小學(xué)奧數(shù)教師 （合輯）-2-3-3 列不定方程解應(yīng)用題

列不定方程解應(yīng)用題

眥I恒:舉目褐

1、熟練掌握不定方程的解題技巧

2、能夠根據(jù)題意找到等量關(guān)系設(shè)未知數(shù)解方程

3、學(xué)會(huì)解不定方程的經(jīng)典例題

一、知識(shí)點(diǎn)說明

歷史概述

不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元3世紀(jì)就開始研究不定方程，因此常稱

不定方程為丟番圖方程.中國(guó)是研究不定方程最早的國(guó)家，公元初的五家共井問題就是一個(gè)不定方程組問題，

公元5世紀(jì)的《張丘建算經(jīng)》中的百雞問題標(biāo)志著中國(guó)對(duì)不定方程理論有了系統(tǒng)研究.宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的

大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來.

考點(diǎn)說明

在各類競(jìng)賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方

法貫穿在行程問題、數(shù)論問題等壓軸大題之中.在以后初高中數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重

要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用不定方程這個(gè)工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個(gè)工具

解題。

二、運(yùn)用不定方程解應(yīng)用題步驟

1、根據(jù)題目敘述找到等量關(guān)系列出方程

2、根據(jù)解不定方程方法解方程

3、找到符合條件的解

模塊一、不定方程與數(shù)論

【例1】把2001拆成兩個(gè)正整數(shù)的和，一個(gè)是11的倍數(shù)（要盡量?。?，一個(gè)是13的倍數(shù)（要盡量大）,求這

兩個(gè)數(shù).

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】這是一道整數(shù)分拆的常規(guī)題.可設(shè)拆成的兩個(gè)數(shù)分別為llx和13），，則有：11X+13y=2001,要讓X

取最小值，y取最大值.

可把式子變形為：y=200Ik=13xl53+l2-13x+2x=i53—x+,可見吆2是整數(shù)，

13131313

滿足這一條件的&最小為7,且當(dāng)x=7時(shí)，y=148.

則拆成的兩個(gè)數(shù)分別是7x11=77和148x13=1924.

【答案】則拆成的兩個(gè)數(shù)分別是77和1924.

【鞏固】甲、乙二人搬磚，甲搬的磚數(shù)是18的倍數(shù)，乙搬的磚數(shù)是23的倍數(shù)，兩人共搬了300塊磚.間：甲、

乙二人誰(shuí)搬的磚多？多幾塊？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)甲搬的是18x塊，乙搬的是23），塊.那么18x+23y=300.觀察發(fā)現(xiàn)18x和300都是6的倍數(shù)，所

以y也是6的倍數(shù).由于y<300+23al3,所以y只能為6或12.

y=6時(shí)18x=162,彳導(dǎo)至[]x=9；

y=12時(shí)I8x=24,此時(shí)x不是整數(shù),矛盾.

所以甲搬了162塊，乙搬了138塊，甲比乙搬得多，多24塊.

【答案】甲比乙搬得多，多24塊

【鞏固】現(xiàn)有足夠多的5角和8角的郵票，用來付4.7元的郵資，問8角的郵票需要多少?gòu)垼?/p>

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)5角和8角的郵票分別有x張和y張，那么就有等量關(guān)系：5x+8y=47.

嘗試y的取值，當(dāng)y取4時(shí)，x能取得整數(shù)3,當(dāng)｝，再增大，取大于等于6的數(shù)時(shí)，x沒有自然數(shù)解.所

以8角的郵票需要4張.

【答案】8角的郵票需要4張

【例2】用十進(jìn)制表示的某些自然數(shù)，恰等于它的各位數(shù)字之和的16倍，則滿足條件的所有自然數(shù)之和為

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】北大附中，資優(yōu)博雅杯

【解析】若是四位數(shù)旃,則16xg+A+c+d)〈16x36vlOOO,矛盾，四位以上的自然數(shù)也不可能。

若是兩位數(shù)必，則16x(a+〃)>104+6="6,也不可能，故只有三位數(shù)abc.

16x(a+fe+c)=100a+10/2+c，化簡(jiǎn)得28。=2b+5c,由于26+5c<7x9=63,

所以a=1或A=2.“=1時(shí)，b=9,c=2，或〃=4,c=4；a=2時(shí)，h=S,c=8.

所以所有自然數(shù)之和為192+144+288=624.

