則所求雙曲線的頂點坐標(biāo)為，即，又因為離心率為，所以，解得，所以，即，所以漸近線方程是故選D【題目點撥】本題考查求雙曲線的漸近線方程，解題的關(guān)鍵是判斷出焦點位置后求得，屬于簡單題。10、D【解題分析】

先作出兩個函數(shù)的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數(shù)的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.11、C【解題分析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【題目詳解】所以【題目點撥】本題考查正余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義得到陰影部分的面積。【題目詳解】由定積分的幾何意義可知：陰影部分面積故選B.【題目點撥】本題考查定積分的幾何意義和積分運算，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

利用點差法得到AB的斜率，結(jié)合拋物線定義可得結(jié)果.【題目詳解】詳解：設(shè)則所以所以取AB中點,分別過點A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為因為,，因為M’為AB中點，所以MM’平行于x軸因為M(-1,1)所以，則即故答案為2.【題目點撥】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了拋物線的性質(zhì)，設(shè)，利用點差法得到，取AB中點,分別過點A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由拋物線的性質(zhì)得到，進而得到斜率．14、1【解題分析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解．【題目詳解】解：∵，∴，，故答案為：1【題目點撥】本題考查函數(shù)值的求法，解題時要認真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)的靈活運用．15、【解題分析】由即答案為16、【解題分析】

幾何體是一個圓柱，圓柱的底面是一個直徑為1的圓，圓柱的高是1，圓柱的全面積包括三部分，上下底面圓的面積和側(cè)面展開矩形的面積.【題目詳解】由三視圖知幾何體是一個圓柱，圓柱的底面是一個直徑為1的圓，圓柱的高是1，故圓柱的全面積是：.【題目點撥】本題考查三視圖和圓柱的表面積，關(guān)鍵在于由三視圖還原幾何體.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）；（III）有理項分別為，；.【解題分析】

在二項展開式的第六項的通項公式中，令的冪指數(shù)等于0，求出的值；在二項展開式中，令，可得展開式的所有項的系數(shù)之和；二項式的展開式的通項公式為，令為整數(shù)，可求出的值，即可求得展開式中所有的有理項．【題目詳解】在的展開式中，第6項為

為常數(shù)項，，．在的展開式中，令，可得展開式的所有項的系數(shù)之和為．二項式的展開式的通項公式為，令為整數(shù)，可得，5，8，故有理項分別為，；．【題目點撥】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應(yīng)用.18、（1）；（2）；（3）【解題分析】

求導(dǎo)帶入求出切線斜率，再利用點斜式寫出切線。求出的單調(diào)區(qū)間，極值，則在極小值與極大值之間。參變分離，求最值?！绢}目詳解】(1)設(shè)切點為切線過(2)對函數(shù)求導(dǎo)，得函數(shù)令，即，解得，或，即，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是及，單調(diào)遞減區(qū)間是當(dāng),有極大值；當(dāng)，有極小值當(dāng)時，直線與的圖象有3個不同交點，此時方程有3個不同實根。實數(shù)的取值范圍為(3)時，恒成立，也就是恒成立，令，則，的最小值為，【題目點撥】本題考查曲線上某點的切線方程，兩方程的交點問題以及參變分離。屬于中檔題。19、人；（2）人；15.70.【解題分析】試題分析：（1）利用頻率分布直方圖能估計學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)．（2）利用頻率分布直方圖能求出該樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù)．（3）根據(jù)頻率分布直方圖，能求出樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)．解析：學(xué)校1800名學(xué)生中，成績屬于第四組的人數(shù)人；（2）樣本在這次百米測試中成績良好的人數(shù)是：人；由圖可知眾數(shù)落在第三組，是，.20、(1)見解析（２）64000（cm3）【解題分析】

（1）由于墩的上半部分是正四棱錐P﹣EFGH，下半部分是長方體ABCD﹣EFGH，故其正視圖與側(cè)視圖全等．（2）由三視圖我們易得，底面為邊長為40cm的正方形，長方體的高為20cm，棱錐高為60cm，代入棱柱和棱錐體積公式，易得結(jié)果．【題目詳解】（1）該安全標(biāo)識墩側(cè)視圖如圖所示．（2）該安全標(biāo)識墩的體積V＝VP﹣EFGH+VABCD﹣EFGH40×40×60+40×40×20＝64000（cm3）．【題目點撥】根據(jù)三視圖判斷空間幾何體的形狀，進而求幾何的表（側(cè)/底）面積或體積，是高考必考內(nèi)容，處理的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷空間幾何體的形狀，一般規(guī)律是這樣的：如果三視圖均為三角形，則該幾何體必為三棱錐；如果三視圖中有兩個三角形和一個多邊形，則該幾何體為N棱錐（N值由另外一個視圖的邊數(shù)確定）；如果三視圖中有兩個為矩形和一個多邊形，則該幾何體為N棱柱（N值由另外一個視圖的邊數(shù)確定）；如果三視圖中有兩個為梯形和一個多邊形，則該幾何體為N棱柱（N值由另外一個視圖的邊數(shù)確定）；如果三視圖中有兩個三角形和一個圓，則幾何體為圓錐．如果三視圖中有兩個矩形和一個圓，則幾何體為圓柱．如果三視圖中有兩個梯形和一個圓，則幾何體為圓臺．21、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：（1）以H為原點，HA，HB，HP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明P