天津市河北區(qū)2022屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期二模試題-含答案

河北區(qū)2021—2022學(xué)年度高三年級總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(二)

數(shù)學(xué)

本試卷分和兩部分，共150分，考試用時12分鐘，第I卷1至3頁，第II卷4至

8頁.

第I卷(選擇題共45分)

注意事項：

1.答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號、科目涂寫在答題卡上，并在規(guī)

定位置粘貼考試用條形碼.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案棒號.答在試卷上的無效

3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

■如果事件A,B互斥,那么,球的表面積公式S=4萬在2

P(AuB)=P(A)+P(B)

4.

?如果事件A,B相互獨立，那么我的體積公式V=§乃R3

P(AB)=P(A)-P(B)其中R表示球的半徑

一、選擇題；在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)全集。={1,2,3,4,5,6,7},集合A={2,4,5},8={1,3,5,7},則Au?/)=()

A.{5}B.{6}C.{2,4}D.

(2,4,5,6)

D

【分析】根據(jù)補(bǔ)集、并集的定義計算可得；

【詳解】解：因為。={1,2,3,4,5,6,7},5={1,3,5,7),

所以6B={2,4,6},又4={2,4,5},

所以Au(q,8)={2,4,5,6}；

故選：D

2.若a,b都是實數(shù),則“&>振”是Tog2a>log2?！钡模ǎ?/p>

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

B

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷可得；

【詳解】解：a,人都是實數(shù)，那么“l(fā)og3a>logs"'na>匕>0=“6>腦”，

反之不成立，例如：a=2,Z?=0,滿足北，但是log26無意義，

w

；?“G>北”是“l(fā)og3a>log3/>的必要不充分條件.

故選：B.

11。

3.已知2、=5、'=〃2,且一+一=2,則根的值為（）

%y

A.2B.V10C.—D.—

22

B

【分析】

11c

化指數(shù)式為對數(shù)式，把X，y用含有m的代數(shù)式表示，代入一+—=2，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)

%y

求解加的值.

【詳解】由2*=5,=加，得%=晚2加,"嚨5加，

由，+，=2,得—+—^—=2,即log2+log,“5=2,

xylog2mlog5m〃

/.logm10=2,Vm>O,.-.m=Vi0.

故選:B.

本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

-.v

4.函數(shù)f(x)=的圖象大致為()

【分析】通過研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，以及由/(l)=e-eT>0排除不正確的選項，從

而得出答案..

【詳解】詳解：?.?尤70,/(-幻==^=一“。，/(幻為奇函數(shù)，排除A,

X

?.?/(l)=e—eT>0,故排除D.

../(x)=卜二(e-eT)2x_(x-2)e：(x+2)e,,

當(dāng)x>2時，r(x)>0,所以/(x)在(2,+8)單調(diào)遞增，所以排除C；

故選：B.

5.為了解中學(xué)生的身高情況，某部門隨機(jī)抽取了某學(xué)校的學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)(單位：

cm)按［150,160),［160,170),［170,180),［180,190］分組，繪制成如圖所示的頻率分布

直方圖，其中身高在區(qū)間［170,180)內(nèi)的人數(shù)為300,身高在區(qū)間［160,170)內(nèi)的人數(shù)為180,

則。的值為()

o150160170180190身高（單位:cm）

A.0.03B.0.3C.0.035D.0.35

A

【分析】由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，以及頻率與頻數(shù)之間的關(guān)系，列式求解即可.

【詳解】由頻率分布直方圖可得：-,解得4=0.03.

0.05a

故選:A

22

6.已知雙曲線C：=r-2=1（a>0力>0）的焦點F到漸近線的距離與頂點4到漸近線的距離

a~b~

之比為3：1,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y—±2yf2xB.y=±\/2xC.y=xD.

?叵

y=±——x

4

A

【分析】根據(jù)相似三角形，直接得到￡=3,計算漸近線的斜率.

a

【詳解】如圖，可知焦點尸到漸近線的距離與頂點A到漸近線的距離之比為3：1,

即￡=3,

a

所以雙曲線的漸近線方程為y=±2。.

7.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間［0,+8)單遞調(diào)減，若a=/(-log26.1),

b=c=/(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.h>c>aC.c>b>aD.

b>a>c

D

【分析】由偶函數(shù)的定義和對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和已知函數(shù)/(x)的單調(diào)性，

可得“，b,c的大小關(guān)系.