【答案】所有滿足條件的自然數(shù)之和為624

模塊二、不定方程與應(yīng)用題

【例3】有兩種不同規(guī)格的油桶若干個(gè)，大的能裝8千克油，小的能裝5千克油，44干克油恰好裝滿這些油

桶.間：大、小油桶各幾個(gè)？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)有大油桶x個(gè)，小油桶y個(gè).由題意得：

8x+5y=44

可知8x<44,所以x=0、1、2、3、4、5.由于尤、y必須為整數(shù)，所以相應(yīng)的將x的所有可能值代入方程,

可得x=3時(shí)，"4這一組整數(shù)解.

所以大油桶有3個(gè)，小油桶有4個(gè).

小結(jié)：這道題在解答時(shí)，也可聯(lián)系數(shù)論的知識(shí)，注意到能被5整除的數(shù)的特點(diǎn),便可輕松求解.

【答案】大油桶有3個(gè)，小油桶有4個(gè)

［例4］在一次活動(dòng)中，丁丁和冬冬到射擊室打靶，回來后見到同學(xué)“小博士"，他們讓"小博士”猜他們

各命中多少次.“小博士”讓丁丁把自己命中的次數(shù)乘以5,讓金冬把自己命中的次數(shù)乘以4,再

把兩個(gè)得數(shù)加起來告訴他，丁丁和冬冬算了一下是31小博士”正確地說出了他們各自命中的

次數(shù).你知道丁丁和冬冬各命中幾次嗎？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)丁丁和冬冬分別命中了x次和），次，則：5x+4y=31.可見x除以4的余數(shù)為3,而且x不能超

過6,所以尤=3,y=4.即丁丁命中了3次，冬冬命中了4次.

【答案】丁丁命中了3次，冬冬命中了4次

【鞏固】某人打靶，8發(fā)共打了53環(huán)，全部命中在10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)上.問：他命中10環(huán)、7環(huán)和5環(huán)各幾

發(fā)？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】假設(shè)命中10環(huán)x發(fā)，7環(huán)y發(fā)，5環(huán)z發(fā)，貝"：…二……?由⑵可知7），除以5的余數(shù)為

[10x+7y+5z=53…-（2）

3所以y=4、9……如果），為9,則7y=6所以y只能為4代入原方程組可解得r=1,z=3所

以他命中10環(huán)1發(fā)，7環(huán)4發(fā)，5環(huán)3發(fā).

【答案】命中1。環(huán)1發(fā)，7環(huán)4發(fā)，5環(huán)3發(fā)

[例5]某次聚餐，每一位男賓付130元，每一位女賓付100元，每帶一個(gè)孩子付60元，現(xiàn)在有;的成人各

帶一個(gè)孩子，總共收了2160元，問：這個(gè)活動(dòng)共有多少人參加（成人和孩子）?

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)參加的男賓有x人，女賓有y人，則由題意得方程：130x+100y+g（x+y）x60=2160,即

15（k+12§）=21（,化簡(jiǎn)得5x+4.y=72.這個(gè)方程有四組解：：，]=?和[=（）

[y=13[y=8[y=3[y=18

但是由于有;的成人帶著孩子，所以x+y能被3整除，檢驗(yàn)可知只有后兩組滿足.

所以,這個(gè);舌動(dòng)共有12+3+gx（12+3）=20人或18+；xl8=24人參力口.

【答案】這個(gè)活動(dòng)共有20人或24人參加

【鞏固】單位的職工到郊外植樹，其中有男職工，也有女職工，并且有1的職工各帶一個(gè)孩子參加.男職工

3

每人種13棵樹，女職工每人種10棵樹，每個(gè)孩子都種6棵樹，他們一共種了216棵樹，那么其中有

多少名男職工？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】因?yàn)橛?的職工各帶一個(gè)孩子參加，則職工總?cè)藬?shù)是3的倍數(shù).設(shè)男職工有x人，女職工有｝，人.

則職工總?cè)藬?shù)是(x+y)人，孩子是守人.得到方程：13x+10y+(x+y)+3x6=216,化簡(jiǎn)得：

5x+4y=72.因?yàn)槟新毠づc女職工的人數(shù)都是整數(shù)，所以當(dāng)了=3時(shí)，尤=12；當(dāng)y=8時(shí)，x=8；

當(dāng))，=13,x=4.其中只有3+12=15是3的倍數(shù)，符合題意，所以其中有12名男職工.

【答案】其中有12名男職工

【例6】張師傅每天能舞制3件上衣，或者9件裙褲，李師傅每天能S1制2件上衣，或者7件裙褲，兩人20

天共縫制上衣和裙褲134件，那么其中上衣是多少件？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】如果2()天都縫制上衣，共可縫制(3+2)*20=100件，實(shí)際上比這多縫制了134-100=34件，這就要

把上衣?lián)Q成裙褲，張師傅每天可多換9-3=6件，李師傅每天可多換7-2=5件，設(shè)張師傅縫制裙褲

x天,李師傅縫制裙褲)，天，則：6x+5y=34,整數(shù)解只有x=4,y=2.

