數(shù)學建模：對計劃生育的建議

全國大學生數(shù)學建模競賽對計劃生育的建議摘要本文在年齡和性別分布基本均勻，壽命為75歲的前提下，研究了人口增長分別與晚育、少生、時間間隔的關系。基于人口和性別比例均勻分布的前提下，忽略其它年齡段意外死亡的情況，自然死亡年齡為75歲，死亡率為1/75。要解決人口增長與晚育的關系，我建立宋健人口模型，引進了有關生育模式的函數(shù)，r>r1，此函數(shù)中取，由于增加n就意味著晚育，因此對于第一個問題我們以n為變量，然后固定了其它變量，再通過MATLAB編寫程序得以解決人口增長與晚育的關系。對于第二個問題我們考慮育齡婦女一生只生一胎，一胎一個來解決?；谇皟蓚€問題，對于第三個問題，我們通過結果和圖形的分析，可以很好的解決人口增長與時間間隔的關系。最后，應用前三個問題中我們假設的數(shù)據(jù)對20年后我國的人口數(shù)進行預測。得出當單位時間內平均每個育齡女性的生育數(shù)為0.2時，我國20年后人口總數(shù)為14.8653億，達到控制在15億內的要求。可見我們的假設具有一定的合理性。關鍵詞：宋健人口模型生育模式人口增長一、問題的重述對計劃生育的建議中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關鍵之一，影響我國人口增長率的因素有生育率、死亡率、遷移率和年齡結構等?，F(xiàn)今我們假定現(xiàn)有人口13億，年齡和性別分布基本均勻，壽命假定為75歲，考慮以下四個問題：問題（一），人口增長與晚育的關系；問題（二），人口增長與少生的關系；問題（三），人口增長與間隔時間的關系；問題（四），如果20年內人口增長控制在15億以內，請你提出一個合理的計劃生育的建議。二、問題的分析現(xiàn)在我們從宏觀人口看，引起人口增長率變動的原因有三個基本因素，即出生率、死亡率和遷移率（在本題可看作遷出率等于遷入率）。依據(jù)這一基本出發(fā)點，就為人口增長率變動關系的數(shù)學模型提供了基本思路。由公式：人口自然增長率＝（本年出生人數(shù)－本年死亡人數(shù)）／年平均人數(shù)×1000‰＝人口出生率－人口死亡率可分別對問題（一）到（四）進行建模求解。面對以上四個問題我們在建立模型時，不可能全面考慮到影響人口增長率的種種因素，所以在建立以下數(shù)學模型中，我們將人口當作一個整體，當作一個系統(tǒng)來考慮，并將人口增長率的變化主要取決于生育率、死亡率的變化。針對問題（一），我們固定單位時間內平均每個育齡女性的生育數(shù)，男女性別比例，死亡率和人口的密度函數(shù)建立起宋健人口模型，對人口增長數(shù)量與晚育之間的關系進行解決。針對問題（二），我們以為變量，其他值固定，運用MATLAB編程建立少生概率模型，很好的解決了人口增長數(shù)量與少生之間的關系。針對問題（三），我們針對問題（四），我們將（單位時間內平均每個育齡女性的生育數(shù)）固定并假設中年人的死亡率為u(s)=0,生育人數(shù)定為一個常數(shù).運用人口自然增長率公式進行建模解決問題。三、基本假設味著晚婚，而增加n意味著晚育。這樣就求出在單位時間內人口增長數(shù)量和晚婚晚育之間的關系。即，晚婚晚育在一定程度上可控制人口的增長速度。把變量晚婚固定在18歲，此時只有一個變量為晚育n，利用（7）式，由人口總數(shù)乘以人口自然增長率得出人口增長數(shù)量。（人口增長數(shù)量=人口自然增長率人口總數(shù)）（4）、模型檢驗：=1\*GB3①、當取區(qū)間[18，50]時，用MATLAB編程，作出與育齡女性年齡的關系圖，如圖1所示，程序見附錄1中的程序1。