【詳解】解：由函數(shù)Ax)是定義在R上的偶函數(shù)，可得/(一x)=/(x),

則a=/(—log26.1)=/(log26.1),8=/(2°7),c=〃3),

因為函數(shù)/(X)在區(qū)間［0,+8)上單調(diào)遞減，

07107

K2=log24<log26.1<log28=3,1=2°<2-<2=2-BP2'<log26.1<3,

所以/(2°7)>〃10氏6.1)>/(3),

即有h>a>c,

故選：D.

8.給定函數(shù)/(%)=sinx+百cosx,g(x)=sinx-ecosx,xeR.VxGR,用"?(x)表

示f(x),g(x)中的最小者,記為%(x)=min{的x),g(x)},關(guān)于函數(shù)加(x)有如下四個命題:

3兀

①函數(shù)見X)的最小正周期為萬；②函數(shù)加X)的圖象關(guān)于直線x=—對稱；

2

7171

③函數(shù)皿X)的值域為［-2,2］；④函數(shù)制X)在一上單調(diào)遞增，

其中真命題的是()

A.②④B.①②C.①③D.③④

A

TTrr,37r

2sin(x+—),——b2左踢ijr--+2k兀

3232

【分析何將〃，(x)的解析式化簡為，"(x)=〈,d),

2sin(x-y),--+2A：^<x<y+2A:^-

通過作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象逐個判斷即可.

【詳解】解：因為/(x)=sinx+6cosx=2sin(x+g),

g(x)=sinx-V3cosx=2sin(x-y),

g(x),

則m(x)=min{/(x),g(x)}=<

g(x)J(x)>g(x),

2sin(x+—),—4-2人乃效k—4-2k7r

322

m(x)=<,(*eZ),

2sin(x---4-2k7r<x<—+2k7r

322

3兀

皿x)的圖像關(guān)于直線x=」對稱，故②為真命題;

2

加(x)的值域為[-2,1],故③為假命題;

TC式

皿無)在區(qū)間一二，37上單調(diào)遞增，故④為真命題，

_62_

，真命題為②④，

故選：A.

9.設(shè)函數(shù)=JA2).若xe-4”時，方程/(x+l)=A有唯一解,

y/—x,x<0

則實數(shù)k的取值范圍為()

A.(0,6)B.[1,A/3)C.(0,2)D.[1,2)

B

【分析】作出f(x+l)的圖象，根據(jù)方程f(x+l)=k有唯一解，結(jié)合圖象即可求解k的取值范圍.

.(1)

log?x+—x>0

【詳解】因為函數(shù)/(x)=JA2)

J—X,x<0

所以/(x+l)=

J-(x+1),X<—1

若時，作出/(x+1)的圖象,

結(jié)合圖象可知方程/(x+l)=Z有唯一解,

則1K女〈百.

故選：B

第II卷

注意事項

1.答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚.

2.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答在答題紙上.

3.本卷共11小題，共105分.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，請將答案寫在答題紙上.

10.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)也=.

l+2i##2i+l

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式除法運算法則計算可得;

3+i_(3+i)(l+i)_3+3i+i+i?

【詳解】解:

1-i(l-i)(l+i)

故答案為：l+2i

11.二項式的展開式中常數(shù)項為

【分析】求出二項式的通項公式，再令x對應(yīng)的基指數(shù)為0即可求解

2x--%］的展開式的通項公式為

【詳解】二項式

?6-'3

=Q26-r(-l)rx2,令6—萬/?=(),解得/■=*所以該二項式展

開式中常數(shù)項為?26T（T）4=60,

故答案為：60

本題考查二項式中常數(shù)項的求解，屬于基礎(chǔ)題

12.一個暗箱內(nèi)有標(biāo)號是1,2,3,4,5的五個小球，現(xiàn)從箱中一次摸出兩個球，記下號碼后

放回，如果兩個球的號碼和是5的倍數(shù)，則獲獎.若有5人參與摸獎，則恰有3人獲獎的概率

是,獲獎人數(shù)的均值是.