因此共縫制裙褲9x4+7x2=50件，上衣共134-50=84件.

【答案】上衣共84件

【鞏固】小花狗和波斯描是一對(duì)好朋友，它們?cè)谠缤硪娒鏁r(shí)總要叫上幾聲表示問候.若是早晨見面，小花狗

叫兩聲，波斯貓叫一聲；若是晚上見面，小花狗叫兩聲，波斯描叫三聲.細(xì)心的小娟對(duì)它們的叫聲

統(tǒng)計(jì)了15天，發(fā)現(xiàn)它們并不是每天早晚都見面.在這15天內(nèi)它們共叫了61聲.問：波斯貓至少叫

了多少聲？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】早晨見面小花狗和波斯貓共叫3聲，晚上見面共叫5聲.設(shè)在這15天內(nèi)早晨見面x次，晚上見面y

次.根據(jù)題意有：3x+5y=61(xW15,yW15).

可以湊出，當(dāng)x=2時(shí)，>>=11；當(dāng)》=7時(shí)，y=8；當(dāng)》=12時(shí)，y=5.

因?yàn)樾』ü饭步辛?(x+y)聲，那么(x+y)越大，小花狗就叫得越多，從而波斯貓叫得越少，所以

當(dāng)x=12,y=5時(shí)波斯貓叫得最少，共叫了1x12+3x5=27(聲).

【答案】叫了27聲

【例7】甲、乙兩人生產(chǎn)一種產(chǎn)品，這種產(chǎn)品由一個(gè)4配件與一個(gè)B配件組成.甲每天生產(chǎn)300個(gè)A配件，

或生產(chǎn)150個(gè)8配件；乙每天生產(chǎn)120個(gè)A配件，或生產(chǎn)48個(gè)3配件.為了在10天內(nèi)生產(chǎn)出

更多的產(chǎn)品，二人決定合作生產(chǎn)，這樣他們最多能生產(chǎn)出多少套產(chǎn)品？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】假設(shè)甲、乙分別有x天和y天在生產(chǎn)A配件，則他們生產(chǎn)8配件所用的時(shí)間分別為(10-x)天和

(10-y)天，那么10天內(nèi)共生產(chǎn)了A配件(300x+120y)個(gè)，共生產(chǎn)了B配件

150x(10-%)+48x(10-y)=1980-150x-48y^.要將它們配成套,A配件與8配件的數(shù)量應(yīng)相等,

即300x+120y=1980-150x—48y,得至(J75尤+28y=330,則x=33028y.

此時(shí)生產(chǎn)的產(chǎn)品的套數(shù)為300x+120y=300x*^+120)，=1320+8)，，要使生產(chǎn)的產(chǎn)品最多，就

要使得y最大，而y最大為10,所以最多能生產(chǎn)出1320+8x10=1400套產(chǎn)品.

【答案】最多能生產(chǎn)出1400套產(chǎn)品

【鞏固】某服裝廠有甲、乙兩個(gè)生產(chǎn)車間，甲車間每天能生產(chǎn)上衣16件或褲子20件；乙車間每天能生產(chǎn)上

衣18件或褲子24件.現(xiàn)在要上衣和褲子配套，兩車間合作21天，最多能生產(chǎn)多少套衣服？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】假設(shè)甲、乙兩個(gè)車間用于生產(chǎn)上衣的時(shí)間分別為X天和y天，則他們用于生產(chǎn)褲子的天數(shù)分別為

(21-x)天和(21-y)天，那么總共生產(chǎn)了上衣(16》+18卜)件，

生產(chǎn)了褲子20x(21-x)+24x(21-y)=924-20x-24y件.

根據(jù)題意，褲子和上衣的件數(shù)相等,所以16x+18y=924-20x-24y,即6x+7y=15.，即

.那么共生產(chǎn)了i6x+18y=16x汽衛(wèi)+i8y=4K)|-|y套衣服.

要使生產(chǎn)的衣服最多，就要使得)，最小，貝h應(yīng)最大，而x最大為21,此時(shí)y=4.故最多可以生產(chǎn)

??

出410----x4=408套衣服.

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【答案】最多可以生產(chǎn)出408套衣服

【例8】有一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要36天完成，乙單獨(dú)做需要3()天完成，丙單獨(dú)做需要48天完成，現(xiàn)在由

甲、乙、丙三人同時(shí)做，在工作期間，丙休息了整數(shù)天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成這項(xiàng)

工程也用了整數(shù)天，那么丙休息了天.

