五年2018-2022高考數(shù)學真題按知識點分類匯編7-三角恒等變換(含解析)

五年2018-2022高考數(shù)學真題按知識點分類匯編7-三角恒等

變換（含解析）

一、單選題

1.（2022.北京?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（xXcosJ-si/x,則（）

A.f（x）在（-宗-。上單調(diào)遞減B.f（x）在（號總上單調(diào)遞增

C./（x）在（0,（）上單調(diào)遞減D.f（x）在（?,號）上單調(diào)遞增

2.（2022?北京?統(tǒng)考高考真題）在A8C中，AC=3,fiC=4,ZC=90°.P為A3C所在

平面內(nèi)的動點，且尸C=l,則EVP8的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,51C.[-6,4]D.[-4,6]

3.（2022.全國.統(tǒng)考高考真題）若sin（a+/）+cos（a+/7）=2及cos（a+，sin萬，則（）

A.tan（a-尸）=1B.tan（a+/7）=l

C.tan(?-/?)=-lD.tan(fZ+^)=-l

4.（2021?北京?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)f（x）=cosx-cos2x是

A.奇函數(shù)，且最大值為2B.偶函數(shù)，且最大值為2

C.奇函數(shù)，且最大值為9!D.偶函數(shù)，且最大值為總9

OO

5.（2021.全國.統(tǒng)考高考真題）cos2^-cos21^=（）

A.|B.更C.—D.

232

6.（2021?浙江?統(tǒng)考高考真題）已知a,是互不相同的銳角，則在

sinacos/7,sin夕cosy,sin/cosa三個值中，大于g的個數(shù)的最大值是（）

A.0B.1C.2D.3

(cosa

7.(2021?全國?高考真題)若ac0,彳，tan2a=丁一一,則tana=()

V272-sina

A.叵B.正C.正

D.

15533

8.（2021.全國?統(tǒng)考高考真題）2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰

最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三

角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A,B,C三點，且A,B,C在同一水平面上的投影

4,8',（7'滿足幺。夕=45°,ZA!B'C=60°.由C點測得B點的仰角為15。,BB'與CC'

的差為100；由B點測得4點的仰角為45。，則4,C兩點到水平面A'8'C'的高度差

AA'—CC'約為(6=1.732)()

D.473

9.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）函數(shù)〃x）=sin5+cosg的最小正周期和最大值分別是

()

A.3兀和&B.37t和2C.6兀和&D.6兀和2

10.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）若tand=-2,則吧外匕把也=

()

sin6+cos。

62-1D.9

A.—B.—

555

11.（2020?山東?統(tǒng)考高考真題）在，ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是。，b,

萬

若"+從=c2+absinC,且asinB8sC+csinBoosA=——b,則tanA等于()

2

D.-3或!

A.3B.—C.3或-鼻

3

12.（2018?全國?高考真題）若sina=g,

則cos勿=

A8c7

A.—B.一C.--DY

9999

13.（2018?全國.高考真題）函數(shù)〃x）=產(chǎn)二的最小正周期為

1+tarrx

710冗

A.-B.一C.nD.

42

14.（2018?全國?高考真題）己知函數(shù)/（犬）=285晨一5府》+2,則

A.7"）的最小正周期為;r,最大值為3

B.“X）的最小正周期為燈，最大值為4

C.的最小正周期為2兀,最大值為3

D.“X）的最小正周期為2兀，最大值為4

試卷第2頁，共6頁

15.（2018?全國?高考真題）已知角a的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合,

終邊上有兩點4（1，a）,8（2,b）,且cos2a=：,則,一身=

A.1B.叵2后

Xr_z.---------------D.1

555

16.（2019?全國?高考真題）已知aw(0,—),2sin2a=cos2a+l,則sina=

2

A.\B.立

55

「A/3D.空

35

二、多選題

17.（2022?全國?統(tǒng)考高考真題）雙曲線C的兩個焦點為月,6，以C的實軸為直徑的圓

3

記為。，過大作D的切線與。交于M,N兩點,且cos/^NK=],則C的離心率為（）

A.好B.-C.—D.叵

2222

18.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）已知。為坐標原點，點6（cos%sina）,（cos/?,-sin/?）,

￡(cos(a+/),sin(仁+/?)),A(l,0),則()

A.|。耳=|。耳B.|^|=|A^|

C.OAOPi=OPxOP2D.OAOP}=OP2OP3

三、填空題

19.（2022?浙江?統(tǒng)考高考真題）若3sina-sin/?=>A5,a+夕，則sina=,

cos2p=.

