相似三角形的性質(zhì)（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）-2021-2022學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（北師大版）

專題4.25相似三角形的性質(zhì)（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）

一、單選題

知識點一、運用相似三角形性質(zhì)求解

9

1.若△ABCs/iDEF,且△ABC與△DEF的面積比是一，則△ABC與△DEF對應(yīng)中線的

4

比為（）

2「81-9c3

A.-B.—C.-D.一

31642

2.若且SAMC：S△桃產(chǎn)3：4,則△ABC與△。底尸的周長比為

A.3：4B.4：3

C.V3：2D.2：V3

3.若AA3CSA4，B，C,相似比為1:2,則AA3C與A4EC'的面積的比為（）

A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1

4.如圖，已知AADESZSACB,若AB=10,AC=8,AD=4,則AE的長是（）

A.4B.5C.20D.3.2

知識點二、證明相似三角形對應(yīng)線段成比例

5.己知CD是RIAABC斜邊上的高，則下列各式中不正確的是（）

A.BC2=BD?ABB.CD2=BD?AD

c.AC2=AD?ABD.BOAD=AOBD

6.如圖，已知AB〃CD,AD與CD相交于點O,AO:DO=1:2,則下列式子錯誤的為（）

C.AD:DO=3;2D.49:8=1:2

7.如圖，以48,C為頂點的三角形與以尸為頂點的三角形相似，則這兩個三角形的相

似比為（）

A.2：1B.3：1C,4：3D.3：2

An

8.如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則;至為（）

AB

B.巫C.-D.走

A.—2

442

知識點三、網(wǎng)格中的相似三角形

9.如圖，在正方形網(wǎng)格上有5個三角形（三角形的頂點均在格點上）：①^ABC,②AADE,

③aAEF,④△AFH,⑤AAHG,在②至⑤中，與①相似的三角形是（）

A.②④B.②⑤C.③④D.④⑤

10.如圖，APQR在邊長為1個單位的方格紙中，它的頂點在小正方形頂點位置，其中點A、

B、C、。也是小正方形的頂點，那么與相似的是（）

A.以點尸、2、A為頂點的三角形;

B.以點P、Q、8為頂點的三角形

C.以點P、。、C為頂點的三角形

D.以點尸、。、。為頂點的三角形

12.如圖，每個小正方形邊長均為1,則下列圖中的陰影三角形與左圖中A4BC相似的是（）

知識點四、利用相似三角形解決動點問題

13.如圖，有一塊直角三角形余料ABC,ZBAC=90°,G,D分別是AB,AC邊上的一點，

現(xiàn)從中切出一條矩形紙條DEFG,其中E,F在BC上，若BF=4.5cm,CE=2cm,則GF的長

為（）

A.3cmB.2^/2cmC.2.5cmD.3.5cm

14.如圖，在△ABC中，AC=6,AB=4,點D,A在直線BC同側(cè)，且NACD=NABC,

CD=2,點E是線段BC延長線上的動點.若△DCE和4ABC相似,則線段CE的長為（）

4242

A.—B.-C.：或3D.彳或4

3333

15.如圖所示，在RfAABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,CD_LAB于。，P是線段C￡＞上

一個動點，以尸為直角頂點向下作等腰RfABPE，連結(jié)AE,OE,則OE的最小值為（）

A.1B.2C.72D.20

16.如圖，RSABC中，ZACB=90°,CD平分NACB交AB于點D,按下列步驟作圖：

步驟1：分別以點C和點D為圓心，大于gc。的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點；

步驟2：作直線MN,分別交AC,BC于點E,F；

步驟3：連接DE,DF；

若AC=4,BC=2,則線段DE的長為（）

A.]B,-C.y[2D.—

知識點五、相似三角形的判定與性質(zhì)