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)完成這項(xiàng)工程用了。天，其間丙休息了。天.

根據(jù)題意可知：,空。--!-人=1,化簡(jiǎn)得59。-15匕=720.

（363048J4872048

由上式，因?yàn)?5b與720都是15的倍數(shù)，所以59“必須是15的倍數(shù)，所以。是15的倍數(shù)，在a>b的

條件下，只有a=15,〃=11—組解，即丙休息了11天.

【答案】丙休息了II天

【例9］實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級(jí)學(xué)生租車去野外開展”走向大自然，熱爰大自然”活動(dòng)，所有的學(xué)生和老師共

306人恰好坐滿了5輛大巴車和3輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在20人到25人之間，求每

輛大巴車的載客人數(shù).

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)每輛大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為x人和），人，那么有：5x+3y=306.由于知道中巴車的載

客人數(shù)，也就是知道了y的取值范圍，所以應(yīng)該從），入手.顯然3），被5除所得的余數(shù)與306被5除

所得的余數(shù)相等，從個(gè)位數(shù)上來考慮，3），的個(gè)位數(shù)字只能為1或6,那么當(dāng)>■的個(gè)位數(shù)是2或7時(shí)

成立.由于y的值在20與25之間，所以滿足條件的），=22,繼而求得x=48,所以大巴車的載客

人數(shù)為48人.

【答案】大巴車的載客人數(shù)為48人

【鞏固】實(shí)驗(yàn)小學(xué)的五年級(jí)學(xué)生租車去野外開展”走向大自然，熱愛大自然”活動(dòng),所有的學(xué)生和老師共306

人恰好坐滿了7輛大巴車和2輛中巴車，已知每輛中巴車的載客人數(shù)在20人到25人之間，求每輛大

巴車的載客人數(shù).

【解析】設(shè)大巴車和中巴車的載客人數(shù)分別為x人和y人，那么有：7x+2y=306.

考慮等式兩邊除以7的余數(shù)，由于306被7除余5,所以2），被7除余5,符合條件的），有：6、13.

20、27,所以y=20,繼而求得x=38,所以大巴車的載客人數(shù)為38人.

【答案】大巴車的載客人數(shù)為38人

【鞏固】每輛大汽車能容納54人，每輛小汽車能容納36人.現(xiàn)有378人，要使每個(gè)人都上車且每輛車都

裝滿，需要大、小汽車各幾輛？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)需要大、小汽車分別為x輛、y輛，則有：54x+36y=378,可化為3x+2y=21.

可以看出y是3的倍數(shù)，又不超過10,所以y可以為0、3、6或9,將y=0、3、6、9分別代入

可知有四組解：\c；或｛N；或（"或（n

[y=9[y=6[y=3[y=0

即需大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽

車7輛.

【答案】大汽車1輛，小汽車9輛；或大汽車3輛，小汽車6輛；或大汽車5輛，小汽車3輛；或大汽車7

輛

【鞏固】小偉聽說小峰養(yǎng)了一些兔和雞，就問小峰：“你養(yǎng)了幾只兔和雞？"小峰說："我養(yǎng)的兔比雞多，

雞兔共24條腿.”那么小峰養(yǎng)了多少兔和雞？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】這是一道雞兔同籠問題，但由于已知雞兔腿的總數(shù)，而不是雞兔腿數(shù)的差，所以用不定方程求解.

設(shè)小峰養(yǎng)了x只兔子和.V只雞，由題意得：

4x+2y=24

即：2x+y=\2,y=\2-2x

這是一個(gè)不定方程，其可能整數(shù)解如下表所示：

X0123456

y121086420

由題意x>y,且x,.V均不為0,所以x=5,y=2,也就是兔有5只，雞有2只.

【答案】兔有5只，雞有2只

【例10】一個(gè)家具店在1998年總共賣了213張床.起初他們每個(gè)月賣出25張床,之后每個(gè)月賣出16張

床，最后他們每個(gè)月賣出20張床.問：他們共有多少個(gè)月是賣出25張床？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】香港保良局亞洲區(qū)城市小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽

【解析】設(shè)賣出25、16、20張床的月份分別為x、y、z個(gè)月，貝!!：

卜+y+z=12...................(1)

[25x+16y+20z=213...(2)

由⑴得y=12-x-z，代入⑵得9x+4z=21.

顯然這個(gè)方程的正整數(shù)解只有x=l,z=3.

所以只有1個(gè)月是賣出25張床的.