圖1=2\*GB3②、把變量晚婚固定在18歲，用MATLAB得到晚育變量與人口增長數(shù)量之間的關系圖：（程序見附錄1中的程序2）圖2（4）、結果分析：=1\*GB3①、，n取10，r1取18，可得=26，符合圖1中，=26歲附近時，生育率最高。生育率高低與女性育齡年齡的關系如圖1所示。=2\*GB3②、由圖2可得，隨著n的增加，人口增長率越來越小，人口增長數(shù)量越來越少。由此說明，育齡女性晚育可以降低我國的人口增長數(shù)量。具體結果見圖2和附錄中的程序2中的結果。（5）、模型評價：本模型運用了宋健的人口預測模型，模型中固定了，，，這幾個函數(shù)值，大大的減低了模型的難度，但也因此模型的準確性不是很高。利用MATLAB編程，得到了與育齡女性年齡的關系圖和人口增長率與育齡女性從什么時候開始生育之間的關系圖，并在題設的條件下，得到了最高生育率所對應的女性年齡為26歲附近，基本上符合情況，解決了問題一的要求。當取這時有，可以看出，提高意味著晚婚，而增加n意味著晚育。這很符合我國的計劃生育政策，我國正是通過這兩種手段來實施的。2、針對問題（二），我們建立了模型二：（1）、模型的建立與求解：問題二中要解決的問題是人口增長數(shù)量與少生的關系，所以，為了模型的簡便，我們此時n和其他值固定，把當作變量，運用MATLAB編程建立少生數(shù)量模型畫出單位時間內人口增長數(shù)與少生的關系圖形（圖3）：圖3（2）、模型結果分析：圖3中的橫坐標表示（時刻t單位時間內平均每個育齡女性的生育數(shù)），縱坐標表示f1（人口增長數(shù)量）。可見在單位時間內f1隨著的增加而增加。（3）、模型評價：本模型為一次線性模型，模型簡單，解決問題明確，可由圖3清晰的看出在單位時間內人口增長數(shù)量與少生之間的關系。因其它影響人口增長數(shù)量的變量被固定，模型在符合事實上的性能不高，卻很好的反應出人口增長數(shù)量與少生之間的關系。3、針對問題（三），我們建立了模型三：人口增長與時間間隔的關系：這個題目是前兩個問題的延伸，我們假設每對夫妻一生只生兩個孩子，間隔為4年，這與第一題中取=2、n=4差不了多少，我們知道當固定，人口增長率會隨著晚育（n）的增加而減少，也就是說人口增長也隨著減少，同理，我們也可以知道人口增長跟時間間隔成反比關系，時間間隔越長，人口增長就越慢。4、針對問題（四），我們建立了模型四：（1）、模型的基本假設：=1\*GB3①、固定…………………單位時間內平均每個育齡女性的生育數(shù)固定=2\*GB3②、假設中年人的死亡率為u(s)=0,生育人數(shù)定為一個常數(shù).（2）、模型的建立和求解：我們假設中年人的死亡率為0，即生育人數(shù)定為一個常數(shù)，則對來說只要固定，就是一個常數(shù)，我們取=0.3（即單位時間內平均每個育齡女性的生育數(shù)位0.3），所以=0.026.因為每人的壽命都是75歲，所以每年都有13/75億人死亡，也就是說20年總的死亡人數(shù)為2013/75。而20年出生的總人數(shù)為1321.7215，所以20年后的人數(shù)為：21.7215-3.4667=18.2548，要想控制在15億以內，我們可以采取降低的值，當我們取=0.2時，20年后的人數(shù)為：14.8653.（3）、模型評價：本模型通過控制單位時間內平均每個育齡女性的生育數(shù)來實現(xiàn)對人口增長率的控制（當然我們也可以從晚婚晚育和多胎之間的時間間隔方面來實現(xiàn)人口的控制）。當單位時間內平均每個育齡女性的生育數(shù)為0.2時，我國20年后人口總數(shù)為14.8653億，達到控制在15億內的要求。六、模型的綜合評價1、模型優(yōu)點：該模型考慮了諸多因素，對人口控制模型進行了詳盡的描述，因此對人口的控制模型也很精細。