20.（2020?北京?統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)/*）=sin（x+Q）+cosx的最大值為2,則常數(shù)8的

—個取值為.

21.（2018.全國.高考真題）已知tan[a-"則tana=.

22.（2018?全國?高考真題）已知sina+cos/?=l,cosa+sin4=0,則

sin（a+/?）.

tana_2（、

23.（2019?江蘇?高考真題）已知皿」…叫一一§，則sin2a+；的值是____.

IdllCZn—14/

四、解答題

24.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)在ABC中，角A、B、C的對邊分別為a,b,c.已知

a=瓜,b=2c,cosA=——.

4

⑴求c的值；

(2)求sin6的值；

(3)求sin(24-8)的值.

25.(2022?北京?統(tǒng)考高考真題)在一ABC中，sin2C=V3sinC.

⑴求NC；

(2)若匕=6,且ABC的面積為66,求ABC的周長.

26.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)記,ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,h,c,己知

sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).

⑴若A=23,求C；

(2)證明：2a2=/+/

27.(2021.天津.統(tǒng)考高考真題)在"C,角AB,C所對的邊分別為。，dc,已知

sinA:sin8:sinC=2:1:應，b=亞.

(I)求a的值；

(II)求cosC的值；

(III)求sin(2C-?J的值.

28.(2021?浙江?統(tǒng)考高考真題)設函數(shù)〃x)=sinx+cosx(xeR).

(1)求函數(shù)y=[/(x+到的最小正周期；

(2)求函數(shù)y=/(x)/卜-幻在0卷上的最大值.

29.(2020?浙江?統(tǒng)考高考真題)在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

且26sinA-Ga=0.

(I)求角B的大??；

(II)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.

30.(2018?北京?高考真題)在ABC中，a=l,h=S,cosB=--.

(1)求NA；

試卷第4頁，共6頁

(2)求AC邊上的高.

31.(2018.浙江?高考真題)已知角a的頂點與原點0重合，始邊與x軸的非負半軸重合,

34

它的終邊過點尸(一點一］)?

(I)求sin(a+兀)的值；

(II)若角夕滿足sin(a+￡)=-j^,求cos￡的值.

32.(2018?北京?高考真題)已知函數(shù)/(x)=sin2x+6sinA8SX.

(I)求的最小正周期；

(ID若/(X)在區(qū)間-§,〃？上的最大值為:，求m的最小值.

33.(2018?江蘇?高考真題)已知a,夕為銳角，tana=g,cos(a+￡)=-乎.(1)求cos2a

的值；⑵求tan(a-￡)的值.

34.(2019?江蘇?高考真題)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

(1)若。=3c,b=6,cosB=|,求c的值；

，-、甘sinAcos8,?兀、

(2)若----=-----,求sin(8+-)的值.

a2b2

35.(2019?全國?高考真題)A3C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為“，b,c,設

(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.

(1)求A；

(2)若6a+b=2c，求sinC.

36.(2019?全國?統(tǒng)考高考真題)AABC的內(nèi)角AB,C的對邊分別為a,6,c,已知

A+C.

asin-----=bsinA.

2

(1)求8;

(2)若A43C為銳角三角形，且c=l,求A48C面積的取值范圍.

37.(2019?北京?高考真題)在△ABC中，a=3,b-c=2,cosB=-；.

(I)求6,c的值；

(II)求sin(B-C)的值.

38.(2019?天津?高考真題)在一ABC中，內(nèi)角48,C所對的邊分別為。力,c.已知

b+c=2a,3csinB=4asinC.

(I)求COS3的值；

(II)求sin(2B+f］的值.

五、雙空題

39.(2022.北京.統(tǒng)考高考真題)若函數(shù)/(x)=4sinx-石cosx的一個零點為9，則

4=Ti

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.C

【分析】化簡得出/(x)=cos2x,利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.

【詳解】因為/(x)=cos2x-sin2x=cos2x.

對于A選項，當《eV-'時，r<2x<g則f(x)在卜泉一上單調(diào)遞增，A錯;

對于B選項，當一￡<、<=時，-g<2x<g,則〃x)在(-。之上不單調(diào)，B錯；

41226\41ZJ

對于C選項，當0<x<(時，0<2x<^,則.f(x)在(0,?]上單調(diào)遞減，c對；

對于D選項，當時，y<2x<^,則〃x)在(?,券)上不單調(diào)，D錯.

故選：C.