【答案】只有1個(gè)月是賣出25張床的

【例11】五年級(jí)一班共有36人，每人參加一個(gè)興趣小組，共有A、B、C、D、E五個(gè)小組.若參加A組

的有15人，參加B組的人數(shù)僅次于A組，參加C組、。組的人數(shù)相同，參加E組的人數(shù)最少，只

有4人.那么，參加8組的有人.

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】希望杯，二試

【解析】設(shè)參加B組的有x人，參加C組、。組的有y人,貝！|x>y>4,

由題知15+x+2y+4=36，整理得x+2y=17；

由于V>4,若y=5，得x=7,滿足題意；若丫26,貝！,與x>了矛盾；

所以只有x=7,y=5符合條件，故參加B組的有7人.

【答案】參加8組的有7人

【例12】將一群人分為甲乙丙三組，每人都必在且僅在一組.已知甲乙丙的平均年齡分為37,23,41.甲

乙兩組人合起來的平均年齡為29；乙丙兩組人合起來的平均年齡為33.則這一群人的平均年齡

為

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】我愛數(shù)學(xué)夏令營(yíng)

【解析】設(shè)甲乙丙三組分別有x,y,z人，依提議有:

,37x+23y=29（x+y）⑴

23y+41z=33（y+z）⑵

由⑴化簡(jiǎn)可得x:y=3:4,由⑵化簡(jiǎn)可得y：z=4:5，所以x:y:z=3:4:5；

因此，這一群人的平均年齡為咤貧產(chǎn)=34.

【答案】34

[例13114個(gè)大、中、小號(hào)鋼珠共重100克，大號(hào)鋼珠每個(gè)重12克，中號(hào)鋼珠每個(gè)重8克，小號(hào)鋼珠每個(gè)重

5克.問：大、中、小號(hào)鋼珠各有多少個(gè)？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)大、中、小號(hào)鋼珠分別有x個(gè)，y個(gè)和z個(gè)，則：…二?????(2)-(1)x5，得

[12x+8y+5z=100…?⑵

7x+3y=30可見7x是3的倍數(shù)，又是7的倍數(shù)，且小于30，所以只能為21，故x=3代入得y=3,

z=8.所以大、中、小號(hào)鋼珠分別有3個(gè)、3個(gè)和8個(gè).

【答案】大、中、小號(hào)鋼珠分別有3個(gè)、3個(gè)和8個(gè)

【鞏固】袋子里有三種球，分別標(biāo)有數(shù)字2,3和5，小明從中摸出12個(gè)球，它們的數(shù)字之和是43.問：

小明最多摸出幾個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)小明摸出標(biāo)有數(shù)字2,3和5的球分別為x,y,z個(gè)，于是有

x+y+z=12..........(1)

2%+3y+5z=43......(2)

由5x(l)-(2),得3x+2y=17......⑶，

由于x,y都是正整數(shù)，因此在③中，.V取1時(shí).x取最大值5,

所以小明最多摸出5個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球.

【答案】最多摸出5個(gè)標(biāo)有數(shù)字2的球

【例14】公鴻1只值錢5,母雞一只值錢3，小雞三只值錢1,今有錢100,買雞100只，問公雞、母雞、

小雞各買幾只？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

x+y+z=100①

【解析】設(shè)買公雞、母雞、小雞各八八z只，根據(jù)題意，得方程組1合由②-①，

5x+3y+-z=100?

214x

彳導(dǎo)14x+8y=200,即：y=0°-=25--x,因?yàn)閤、y為正整數(shù)，所以不難得出x應(yīng)為4的倍

84

數(shù)，故X只能為4、8、12,從而相應(yīng))，的值分別為18、11、4，相應(yīng)Z的值分別為78、81、84.所

x=4元=8x=12

以，方程組的特殊解為y=18,y=U,)=4，所以公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買4只、18只、78

z=78z=81z=84

只或8只、11只、81只或12只、4只、84只.

【答案】公雞、母雞、小雞應(yīng)分別買4只、18只、78只或8只、11只、81只或12只、4只、84只

【鞏固】小明玩套圈游戲，套中小雞一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分.小明共套了10次，每

次都套中了，每個(gè)小玩具都至少被套中一次，小明套10次共得61分.問：小明至多套中小雞幾次？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)套中小雞x次，套中小猴y次，則套中小狗（10-x-y）次.根據(jù)得61分可列方程：

9x+5y+2x（10-x-y）=61,化簡(jiǎn)后得7x=41-3y.顯然y越小，x越大.將y=l代入得

7X=38,無(wú)整數(shù)解；若丫=2,7x=35,解得x=5,所以小明至多套中小雞5次.