在中長期內可以對每個影響因素進行調解，對人口的增長數(shù)量進行控制，使人口數(shù)量在一定的增長率進行增長或減少。所以說，對于人口的控制，該模型是相當準確的。2、模型缺點：在模型中我們只考慮到生育率和死亡率對人口增長率的影響，忽略了其它因素的影響，比如說遷移率和年齡結構等的影響。因此結果有一定的誤差。3、模型的改進和推廣：（1）、為了考慮多因素對人口增長率有什么影響，模型的改進必須將遷移率和年齡結構等影響因素考慮在內。（2）本模型是連續(xù)模型，我們可以通過改進，建立出離散模型，就可以更加科學的對我國人口增長數(shù)量進行控制。（3）、在模型中我們將未來的死亡率設為一個常數(shù)1/75，這實際上是不可能的。因此，對于死亡率，可以運用線形函數(shù)逼近法，將死亡函數(shù)分段線形來逼近。一般將死亡函數(shù)的曲線分為三段，公式如下：（4）、模型可運用于一些局部人口年齡分布比較均勻的地方，也可用來長期人口數(shù)量的控制以及人口的預測。七、給計劃生育部的建議1、給計劃生育部的建議：（1）、晚婚晚育，少生，兩胎間的時間間隔，都可以影響到嬰兒的出生率，所以我們要從中搭配尋找出最優(yōu)的計劃生育政策。（2）影響我國人口過增長數(shù)量的因素有很多，計劃生育部應當綜合考慮然后制定出更優(yōu)的計劃生育政策。（3）、在各個因素允許的條件下，國家可以放松生育政策，使我國人口結構分布更科學，讓我國的人口緩慢地、安穩(wěn)地降下來?。?）、逐步提高計劃生育獎勵標準。各級財政部門在財力許可的情況下，要提高對計劃生育獨生子女家庭、雙女絕育家庭等的獎勵標準。（5）、加強宣傳教育，努力建設性別平等的社會環(huán)境。（6）、調整年齡結構。在維持計劃生育預定人口數(shù)量不變的情況下，可以通過適時提高勞動年齡上限的辦法來調整年齡結構，使勞動年齡人口比和老年撫養(yǎng)比保持在有利于可持續(xù)發(fā)展的水平上。八、參考文獻[1]宋健,田雪原,于景元,李廣元，人口預測和人口控制，北京：人民出版社,1981.[2]姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學模型，北京：高等教育出版社，1993.[3]謝云蓀，張志讓，數(shù)學實驗，北京：科學出版社，1999.[4]韓明，王家寶，李林，數(shù)學實驗，同濟大學出版社，2009。九、附錄附錄1：程序1：（與育齡女性年齡的關系）symsxtrr1Hnyn=10;a=n/2;r1=18;x=0:0.1:40;T=exp(-x).*x.^(a-1);formatlong;T1=trapz(x,T)r=18:1:40;H=(r-r1).^(n./2-1).*exp(-(r-r1)./2)./2.^(n./2)./T1plot(r,H)程序2：（人口增長數(shù)與晚育的關系）%人口增長數(shù)與晚育的關系：forn=10:0.5:30a=n/2;x=0:0.1:50;T=exp(-x).*x.^(a-1);formatlong;T1=trapz(x,T);r=18+n-2;H=(r-18).^(n./2-1).*exp(-(r-18)./2)./2.^(n./2)./T1;symsrhKK=@(r)(r-18).^(n./2-1).*exp(-(r-18)./2)./2.^(n./2)./T1;formatlong;h=quadl(K,18,50);f=0.3*1*13/75*h*0.5-1/75;f1=13*f;plot(n,f1,'r*')holdonend程序3：（%人口增長與少生B的關系，此時固定n）symsxtrr1HnyKhn=10;a=n/2;forr1=18:1:27x=0:0.1:50;T=exp(-x).*x.^(a-1);formatlong;T1=trapz(x,T);forr=r1