17.如圖，在AABC中，DEI/BC,"則《''ME—的值是（）

AB3?四邊形VD8C￡

4-24

A.-B.1C.-D.一

539

18.如圖，AABC中，DEHBC,AD=3fDB=BC=5,則。石的長為（）

A.—B.3C.—D.2

83

19.如圖，已知A3、CD、EF都與BO垂直，垂足分別是3、D、F,且A8=4,EF=3,

那么CD的長是（）

A.12B.9C.6D.16

20.如圖，在四邊形A8C￡＞中，AD//BC,點區(qū)歹分別是邊上的點，AF與BE交

于點。，AE=2,BF=\,則A4OE與ABO尸的面積之比為（）

A.：B.-C.2D.4

24

知識點六、相似三角形的綜合問題

21.如圖，點G、F分別是△ACD的邊AC、CD上的點，AD的延長線與GF的延長線相交

于點B,DE〃AC交GB于點E,則下列結(jié)論錯誤的是（）

DEBEcDEDF「EFDF一ADEG

A.=B.——C.——D.-

AGBGCGCFFGCDABBG

22.在口ABCD中，NDBC=45。，DEJ_BC于E,BFJ_CD于F,BF交DE于點H,交AD

的延長線于點G,下面結(jié)論中:①BD=亞BE；②/A=ZBHE；@CD2+BG2=AG2；@BHxDG

=EDxGH.正確的結(jié)論是（）

A.①②@B.②③④C.①②④D.①②?④

23.如圖，已知“ABC,任取一點。，連接AO,80,CO,分別取點￡>,E,尸，使=

OE=；BO,OF=；C0,連接DE,DF,EF,得到AD￡F,給出下列說法：①AABC與GEF

是位似圖形；②與ADEF是相似圖形；③△￡>￡/與AABC的周長比為1:3；④.DEF與

△ABC的面積比為1:6.其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

24.AABC中，點。、E分別是AB、AC的中點，則四邊形OEC3與AABC的面積之比是

（）

A.1:2B.1:3C.1:4D.3:4

二、填空題

知識點一、運用相似三角形性質(zhì)求解

25.如圖，AB,CD相交于。點，△A0CS/\B0D,OC：OD=1：2,AC=5,則BD的長

為?

26.如圖，在等邊三角形ABC中，。為8c邊上一點，E為AC邊上一點，且AB=6,BD=2

,當(dāng)CE=時，AABDSADCE.

27.已知AABCs/SDEF,AA5c與ADEF的相似比為4:1,則A4BC與ADE/對應(yīng)邊上的

高之比為.

28.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是線段AD的中點，連接AC,BE,交于點

O，若S&AOE=1,則S?BOC=------------

知識點二、證明相似三角形對應(yīng)線段成比例

DE2

29.如圖，△ABC中，DE〃BC,正=§,△ADE的面積為8,則△ABC的面積為

30.如果兩個相似三角形周長之比為4:9,那么它們對應(yīng)的中線之比為.

31.如果兩個相似三角形的周長的比為1：4,那么周長較小的三角形與周長較大的三角形

對應(yīng)角平分線的比為.

32.如圖，在△ABC中，AB=9,AC=6,D為AB邊上一點，5.AABC^AACD,則AD

知識點三、網(wǎng)格中的相似三角形

33.如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,△ABC和△OEF的頂點都在網(wǎng)

格線的交點上.設(shè)AABC的周長為Ci,尸的周長為C2,則2的值等于.

34.如圖，△ABC的頂點在1x3的正方形網(wǎng)格的格點上，在圖中畫出一個與△A8C相似但

不全等的4DEFSDEF的頂點在格點上），則4DEF的三邊長分別是一.

35.在正方形網(wǎng)格紙上，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點的三角形叫格點三角形.在

4x4網(wǎng)格中（每個小正方形網(wǎng)格的邊長為1）畫格點三角形，它的三邊比是1：0：6，

這種三角形可以畫若干個，其中面積的最大值等于.

36.在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點，頂點都是格

點的三角形稱為格點三角形.如圖，已知R3ABC是6x6網(wǎng)格圖形中的格點三角形，則該

圖中所有與RSA8C相似的格點三角形中.面積最大的三角形的斜邊長是.

知識點四、利用相似三角形解決動點問題

37.如圖，在nABCD中，已知AD=10cm,tanB=2,AEJ_BC于點E,且AE=4cm,點P

是BC邊上一動點.若△PAD為直角三角形，則BP的長為

38.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形A8OC的邊BO,CO分別在x軸，y軸上，A點的坐標(biāo)

為（-8,6），點尸在矩形A3OC的內(nèi)部，點E在8。邊上，滿足AP3Es4底。，當(dāng)A4PC是

等腰三角形時，P點坐標(biāo)為.

39.如圖所示，在AAOB中，NAQ8=90。，OA=i2cm,AB=6y[5cm,點尸從0開始沿CM

邊向點A以2刖/s的速度移動；點。從5開始沿8。邊向點。以kvn/s的速度移動，如果P,

。同時出發(fā)，用x（s）表示時間（04x46）,那么當(dāng)x=$時，以P,O,。為頂點的三

角形與AAOB相似.