【答案】小明至多套中小雞5次

【例15］開學(xué)前，寧寧拿著媽媽給的3（）元錢去買筆，文具店里的圓珠筆每支4元，鉛筆每支3元.寧寧買完

兩種筆后把錢花完.請(qǐng)問：她一共買了幾支筆？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】（法一）由于題中圓珠筆與鉛筆的數(shù)量都不知道，但總費(fèi)用已知，所以可以根據(jù)不定方程分析兩種筆

的數(shù)量，進(jìn)而得解.設(shè)她買了x支圓珠筆，y支鉛筆，由題意列方程：4x+3y=30，所以3y=30-4x,

y=10-當(dāng)因?yàn)閤、），均為整數(shù)，所以x應(yīng)該能被3整除，又因?yàn)?4x47,所以x=3或6，當(dāng)x=3時(shí)，

y=6,x+y=9,當(dāng)x=6時(shí)，y=2,x+y=8,寧寧共買了9支筆或8支筆.

（法二）換個(gè)角考慮：將"一支圓珠筆和一支鉛筆"看成一對(duì)，分析寧寧可能買了幾對(duì)筆，不妨設(shè)為，"

對(duì)，余下的一定是圓珠筆與鉛筆中的唯一一種.一對(duì)筆的售價(jià)為"4+3=7元，由題意可知,

1<<4rX為整數(shù)

（1）當(dāng)，”=1時(shí)，余款為30-7=23，不能被3或4整除，這種情況不可能；

（2）當(dāng)，〃=2時(shí)，余款為30-2x7=16，能被4整除，也就是說配對(duì)后，余下4支圓珠筆.此時(shí)，

寧寧買了6支圓珠筆，2支鉛筆，共8支筆.

（3）當(dāng)加=3時(shí)，余款為30-3x7=9,能被3整除，也就是說配對(duì)后，余下3支圓珠筆.此時(shí),

寧寧買了3支圓珠筆，6支鉛筆，共9支筆.

（4）當(dāng)m=4時(shí)，余款為30-4x7=2,不能被3或4整除，這種情況不可能，由上面的分析可

知，寧寧共買了9支筆或8支筆.

【答案】寧寧共買了9支筆或8支筆

【鞏固】小華和小強(qiáng)各用6角4分買了若干支鉛筆，他們買來的鉛筆中都是5分一支和7分一支的兩種，而且

小華買來的鉛筆比小強(qiáng)多.小華比小強(qiáng)多買來鉛筆多少支.

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】迎春杯，預(yù)賽

【解析】設(shè)買5分一支的鉛筆〃?支，7分一支的鉛筆〃支.貝！|：5xW+7xn=64,64-7x〃是5的倍數(shù).用

n=0,1,2,3,4,5,6,7,8代入檢驗(yàn)，只有"=2,7滿足這一要求，得出相應(yīng)的機(jī)=10,

3.即小華買鉛筆10+2=12支，小強(qiáng)買鉛筆7+3=10支，小華比小強(qiáng)多買2支.

【答案】小華比小強(qiáng)多買2支

【例16】藍(lán)天小學(xué)舉行“迎春"環(huán)保知識(shí)大賽，一共有100名男、女選手參加初賽，經(jīng)過初賽、復(fù)賽，最后

確定了參加決賽的人選.已知參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的20%;參加決賽

的女選手的人數(shù)，占初賽的女選手人數(shù)的12.5%,而且比參加初賽的男選手的人數(shù)多.參加決賽的

男、女選手各有多少人？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于參加決賽的男選手的人數(shù)，占初賽的男選手人數(shù)的20%；參加決賽的女選手的人數(shù)，占初賽時(shí)

女選手人數(shù)的12.5%，所以參加初賽的男選手人數(shù)應(yīng)是5的倍數(shù)，參加初賽的女選手的人數(shù)應(yīng)是8的

倍數(shù).

設(shè)參加初賽的男生為5x人，參加初賽的女生為8），人.

根據(jù)題意可列方程：5x+8y=100.

解得尸：，或尸:

卜=5〔》=10

又因?yàn)閰⒓記Q賽的女選手的人數(shù)，比參加決賽的男選手的人數(shù)多，也就是），要比x大，所以第一組

解不合適，只有x=4,y=10滿足.

故參加決賽的男選手為4人，女選手為1。人.

【答案】男選手為4人，女選手為10人

【鞏固】今有桃95個(gè)，分給甲、乙兩班學(xué)生吃，甲班分到的桃有工是壞的，其他是好的；乙班分到的桃有」

916

是壞的，其他是好的.甲、乙兩班分到的好桃共有幾個(gè)？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】甲班分到的桃是9的倍數(shù)，乙班分到的桃是16的倍數(shù)，假設(shè)甲班分到桃9x個(gè)，乙班分到桃16），個(gè).于

是：9x+16y=95，解得37,y=2，即甲班分至！I桃9x7=63（個(gè)），乙班分至！|桃16x2=32（個(gè)）.所

以，兩班共分到好桃63x(1-4)+32x(1-±)=75(個(gè)).