32

①.②.1

625

【分析】基本事件總數(shù)〃=C；=10,利用列舉法求出兩個球的號碼和是5的倍數(shù)包含的基本

211

事件有2個，從而獲獎的概率為尸=歷=不，有5人參與摸獎，則獲獎人數(shù)X~8(5,二)，

由此能求出恰有3人獲獎的概率和獲獎人數(shù)的均值.

【詳解】解：一個暗箱內(nèi)有標(biāo)號是1，2,3,4,5的五個小球，

從箱中一次摸出兩個球，記下號碼后放回，

基本事件總數(shù)“=C；=10,

兩個球的號碼和是5的倍數(shù)包含的基本事件有：

(1,4),(2,3),共2個，

21

則獲獎的概率為。=歷=),

有5人參與摸獎，則獲獎人數(shù)X~8(5,；),

恰有3人獲獎的概率是P(X=3)=C^(1)3A2=H,

獲獎人數(shù)的均值是E(X)=5x1=1.

32

故答案為：,1.

625

13.圓6：工2+/一2工一6y一1=0和圓。2：工2+/一10工一12丁+45=()的公共弦的長為

2幣

【分析】首先將圓G的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再兩圓方程作差即可得

出公共弦方程，再利用點到直線的距離公式及垂徑定理、勾股定理計算可得；

【詳解】解：由圓C/F+V—2x—6y—l=()①，即￡:(x—lp+(y—3>=11,所以圓心

C,(1,3),半徑r=V1T；

又圓C2:X24-y"-1Ox—12y+45=0(2),

①一②得8x+6y-46=0,即公共弦方程為4x+3y—23=0,

圓心C,到直線4x+3y—23=0的距離d=23|=,

V42+32

所以公共弦長為1=2,產(chǎn)一片=2^VH)2-22=2用；

故答案為：2幣

14.已知菱形A8C。的邊長為2,N&LD=120°,點E,尸分在邊BC,CD上,BE=ABC>

—.—.2

DF=/.iDC.若4+〃=§,則AE?AE的最小值為.

4

9

【分析】由題意畫出圖形，把荏.通用通,而表示，最后轉(zhuǎn)化為含有X,〃的代數(shù)式,

2

再結(jié)合九+〃=］及基本不等式求得AE-AF的最小值.

【詳解】解：如圖，

_____2

^E=ABC>DF=JJDC,且％+〃=§，

AEAF=(AB+BE)(Ab+DF),

=(AB+ABC)(AD+pDC)=(AB+2AD)-(AD+juAB)

=(l+Ay)AB-AD+A\Ab\1+〃|詞2

1Q

=(1+A/z)x2x2x(—-)+4(4+必)=-2(1+%〃)+~.

由題意可得，2,/z>0,

/2

?.?2+〃=3，

加,=L貝1」一2(1+4〃)...一■，

I2J99

841

.\-2(1+2//)+-.,.-(當(dāng)且僅當(dāng)；1=〃=三時等號成立)，

4

???荏./的最小值為

y

4

故答案為：T".

y

QzrS(7

15.已知。>0,Z?>0,且。H--\-b-\—=10,則-----的最大值為____________

abba

4

5?（14、

【分析】依題意可得不一-=10-。+。+:+一,再利用基本不等式計算可得;

ba\baJ

26

【詳解】解：因為。>0,/?>0,且QH--F/?H—=10,

444

又〃+—221。?一=4,當(dāng)且僅當(dāng)。=一，即。=2時取等號,

a\aa

/?+->2J/7--=2,當(dāng)且僅當(dāng)。=,，即b=l時取等號,

b\bb

14（14、

所以。+/?+—+—26,貝?。?0—|+—+一|44,

baIba）

5?

即-----<4,當(dāng)且僅當(dāng)。=2、h=1時取等號；

ba

故答案為：4

三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟.

16.在AABC中，內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,已知2cosc3cos8+》cosA)=c.

(1)求角C的大??；

(2)若cosA=X5,求sin(2A+C)的值；

4

(3)若c=J7，AABC的面積為鈍，求邊”，匕的值.

2

冗

(1)

~3

a=2。二3

(3)或＜

b=3一b=2

【分析】(1)利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計算可得；

(2)首先由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出sinA,再利用二倍角公式及兩角和的正弦公式計

算可得；

(3)由面積公式得到。匕，再由余弦定理得到/+從，最后解方程組即可；

【小問1詳解】

解：因為2cosc(acosB+bcosA)=c,

由正弦定理得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

即2coscsin(A+B)=sinC,

故2sinCeosC=sinC,

因為sinC>0,所以cosC=g,又Ce(O,?),所以c=2.