40.如圖，在矩形ABCD中，AD=3,AB=8,點P是邊AB上一點，若AAPD與ABPC相

似，則滿足條件的點P有個，

知識點五、相似三角形的判定與性質(zhì)

41.如圖，在△ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,點/在AB邊上，且AM=3,過點M作直

線MN與AC邊交于點N,使截得的三角形與原三角形相似，則MN=.

42.如圖，將矩形488沿直線AE折疊，頂點。恰好落在BC邊上的點尸處，若DE=5,

AB=8,則SAABF：5AFCE=.

ADiADA-DFA-AF

43.如圖，在△ABC中，Q、E分別為A3、AC上的點，若DE//BC,籌二，則：；若受

AB3A3+BC+AC

44.在矩形ABC。中，NB的平分線BE與AD交于點E,N8ED的平分線E尸與拉C交于

點產(chǎn)，若AB=9,DF=2FC,則8C=.(結(jié)果保留根號)

知識點六、相似三角形的綜合問題

45.如圖，在AABC中點。，E分別在AB,AC上，DE//BC,若品〃用=1,S*彩DBCE=8,

貝IJAO：AB=.

46.已知如圖，OE是△ABC的中位線，點P是。E的中點，CP的延長線交AB于點Q,那

么SACPE：St,ABC—?

47.如圖，要在底邊3c=160cm,高AD=120cm的鐵皮余料上，截取一個面積為3600cm?

的矩形EFGH,使點“在AB上，點G在AC上，點E,尸在BC上，AD交HC于點、M,則

EH的長為cm.

48.如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=4,BC=6點D在底邊BC上，且/DAC=/ACD,

將小ACD沿著AD所在直線翻折，使得點C落到點E處，聯(lián)結(jié)BE,那么BE的長為.

三、解答題

知識點一、運用相似三角形性質(zhì)求解

49.如圖，已知C。是用AAfiC斜邊A3上的中線，過點。作AC的平行線，過點C作CO的

垂線，兩線相交于點E.

(1)求證：MBC-ADEC；

(2)若CE=2,CD=4,求AABC的面積.

知識點二、證明相似三角形對應(yīng)線段成比例

50.如圖，AABC中，AB<AC,在AB、AC上分別截取8￡>=CE,DE,8C的延長線相交

于點F,證明：ABDF=ACEF.

知識點三、網(wǎng)格中的相似三角形

51.在圖1的6x6的網(wǎng)格中，已知格點△ABC(頂點A、B、C都在格各點上)

(1)在圖1中，畫出與△ABC面積相等的格點4ABD(不與△ABC全等)，畫出一種即可；

(2)在圖2中，畫出與△ABC相似的格點△A1B1C1(不與ABC全等)，且兩個三角形的

對應(yīng)邊分別互相垂直，畫出一種即可.

知識點四、利用相似三角形解決動點問題

52.如圖：在△AOB中,NAOB=90。，0A=12cm,AB=66cm,點P從O開始沿OA邊向點

A以2cm/s(厘米/秒)的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以lcm/s的速度移動，如

果P、Q同時出發(fā)，用x(秒)表示時間(0WxW6),那么：

(1)點Q運動多少秒時，△OPQ的面積為5cm2；

(2)當(dāng)x為何值時，以P、0、Q為頂點的三角形與△AOB相似？

知識點五、相似三角形的判定與性質(zhì)

53.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AELBC,垂足為E,連接DE,F為線段

DE上一點，且NAFE=NB,

⑴求證：AADFSZXDEC

(2)若AB=4,AD=36,AE=3,求AF的長.

知識點六、相似三角形的綜合問題

54.如圖，在正方形ABCD中，點E、F、G分別在AB、BC、CD±,且所，尸G于F.

(1)求證：△BEFs/XCFG：

(2)若AB=12,AE=3,CF=4,求CG的長.

參考答案

1.D

【分析】

根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，再結(jié)合相似三角形的對應(yīng)中線的比等于相似比

解答即可.

【詳解】

9

,/fXABCs叢DEF,△ABCDEF的面積比是一，

4

3

.'.△ABCH/AOEF的相似比為萬，

△A8C與△OEF對應(yīng)中線的比為g,

故選D.

【點撥】考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面

積的比等于相似比的平方：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比

都等于相似比.

2.C

【分析】

根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，周長的比等于相似比解答.