916

【答案】?jī)砂喙卜值胶锰?5個(gè)

【例17]甲、乙兩人各有一袋糖，每袋糖都不到20粒.如果甲給乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的2倍；

如果乙給甲同樣數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的3倍.甲、乙兩人共有多少粒糖？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)甲、乙原有糖分別為x粒、)，粒，甲給乙的數(shù)量為工粒，則依題意有：

仃一=2(>+力且卜420整理得產(chǎn)一2〉-32=0……(1)

[x+z=3(y-z)，[y<20]x-3y+4z=0(2)

由⑴得x=2y+3z，代入⑵得7z-y=0,即y=7z.

因y420,故z=l或z=2.

若z=2,則y=14,x=2xl4+3x2=34>20,不合題意.

因而z=l,對(duì)應(yīng)方程組有唯一解x=17,y=7,z=l.則甲、乙共有糖17+7=24粒.

【答案】甲、乙共有糖24粒

【鞏固】有兩小堆磚頭，如果從第一堆中取出10。塊放到第二堆中去，那么第二堆將比第一堆多一倍.如果

相反，從第二堆中取出若干塊放到第一堆中去，那么第一堆將是第二堆的6倍.問：第一堆中的磚

頭最少有多少塊？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)第一堆磚有X塊，則根據(jù)第一個(gè)條件可得第二堆磚有(2X-300)塊.

再設(shè)從第二堆中取出.V塊放在第一堆后，第一堆將是第二堆的6倍，可列方程：

x+y=6x(2x-300-y)，化簡(jiǎn)彳導(dǎo)7y+1800=1lx,

那么x=(7y+1800)+ll=163+與產(chǎn).

因?yàn)閤是整數(shù)，7與11互質(zhì)，所以(y+1)應(yīng)是11的倍數(shù)，y最小是10,推知x最小是

16.7N],)=51,所以，第一堆中的磚頭最少有170塊.

【答案】第一堆中的磚頭最少有170塊

【例18)甲乙丙三個(gè)班向希望工程捐贈(zèng)圖書，已知甲班有1人捐6冊(cè)，有2人各捐7冊(cè)，其余都各捐11冊(cè)，

乙班有I人捐6冊(cè)，3人各捐8冊(cè)，其余各捐10冊(cè)；丙班有2人各卷4冊(cè)，6人各捐7冊(cè)，其余各捐

9冊(cè)。已知甲班捐書總數(shù)比乙班多28冊(cè)，乙班比丙班多1()1冊(cè)，各班捐書總數(shù)在400冊(cè)與55()冊(cè)之

間，問各班各有多少人？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】華杯賽，復(fù)賽

【解析】我們?cè)O(shè)甲班有x人，乙班有y人，丙班有z人，那么三個(gè)班的捐書數(shù)目分別為：

ll(x-3)+6+7+7=llx-13,

10(y-4)+6+8x3=10y-10,

9(z-8)+4x2+7x6=9z-22,

llx-13=(10y-10)+28lx=10y+31

根據(jù)題意有：10)，-10=(9z-22)+101'H10y=9z+89

又因?yàn)楦靼嗟木钑鴶?shù)目都在400至1]550之間，因此我們知道：捐書最多的甲班有11-134550,而

捐書最少的丙班有9z-222400,從而有563211x=10y+31=（9z+89）+3I2422+89

+31=542，于是有52>x>49，所以有x=50或51。經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x=50時(shí)，.y不是整數(shù)，而當(dāng)x=51

時(shí)，有y=53,z=49,也就是說，甲乙丙三班人數(shù)分別為51,53,49。

【答案】甲乙丙三班人數(shù)分別為51,53,49

【例19】在新年聯(lián)歡會(huì)上，某班組織了一場(chǎng)飛鏢比賽.如右圖,飛鏢的靶子分為三塊區(qū)域，分別對(duì)應(yīng)17分、

11分和4分.每人可以扔若干次飛鏢，脫靶不得分，投中靶子就可以得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).若恰好投在

兩塊（或三塊）區(qū)域的交界線上，則得兩塊（或三塊）區(qū)域中分?jǐn)?shù)最高區(qū)域的分?jǐn)?shù).如果比賽規(guī)定恰好

投中120分才能獲獎(jiǎng)，要想獲獎(jiǎng)至少需要投中次飛鏢.