2.D

【分析】依題意建立平面直角坐標系，設尸(cos?,sin0),表示出摩，PB，根據(jù)數(shù)量積的

坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；

【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則C(0,0),A(3,0),3(0,4),

因為PC=1,所以P在以C為圓心，1為半徑的圓上運動,

設P(cos?,sin0),0e[(),2/r],

答案第1頁，共32頁

所以％=(3—cosa—sing),PB=(—cos仇4—sing),

所以PA-=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin

=cos20-3cos0-4sin0+sin20

=l-3cos6-4sin。

=1—5sin(6+夕)，其中sin°=m，cos0=1,

因為一l〈sin(8+0)Wl,所以YW1—5sin(e+0)W6,即B4-P6?-4,6］；

故選：D

3.C

【分析】由兩角和差的正余弦公式化簡，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可得解.

【詳解】［方法一］:直接法

由已知得：sin6Zcos/?+cos。sin夕+cosacos-sinasin/?=2(cosa-sina)sin/7,

即:sinacosp—cosasin+cosacosJ3+sinasin0=0,

即：sin(a-/?)+cos(a-/7)=0

所以tan(a_/7)=-l

故選：C

［方法二］:特殊值排除法

解法一:設P=0則sina+cosa=0,取a=g,排除A,B；

jr

再取a=0貝ijsinp+cosp=2sinp,取B=排除D；選C.

［方法三］:三角恒等變換

sin(a+夕)+cos(a+/)=0sin(a+夕+工)=^2sin［(a+—)+/7］

44

=&sin(a+工)cos/&cos(cr+—)sinP=2夜cos(a+—)sinP

444

sin(a+—)cosB-cos(a+—)sinZ?=0B|Jsin(a+----4)=0

444

/.sin(a-/7+—)=sin(a-y9)cos—+cos(a-/?)sin—=—sin(a-y9)+—cos(cz->?)=0

答案第2頁，共32頁

sin(a-fi)=-cos(a->0)即tan(a-￡)=T,

故選：C.

4.D

【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次

函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.

【詳解】由題意，/(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(x),所以該函數(shù)為偶函數(shù),

,(1V9

X/(x)=cosx-cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2lcosx-—I+-,

I9

所以當cosx=:時，/(x)取最大值一.

48

故選：D.

5.D

【分析】由題意結(jié)合誘導公式可得COS?'-COS2*COS23-Sil?色，再由二倍角公式即可

得解.

(詳解】由題意，cos2--cos2—=cos2--cos2f---=cos2--sin2—

121212(212；1212

nG

=cos—=——.

62

故選：D.

6.C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos/+sin￡cosy+sinycosaW；,從而可判

斷三個代數(shù)式不可能均大于3,再結(jié)合特例可得三式中大于3的個數(shù)的最大值.

【詳解】法1：由基本不等式有sinccos萬4,in，a;cos「￡,

工用-csin2^+cos27.sin2y+cos2?

|?J埋sinpcos/<-----------,sin/cosa<---￡—------,

3

故sinacos￡+sin￡cosy+sin/coscr<—,

故sinacossin[3cosy,sinycosc不可能均大于J.

取。=￡，fi=-,y=

634

答案第3頁，共32頁

則sinacos夕=；<；,sin0cosy=>g,sin7cosa=~~>~，

故三式中大于T的個數(shù)的最大值為2,

故選：c.

法2：不妨設a<,則cosa>cosp>cos/,sina<siny9<sin/,

由排列不等式可得:

sinacos/7+sin/3cos/+sinycostz<sin?cos/+sin4cos尸+sinycosa,

13

而sinacos/+sin/cos尸+sinycosa=sin(74-cr)+—sin2/?<—

故sinacos夕,sin力cos/,sinycosa不可能均大于

取。=￡,4=［，

634

則sinacos夕=；<；,sin0cosy=>g,sin7cosa=~~>~，

故三式中大于3的個數(shù)的最大值為2,

故選：C.

【點睛】思路分析：代數(shù)式的大小問題，可根據(jù)代數(shù)式的積的特征選擇用基本不等式或拍雪

進行放縮，注意根據(jù)三角變換的公式特征選擇放縮的方向.

7.A

【分析】由二倍角公式可得tan2a=電孕=學?竿，再結(jié)合已知可求得sina=，，利

cos2al-2sin-a4

用同角三角函數(shù)的基本關系即可求解.

ccosa

【詳解】tan2a=-~；—

2—sina

八sin2a2sinacosacosa

/.tan2a=------=---------——=-------,

coslal-2sin-a2-sina

41八2sina15口.1

ocG0,—,「.cosawO,------5—=--------，解得sina=一,

I2Jl-2sin~a2-sincr4

r———V15sinaV15

cosa=vl-sina=---，tana=-----=----.