【詳解】

解：???△ABCs^DEF,且SAABC：SADEF=3：4,

.,.△ABC與△DEF的相似比為6：2,

.二△ABC與△DEF的周長比為6：2.

故選C

【點撥】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，即相似三角形面積的比等于相似比的平方，周長

的比等于相似比.

3.C

【詳解】

試題分析：直接根據(jù)相似三角形面積比等于相似比平方的性質(zhì).得出結(jié)論：

,/AABCsAA'QC',相似比為1:2,

???AA8C與AA'3'C的面積的比為1:4.

故選C.

考點：相似三角形的性質(zhì).

4.B

【分析】

根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列出比例式即可求得AE的長.

【詳解】

解：,/△ADE^AACB,

.ADAE4AE

..=——,即一=——，

ACAB810

解得：AE=5,

故選B.

【點撥】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵.

5.D

【分析】

根據(jù)①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項?②每一條直角邊是這

條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項，進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：根據(jù)射影定理每?條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項可得:A、C

都正確.

根據(jù)直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項可得B選項正確；

綜上可得:A,B、C選項都正確.

故選D.

【點撥】本題考查射影定理的知識，屬于基礎(chǔ)題，注意掌握射影定理的內(nèi)容并靈活運用.

6.B

【分析】

根據(jù)AB〃CD,易證△AOBs^DOC,利用對應(yīng)邊成比例即可解答.

【詳解】

解：：AB〃CD,

.,.△AOB^ADOC

BO:CO=AB:CD=l:2,

故A、D選項正確；

B、VBO:CO=\:2,

：.CO:DO=2:1

.?.CO:8C=2:(l+2)=2:3,故本選項錯誤.

C、VAO:DO=l:2,

：.A￡>:QO=(l+2):2=3:2,故本選項正確：

故選：B.

【點撥】本題主要考相似三角形對應(yīng)邊比例，需要熟練運用比例的性質(zhì).

7.A

【分析】

通過觀察圖形可知NC和NF是對應(yīng)角，所以AB和DE是對應(yīng)邊；BC和EF是對應(yīng)邊，即

可得出結(jié)論.

【詳解】

解：觀察圖形可知NC和NF是對應(yīng)角，所以AB和DE是對應(yīng)邊；BC和EF是對應(yīng)邊，；BC

=12,EF=6,=2:1.

EF

故選A.

【點撥】此題重點考察學(xué)生對相似三角形性質(zhì)的理解，掌握相似三角形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.D

【分析】

證明△ADE-AABC,根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算.

【詳解】

解：:DE把aABC分成的兩部分面積相等，

SAADE=ySAABC?

VDE/7BC,

AAADE^AABC,

?SmE=(=]

??二-AB-2，

?ADV2

"AB~2，

故選：D.

【點撥】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平

方是解題的關(guān)鍵.

9.A

【分析】

根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可判斷.

【詳解】

解：由題意：①④中，ZABC=ZADE=ZAFH=135°,

乂..AB_ADFH_五

.ABBCABBC

''~AD~~DE'~FH~~AF'

：.XABCsMADEs

故選：A.

【點撥】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題.

10.B

【分析】

根據(jù)勾股定理求出三角形的邊長，根據(jù)相似三角形的判定判斷即可.

【詳解】

如圖：

由勾股定理得：RQ=Jirn?=&，PQ=J^/=Vii

ZPRQ=135°,

A、由勾股定理得：AP3+F=Vi5=PQ，

而APRQ不是等腰三角形，即三對應(yīng)邊的比不相等，即兩三角形不相似，故本選項錯誤；

B、由勾股定理得：BP=4+22=5

PQ=V10,BQ=5,

Hn5_V10BP也回PQVio

即而"礪=工’9=忖萬，麻=虧’

即三邊的比相等，即兩三角形相似，故本選項正確；

C、兩三角形的最大角/CPQVNPRQ,即兩三角形不相似，故本選項錯誤：

D、APQD是直角三角形，而APRQ是鈍角三角形，即兩三角形不相似，故本選項錯誤；

故選B.

【點撥】本題考查了勾股定理和相似三角形的判定定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角

形的判定定理.

11.B

【解析】

由圖可知，三角形是直角三角形，兩直角邊分別為0、2亞，

A、不是直角三角形，與圖中的三角形不相似，故本選項錯誤；

B、是直角三角形，兩分別為直角邊2、4,與圖中的三角形相似，故本選項正確；

C、是直角三角形，兩分別為直角邊2、3,與圖中的三角形不相似，故本選項錯

誤；

D、不是直角三角形，與圖中的三角形不相似，故本選項錯誤.