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)組，復(fù)賽

【解析】假設(shè)投中17分、11分、4分的次數(shù)分別為x次、），次和z次，那么投中飛鏢的總次數(shù)為（x+y+z）次,

而總得分為17x+lly+4z分，要想獲獎(jiǎng),必須17x+lly+4z=120.

由于17x<120，得到X46.當(dāng)x的值一定后，要使（x+y+z）最小，必須使），盡可能大.

若x=6，得到lly+4z=18,此時(shí)無(wú)整數(shù)解；

若x=5，得到lly+4z=35，此時(shí)y=l,z=6,x+y+z=5+l+6=12；

若x=4，得到lly+4z=52，此時(shí)）'最大為4,當(dāng)y=4時(shí)z=2，這種情況下x+y+z=10；

若x=3,得到lly+4z=69，此時(shí)y=3,z=9,x+y+z=3+3+9=15；

若x=2，得到lly+4z=86，止匕時(shí)y最大為6,當(dāng)y=6時(shí)z=5,這種情況下x+y+z=13；

若x=1，得到1ly+4z=103,此時(shí)y最大為9,當(dāng)y=9時(shí)z=1,這種情況下x+y+z=11；

若x=0，得至［jlly+4z=120，此時(shí)y最大為8,當(dāng)了=8時(shí)z=8，這種情況下x+y+z=16.

經(jīng)過比較可知（x+y+z）的值最小為10,所以至少需要投中10次飛鏢才能獲獎(jiǎng).

【答案】至少需要投中10次飛鏢才能獲獎(jiǎng)

模塊三、不定方程與生活中的應(yīng)用題

【例20］某地用電收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：若每月用電不超過50度，則每度收5角；若超過50度，則超出部分按每

度8角收費(fèi).某月甲用戶比乙用戶多交3元3角電費(fèi)，這個(gè)月甲、乙各用了多少度電？

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

［解析］3元3角即33角，因?yàn)?3既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)，所以甲、乙兩用戶用電的情況一定是一

個(gè)超過了50度,另一個(gè)則沒有超過.由于甲用戶用電更多，所以甲用戶用電超過50度，乙用戶用

電不足50度.設(shè)這個(gè)月甲用電（50+x）度，乙用電（50-y）度.因?yàn)榧妆纫叶嘟?3角電費(fèi),所以有

8x+5y=33.容易看出x=l,y=5,可知甲用電51度，乙用電45度.

【答案】甲用電51度，乙用電45度

【鞏固】某區(qū)對(duì)用電的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定如下：每月每戶用電不超過10度的部分，按每度0.45元收費(fèi)；超過10度

而不超過20度的部分，按每度0.80元收費(fèi)；超過20度的部分按每度1.50元收費(fèi).某月甲用戶比乙

用戶多交電費(fèi)7.10元，乙用戶比丙用戶多交3.75元，那么甲、乙、丙三用戶共交電費(fèi)多少元？（用

電都按整度數(shù)收費(fèi)）

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】由于丙交的電費(fèi)最少，而且是求甲、乙電費(fèi)的關(guān)鍵，先分析一下他的用電度數(shù).因?yàn)橐矣脩舯缺?/p>

戶多交3.75元，所以二者中必有一個(gè)用電度數(shù)小于10度（否則差中不會(huì)出現(xiàn)005元），丙用電少，所

以丙用電度數(shù)小于10度，乙用電度數(shù)大于1。度，但是不會(huì)超過20度（否則甲、乙用電均超過20度，

其電費(fèi)差應(yīng)為L(zhǎng)50的整數(shù)倍，而不會(huì)是7.10元）.

設(shè)丙用電（10-x）度，乙用電（10+y）度，由題意得：

0.45x4-0.8^=3.75

9%+16〉=75

9x=75-16y

_75-16y

x—

9

所以y是3的倍數(shù)，又不），均為整數(shù)，且都大于0小于10

75-16x3

所以y=3x==3

9

所以丙用電10-3=7度,交電費(fèi)0.45x7=3.15元；乙交電費(fèi)3.15+3.75=6.90元，甲交電費(fèi)

6.90+7.10=14.007E，三戶共交電費(fèi)3.15+6.90+14.00=24.05元.

【答案】三戶共交電費(fèi)24.05元

【例21］馬小富在甲公司打工，幾個(gè)月后又在乙公司兼職，甲公司每月付給他薪金47()元，乙公司每月付給

他薪金350元.年終，馬小富從兩家公司共獲薪金7620元.他在甲公司打工個(gè)月，在乙公

司兼職個(gè)月.

【考點(diǎn)】列不定方程解應(yīng)用題【難度】3星【題型】解答

【解析】設(shè)馬小