4cosa15

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出

答案第4頁，共32頁

sincr.

8.B

【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理，求得

進而得到答案.

過C作過B作8DJ.A4，,

故AA'—CC'=44'一(明一8")=A4'—陰+100=AD+100,

由題，易知4汨為等腰直角三角形，所以AD=Z)B.

所以A4'-CC'=Z)3+1(X)=A'8'+1(X).

100

因為/BCH=15。，所以CH=C'B'=

tan15°

在」A'8'C'中，由正弦定理得:

A'B'_CB'_100_100

sin45°-sin75O-tanl50cosl5°一sin15°

-Jh—y/2,

而sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos300-cos45°sin30°=

4

WO處也

所以=100(退+1)=273,

AB=A一后

所以A4'-CC'=48'+1(X)=373.

故選:B.

【點睛】本題關鍵點在于如何正確將A4'-CC的長度通過作輔助線的方式轉(zhuǎn)化為

A'B'+100.

答案第5頁，共32頁

9.C

【分析】利用輔助角公式化簡/(x),結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和

最大值.

【詳解】由題，/(x)=sin^+cos^=^f^ysin^+^ycos^岳皿仁+斗所以f(x)的

JJI，J，J)\JIJ

里

最小正周期為r=了一=卬6，最大值為血—.

3

故選：C.

10.C

【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母(Usi/O+cos2),

進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入tan，=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進行齊次化處理得：

sin^(1+sin20)sin6*(sin26>+cos20+2sin0cos0)

=sind(sine+cos。)

sin0+cos0sin0+cos0

_sin(9(sin+cos_tan26>+tan0_4-2_2

sin20+cos201+tan201+45

故選：C.

【點睛】易錯點睛：本題如果利用tan”-2,求出sin/cos。的值，可能還需要分象限討論

其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論.

11.A

【分析】利用余弦定理求出tanC=2,并進一步判斷C>￡,由正弦定理可得

4

sin(A+C)=4=>sinB=乎，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；

■、必癡八萬/十從一sinC,萬。

L詳解］cosC—--------------=-------=>tanC=2,..C>一,

2ab24

q=±=」=2R,

sinAsinBsinC

正

，sinAsinB-cosC+sinCsinBcosA=——sinB,

2

/.sin(A+C)=-=>sinB=，:.B=J,

224

tanB=1,

答案第6頁，共32頁

tanB+tanC

tanA=-tan(B+C)=-=3,

1-tanB-tanC

故選：A.

12.B

【詳解】分析：由公式cos2a=1-2s加2?？傻媒Y(jié)果.

27

詳解：cos2a=1-2sin2a=1-^=—

故選B.

點睛：本題主要考查二倍角公式，屬于基礎題.

13.C

【詳解】分析:將函數(shù)f（x）進行化簡即可

sinx

詳解：由已知得f（戈）=-"皿）=————=sinxcosx=—sin2^|k7r+—,kGZ

'）\+tairx]?（—）2212

cosx

f（x）的最小正周期丁=與=兀

故選c.

點睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡和最小正周期公式，屬于中檔題

14.B

【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為

/（%）=|cos2x+1,之后應用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關的量，從而得到正確選項.

1—V3S

【詳解】根據(jù)題意有/（力=8$2犬+1--^+2=全＜?2犬+],

7

所以函數(shù)/（X）的最小正周期為7=芍7r=7，

且最大值為?。┟?=5?4,故選B.

【點睛】該題考查的是有關化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關性質(zhì)得到函數(shù)

的性質(zhì)，在解題的過程中，要注意應用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.

15.B

2

【分析】首先根據(jù)兩點都在角的終邊上，得到6=*，利用cos2a=；,利用倍角公式以及

余弦函數(shù)的定義式，求得力=g,從而得到同=手，再結(jié)合b=2a,從而得到

答案第7頁，共32頁

項.

定選

而確

,從

。=

〃-2

W=|

=2%

得到方

從而

線，

三點共

。4B

】由

【詳解

,

=^

］-1

?(j1

l=2

os2a-

=2c

os2a

因為c

石

時=

(,即

儲=

解得一

5

75

T

〃|=

_2

4=|a

I”_

所以

線的

點有共

的知識

涉及到

問題，

差值的

坐標的

點的縱

終邊上

角的

有關

的是

考查

】該題

【點睛

等量

相應的

，得到

條件

中的

據(jù)題

式，根

定義

數(shù)的

弦函

式，余

角公

的倍

，余弦

關系

標的

點的坐

.

結(jié)果

求得

從而

式，

關系

16.B

.

答案