故選B.

12.B

【分析】

根據(jù)網(wǎng)格中的數(shù)據(jù)求出AB,AC,BC的長，求出三邊之比，利用三邊對應(yīng)成比例的兩三角

形相似判斷即可.

【詳解】

解：由勾股定理得：AB=/，BC=2,AC=Vio,

AAB：BC：AC=1：V2：75,

A、三邊之比為1：石：2夜，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似：

B、三邊之比為1：夜：遙，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC相似；

C、三邊之比為0：75：3,圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似；

D、三邊之比為2：石：屈，圖中的三角形（陰影部分）與△ABC不相似.

故選：B.

【點撥】此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

13.A

【分析】

根據(jù)題意推知△BGF^ADCE,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得GF即可.

解：由題意可知：ZGFB=ZDEC=90°,

.,.ZB+ZBGF=90°,

,/ZBAC=90°,

ZB+ZC=90°,

；./BGF=/C,

...△BGFS/XDCE,

.BFGF

"DE-CE'

VBF=4.5cm,CE=2cm,GF二DE,

.4.5_GF

??瓦一號’

.'.GF=3cm,

故選A.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).

14.C

【分析】

AR

首先由NACD=NABC,得出NA=NDCE,然后由相似三角形的性質(zhì)得出二=三或

CDCE

笑AD=黑\C，代入即可得解.

CECD

【詳解】

\"ZACD=ZABC,

.'.ZA=ZDCE,

,/△DCE^AABC相似，

.ABACABAC

?■-=---或---=---

CDCECECD

VAC=6,AB=4,CD=2,

.46T46

-5-瓦或怎=5

???CE的長為|■或3

故選：C.

【點撥】此題主要考查相似三角形的性質(zhì)，解決此問題要注意分類討論.

15.B

【分析】

當(dāng)時，DE有最小值，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

連接AE

?.*=a,殷=0

BCBP

.ABBE

，9~BC~~BP

丁NABE=NCBP

，AABEs^CBP

：.ZBAE=ZBCP=45°

：.ZBAE=ZCBA

：.AE//BC

AE點的運動軌跡為射線AE

???當(dāng)DE最短時，DELAE

即當(dāng)DE_LAE時，DE有最小值

?.?在RAABC中，ZACB=90°,AC^BC=4

：.AD=-AB=2y/2

2

ZDAE=45°

...△ADE是等腰直角三角形

；?DE=2

ADE的最小值是2

故答案為：B.

【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以線段的最值問題，掌握相似三角形的性質(zhì)以及判定

定理、等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.D

【分析】

先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/ECD=/DCF=45。，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到CE=DE,

/ECD=/EDC=45。，進(jìn)而得到/CED=90。，證得DE〃CB,所以△AEDs^ACB,設(shè)

ED=x,根據(jù)相似三角形對應(yīng)線段成比例列式求出x即可.

【詳解】

；CD平分NACB,，/ECD=NDCF=45。，；MN垂直平分CD,；.CE=DE,AZECD

=ZEDC=45°,AZCED=90°,又；/ACB=90°,；.DE〃CB,AAAED^AACB,

笠=等，設(shè)ED=x,則EC=x,AE=4—x,解得x=9,故選D.

ACCB423

【點撥】本題主要考查了角平分線，垂直平分線，相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明

DE〃CB.

17.A

【分析】

利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方得到$2些=［處］=-.

SVABC（48）9

即可解決問題.

【詳解】

DE//BC,

：.△ADEszMBC,

.SV*/A￡>Y=4

"5VAflCIA引9'

.SVAOE=3

S四邊形VDBCE5

故選A.

【點撥】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常

考題型.

18.A

【分析】

根據(jù)已知條件得到AB=8,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：VAD=3,BD=5,

；.AB=8,

VDE/7BC,

.?.△ADE^AABC,

AAD：AB=DE：BC,

即3：8=DE：5,

?c吁15

??DE——，

8

故選A.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形

中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般

方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在利用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段

的長.

19.A

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)兩次相似，然后找中間量等量代換即可求解.