【小問2詳解】

解：因為cosA='^,所以sinA=Jl-cos?A=,

44

所以sin2A=2sinAcosA=2x理=,

444

2

cos2A=2cos2A-l=-1二一；,

所以sin(2A+C)=sin2AcosC+cos2AsinC

V151173V15-V3

—__x___x__—______

4242-8

【小問3詳解】

解：由己知，-^sinC=-＞又。=工，

223

所以而=6①，

由已知及余弦定理得必+"一2abeosC=7，

故〃+從=13,從而(。+力＞=25,

所以。+/?=5②.

a=2a=3

由①②得，或，

b=3b=2

17.如圖，四邊形A88是邊長為2的菱形，NABC=60°,四邊形山C。是矩形，A4=l，

且平面尸ACQ平面ABCD.

(1)求直線BP與平面B4CQ所成角的正弦值;

(2)求平面BPQ與平面。PQ的夾角的大小；

(3)求點C到平面BPQ的距離.

⑴

5

(2)60°

(3)T

【分析】（1）連接80,交AC于。，連接OP,由平面PACQJL平面ABC。，可推出6￡>_L

平面PACQ,平面ABCO,故NBPO即所求；在Rt^POB中，由sinN8PO=等

可得解；

（2）取尸。的中點M,連接8"、DM-易證BMJ.PQ,DM1PQ,故N&WD即為

所求，在ABDM中，利用余弦定理求出N8MD，即可得到兩平面的夾角；

（3）由等體積法匕一*e=^B-CPQ，即可得解.

【小問1詳解】

解：連接3。交AC于。，連接。尸，

???四邊形A8CD是菱形，BO_LAC,

?.?平面PACQ_L平面ABC。，平面PACQC平面ABCO=AC,BDU平面ABCD,

.?.8D_L平面尸ACQ,

NBPO即為族與平面ACQP所成角.

?.?四邊形B4CQ為矩形，二尸AJ_AC,

又平面PACQ_L平面ABCD,平面PACQC平面ABCD=AC,/%<=平面%。。，

R4-L平面A8C￡>,:.PA±AB，：.BP=\IAB2+PA1=>/4+l=^>

OB6岳

在RtZ\POB中，0B=6sinN8Po=而=下=可

故外與平面4CQP所成角的正弦值為巫

5

【小問2詳解】

解：取尸Q的中點“，連接BM、DM,

由（1）知，尸4，平面438,

???四邊形A8CO是菱形，四邊形尸ACQ為矩形,

：.BP=BQ,DP=DQ,

BMVPQ,DM1PQ,

.?.NBMD即為二面角3-PQ-。的平面角,

在ABZW中，BD=2也,BM=DM=屈匚俞'[BP?_（；AC￥=直口=2,

222

,ABA/+DM-BD4+4-122

由余弦定理知，cosZBMD=-------------------------

2BM-DM2x2x22

/.ZBMD=120°,

故二面角B-PQ-D的大小為120°,則平面BPQ與平面DPQ的夾角為60°.

【小問3詳解】

解：設(shè)點C到平面3PQ的距離為“，

?'VjBPQ~VB-CPQ，

gdx^BM.PQ=；OBx；CQ.PQ,

dx2x2=V5xlx2，

.d6

..u----，

2

故點C到平面BPQ的距離為且.

2

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，滿足S"=2怎-1,mN*，數(shù)列也｝滿足

〃a+i—(〃+1)2=〃(〃+1),〃eN*，且4=1.

(1)求數(shù)列｛叫的通項公式；

｛:｝是等差數(shù)列，求數(shù)列｛2｝的通項公式;

(2)求證：數(shù)列

(3)若如=勺?匹，數(shù)列｛q,｝的前〃項和為7“，對任意的〃eN*，都有7；4〃S“+/,

求實數(shù)”的取值范圍.

12

(1)an=T'；(2)證明見解析，bn=n；(3)aNO或aW-1.