【詳解】

解：AB、CD、EF都與垂直，

：.AB//CD//EF,

"：AB//CD,

:.NC=NABE,ZCDE^ZA,

/.LABEs/\DCE,

.BEAB

A8=4,

*￡€-CD

:?BE?CD=4EC

,:EF〃CD,

:ABEFsABCD,

.BE_EF

??一，LF—3，

BCCD

：.BE*CD=3BC=3(BE+EC),

；?4EC=3BE+3EC,

:?EC=3BE,

；?BC=4BE,

1_3

4~~CD"

:.CD=n.

答：CO的長為12.

故選：A.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成

比例.

20.D

【分析】

由AD〃BC,可得出△AOE^AFOB,再利用相似三角形的性質(zhì)即可得出△AOE與^BOF

的面積之比.

【詳解】

：VAD/7BC,

.'.ZOAE=ZOFB,ZOEA=ZOBF,

:.MOE~\FOB,

AI7

???所以相似比為黑=2,

BF

.S—OE=22=4

S^BOF

故選：D.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的面積比等于相似比的平方

是解題的關(guān)鍵.

21.C

【分析】

結(jié)合題干所給信息得出ABED-ABGA、ADEF-ACGF以及DE〃AC逐個分析選項即可

得出答案.

【詳解】

A選項正確：???DE〃AC,

ABED-ABGA,

.DEBE

"AG-BG'

故A正確；

B選項正確：；DE〃AC,

AADEF-ACGF,

.DEDF

"CG-CF'

故B正確；

C選項錯誤：?/ADEF-ACGF,

.EFDF

,,FG-CF'

故C錯誤；

D選項正確：：DE〃AC,

.ADEG

??=?

ABBG

故D正確；

所以答案為：C.

【點撥】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)與判定的綜合運用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.

22.D

【解析】

【分析】

通過判斷△BDE為等腰直角三角形，得至IJBE=DE,BD=^BE,則可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)

等角的余角相等得到NBHE=NC,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到NA=NC,則NA=NBHE,

于是可對②進(jìn)行判斷；由AB〃DF,得到NABG=90。，于是得到AB2+BG2=AG2,由等量代

換可得③正確；根據(jù)三角形相似和等量代換可得④正確.

解：VZDBC=45°,DEJ_BC,

???△BDE為等腰直角三角形，

???BE=DE,BD=V2BE,所以①正確；

VBF1CD,

???NC+NCBF=90。，

而NBHE+NCBF=90。，

???ZBHE=ZC,

,?,四邊形ABCD為平行四邊形，

.\ZA=ZC,

AZA=ZBHE,所以②正確；

VAB//DF,?

AAB1BG,

AZABG=90°,

.?.AB2+BG2=AG2,

：AB=CD,

ACD2+BG2=AG2；所以③正確；

TDG/7BE,

.BEBH

??而一訪’

.??BH?DG=BE?HG,

VBE=DE,

???BHxDG=EDxGH,所以④正確；

故選：D.

【點撥】考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已

有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法

是通過作平行線構(gòu)造相似三角形.也考查了平行四邊形的性質(zhì).

23.C

【分析】

根據(jù)位似圖形與相似三角形的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】

解：由題意，得△￡）耳'與"ABC是位似圖形，

：..DEF與4ABe是相似圖形，故①②正確；

VOD=-AO,OE=-BO,OF^-CO.

333

/..DEF與4ABe的相似比為1:3,

△"￡戶與AABC的周長比為1:3,

△D￡F與AABC1的面積比為1:9,故③正確，④錯誤，

故選C.

【點撥】本題考查了位似圖形與相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的性質(zhì)及

位似圖形與相似圖形的關(guān)系.

24.D

【分析】

如圖，依據(jù)三角形的中位線定理得出。E//8C,DE^BC,然后根據(jù)相似三角形面積的比等

于相似比的平方，假設(shè)AAOE的面積為s,則AABC的面積為4s,四邊形OEC8的面積為

3s,故面積比為3：4.

【詳解】

如圖，：。、E分別是48、AC的中點，

ADE//BC,DE=LBC

2

:.NADE=NB,ZAED^ZC

：./\ADE^/\ABC

工弊=（弟TT

設(shè)SMDE=5,

則之詠=4SMDE=4s,四邊形DECB的面積為3s,

故四邊形。EC8的面積與48c的面積之比為是3：4,

故答案為：D.

【點撥】本題考查了三角形的中位線定理的應(yīng)用，以及相似三角形的性質(zhì)的面積比等于相似

比的平方.

25.10

【分析】

根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等列式計算即可.

【詳解】

,?*/.---=---，即---——?解得：BD=\0.

BDODBD2

故答案為10.

【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等是

解題的關(guān)鍵.

4

26.

3

AD

【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到==當(dāng)，再利用等邊三角形的性質(zhì)得出

DCCE

AC=BC=6,結(jié)合已知條件30=2,繼而得出。C=4,代入即可得出答案.

解：,「△A6c是等邊二角形,

工ZB=ZC=60°,

VBC=AB=6tBD=2,

:.DC=4.

若AABDsADCE

ABBD

則nl一=一，

DCCE

*62

即-=——,

4CE

4

解得：C￡=>,

4

故當(dāng)CE=-,AABDs^DCE.

4

故答案為：—.

【點撥】本題考查的知識點是相似三角形的性質(zhì)，理解相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

27.4：1.

【詳解】

試題分析：相似三角形對應(yīng)邊上的高、對應(yīng)角的平分線、對應(yīng)邊上的中線之比，都等于相似

比.所以△ABC與4DEF對應(yīng)邊上的高之比等于它們的相似比4：I.故答案為4：1.

考點：相似三角形的性質(zhì).

28.4

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC,AD〃BC,通過證明△AEOs^CBO,利用相似三角形

的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：；四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.AD=BC,AD〃BC,

???點E是線段AD的中點，

.".AE=^-AD=|BC,

VAD/7BC,

.,.△AEO^ACBO,

?晨*國U

s?。VBC）4'

SABOC=4X1=4,

故答案為：4.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識是本題的

關(guān)鍵.

29.18.

【解析】

?.,在4ABC中，DE〃BC,

.,.△ADE^AABC.

..DE_2

'BC^3'

,鼠匹.=（空）2=（奪=±

??SABCBC39，

9

ARC

SAAZJC=—4S^AlnJhr,-=18.

30.4:9

【分析】

根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比可求得其相似比，再根據(jù)對應(yīng)中線的比等于相似比可得

到答案.

【詳解】

解：：兩個相似三角形的周長比為4:9,

..?兩個相似三角形的相似比為4:9,

.?.對應(yīng)中線的比為4:9,

故答案為：4:9.

【點撥】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比、對應(yīng)中線比等于相似

比是解題的關(guān)鍵.

31.1：4

【分析】根據(jù)相似三角形的相似比等于對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)邊高線、角分線、中線的比等

于周長的比即可解題.

解：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得三角形的相似比為1：4,

三角形對應(yīng)角平分線的比為1:4.

【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于簡單題，熟悉相似三角形的概念是解題關(guān)鍵.

32.4.

【分析】根據(jù)相似三角形性的性質(zhì)得到對應(yīng)邊成比例，列式求出AD的長.

【詳解】

,/△ABC^AACD,——=——，

ACAD

96

VAB=9,AC=6,---,解得：AD=4.

6AD

故答案為：4.

【點撥】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì).

33.—

2

【分析】先證明兩個三角形相似，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比，得出周長比的值

便可.

DE2n-

解」.商:弄弄二5

變=叵亙=&.

BC2

竺一亞三一0

.DEEFDFr-

??---=----=----=、/2,

ABBCAC

：.AABCsADEF,

?ClAB

故答案為：立.

2

【點撥】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，本題關(guān)鍵是證明三角形相似.

34.近，2,M.

【分析】

直接利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理以及相似三角形的判定方法得出答案.

【詳解】

如圖所示：△ABC^ADEF,

DF=&，ED=2,EF=VlO.

故答案為正,2,Vio.

【點撥】此題主要考查J'相似三角形的性質(zhì)，正確運用勾股定理進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵.

35.2.5

【分析】畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想，畫出相似比為1：石的三角形，求出面積即可.

解：如圖△ABC是面積最小的格點三角形，△DEF是面積最大的格點三角形，

=2.5

故答案為：2.5.

【點撥】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用

數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考常考題型.

36.50

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)確定兩直角邊的比值為1：2,以及6x6網(wǎng)格圖形中，最長

線段為60,進(jìn)行嘗試，可確定JQ、2如、5J而為邊的這樣一組三角形滿足條件.

解：?.?在RtAABC中，AC=1,BC=2,

：.AB=^f5,AC：BC=l：2,

...與RSABC相似的格點三角形的兩直角邊的比值為1：2,

若該三角形最短邊長為4,則另一直角邊長為8,但在6x6網(wǎng)格圖形中，最長線段為6后，

但此時畫出的直角三角形為等腰直角三角形，從而畫不出端點都在格點且長為8的線段，故

最短直角邊長應(yīng)小于4,在圖中嘗試，可畫出?！?加，EF=2M,。尸=5灰的三角形，

.:眄=巫=半=同,

12也

:AABCSRDEF,

：.NDEF=NC=90。,

...此時的面積為：710x2710-2-10,AOEF■為面積最大的三角形，其斜邊長為：

5夜.

故答案為：5枝.

【點撥】本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題

的關(guān)鍵是學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

37.2cm或4cm或10cm

【分析】由三角函數(shù)得出BE=2,分兩種情況：

①當(dāng)/PAD=90。時，點P與E重合，BP=BE=2；

②當(dāng)NAPD=90。時，作DFJ_ABC于F,則NDFP=/AEP=90。,DF=AE=4,證明△APE^APDF,

PFAF

得出——=—,解得PE=2,或PE=8,得出BP=BE+PE=4,或BP=BE+PE=10；即可得出

DFPF

答案.

【詳解】

解：VAE1BC,

???NAEB=NAEC=90。，

VtanB=——=2,且AE=4,

BE

???BE=2,

分兩種情況：

①當(dāng)NPAD=90。時，點P與E重合，BP=BE=2；

②當(dāng)NAPD=90。時，作DF_LABC于F,如圖所示：

則NDFP=NAEP=90°,DF=AE=4,

；ZAPE+ZPAE=ZAPE+ZDPF=90°,

AZPAE=ZDPF,

/.△APE^APDF,

.PEAEPE_4

即

'~DF~~PFV-\O-PE

解得：PE—2,或PE=8,

.?.BP=BE+PE=4,或BP=BE+PE=10

綜上所述，若4PAD為直角三角形，則BP的長為2cm或4cm或10cm；

故答案為2cm或4cm或10cm.

【點撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三

角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵.

38.,,號)或(-4,3)

【分析】

根據(jù)題意分情況討論：①當(dāng)P點在AC的垂直平分線上時，點P同時在BC上，AC的垂宜平

分線與80的交點即是E,根據(jù)APBEsACBO求出PE,②尸點在以點C為圓心AC為半徑

的圓弧上，圓弧與8c的交點為尸，過點尸作PE_L80于E，根據(jù)AP8ESAC30,求出PE,

BE,則可得到0E,故而求出點尸點坐標(biāo).

解：???點P在矩形A8OC的內(nèi)部，且AAPC是等腰三角形，

戶點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當(dāng)尸點在AC的垂直平分線上時，點尸同時在BC上，AC的垂直平分線與B0的交點即是

E,如圖1所示：

VPEX.BO,COLBO,

：.PE//CO,

：.\PBEsACBO,

?..四邊形A3OC是矩形，A點的坐標(biāo)為(-8,6),

，點P橫坐標(biāo)為-4,OC=6,80=8,BE=4,

"BEs\CBO.

:.里=里,即空

COBO68

解得：PE=3,

...點P(-4,3)；

②尸點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為尸,

過點尸作尸石，30丁E,如圖2所示：

JPE//CO,

：."BEs\CBO,

???四邊形A30c是矩形，A點的坐標(biāo)為(-8,6),

AAC=BO=S,CP=8,AB=OC=6f

???BC=^BO2+0C2=A/82+62=10,

JBP=2,

"BEs\CBO,

.PEBEBPPEBE2

.?==,H?nJ：==—,

COBOBC6810

解得：PE],BE=|,

OE=8--=—,

55

；?點吟令:

綜上所述：點尸的坐標(biāo)為：(-,，§或(T，3)：

故答案為(-,，§或(T,3).

【點撥】此題主要考查正方形的綜合，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的

性質(zhì)及圓的性質(zhì).

39.■或3

【分析】

分AOPQ^AOAB與^OPQS/^OBA兩種情況進(jìn)行分類討論.

解：?在AAO8中，ZAOB=90°,OA=l2cm,AB=6小cm,

.,.OB2=AB2-OA2,

/.OB=6,

OPOQ即在6-x

當(dāng)AOPQszXOAB時，=解得x=3；

~OA~~OBf6

OPOQ即生6-x解得x=5

當(dāng)4OPQs/XOBA時，=

12，

綜上所述，當(dāng)x=3或5時，以P、0、Q為頂點的三角形與△A0B相似.

故答案為：號或3.

【點撥