【分析】(1)運用數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的和與通項的關(guān)系可得4=2a,i，再由等比數(shù)列的

定義、通項公式可得結(jié)果；(2)對等式兩邊除以結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，

可得所求；(3)求得C“=〃-2"T,由數(shù)列的錯位相減法求和，可得(=1+(〃-1>2”,化簡

7；?〃S“+/+a,即q2+a_i?〃_2",對任意的〃6N*成立，運用數(shù)列的單調(diào)性可得最大

值，解不等式可得所求范圍.

【詳解】⑴S“=2a”一1,可得q=E=2q—1,即q=l；

心2時,S,i=2a“_]一1，又S“=2an-1,

1a

相減可得=24-1-241T+，即n=2a,

則4=2"-1；

(2)證明：nbll+l-(n+l)bn=n(n+l),

hh

可得也_絲=1,

〃+lb

可得｛9｝是首項和公差均為1的等差數(shù)列，

b

可得。=〃，即a=19；

n

前n項和為7；=l4+2?2+3?22+...+〃-2"T,

27；,=l-2+2-22+3-23+...+n-2n,

相減可得一（,=1+22+23+...+2“T一〃2

可得1=1+("-1>2",

Tn4nSn+a~+a,即為1+(〃-1),2"<"(2"—I)+a-+a,

即/+。一12〃一2"，對任意的nGN"成立，

由(〃+l)_2"+i_(“_2")=[_2"<0,

可得｛〃-2"｝為遞減數(shù)列，即”=1時取得最大值1-2=-1,

可得/一1?一[,即或。<一1.

“錯位相減法”求數(shù)列的和是重點也是難點，利用“錯位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾

點：①掌握運用“錯位相減法”求數(shù)列的和的條件(一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積)；②

相減時注意最后一項的符號；③求和時注意項數(shù)別出錯；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊

同時除以1一4

19.已知點4(2,0),橢圓C：*+，=1(。>匕>0)的離心率為乎，尸和3分別是橢圓C

3

的左焦點和上頂點，且△河的面積為二.

2

(I)求橢圓C的方程；

uuruiiin1

(II)設(shè)過點A的直線/與C相交于P,。兩點，當(dāng)OP-OQ=§時，求直線/的方程.

2

(I)+y2=1；(II)x+2y-2=0或x-2y-2=0

3

【分析】（I）由AAB/的面積為一，得出dc關(guān)系，再由離心率結(jié)合a,b,c關(guān)系，求解即可

2

得出橢圓方程；

（H）設(shè)P（玉，y）,Q（w，%）,由已知可得西4+乂%=（，設(shè)直線/方程為丁=左。一2）,

與橢圓方程聯(lián)立，得到玉+々，石々的關(guān)系式，進(jìn)而得出%巳的關(guān)系式，建立我的方程，求解

即可得出結(jié)論.

【詳解】（I）設(shè)尸（一c,0）（c>0）,由條件知5（0,。）,

13

所以廠的面積為3（2+。）必=不，①

由￡=變得片=202,從而/+C2=2C2,化簡得h=c,②

a2

①②聯(lián)立解得匕=c=l,

r2

從而a=拒，所以橢圓C的方程為1■+y2=i；

（II）當(dāng)/_Lx軸時，不合題意，故設(shè)/：y=Ar（x—2）,

r2

將）,=以％-2）代入]+/=1得0+2左2）%2一8&2%+8&2-2=0

由題V=4（2-4F）>0得一理<k〈旦,

22

=9XX=

設(shè)P（/苗）,。（￡,%），則X]+工212\21,2

1十乙Ki?乙K

uuruumi

因為OP-。。=§,

所以玉/+%%=玉%2+公（玉-2）（X2-2）=（1+公居/_2/（玉+/）+442=；,

從而（1+6）-------2k------+4^,

1，1+2/1+2/3

,1（V2近、

整理得28^=7，k=±-&-—,

222

所以直線/的方程為x+2y-2=0或x—2y-2=0.

本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要掌握根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求方法在相

交弦中的應(yīng)用，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題.

20.已知函數(shù)/(x)nlnx+3x?,g(x)=(a+l)x.

(1)若。=一1,求/(%)的最大值；

(2)若函數(shù)/z(x)=/(x)-g(x),討論力(x)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)帆(x)=/(x)-g(x)+x有兩個極值點X],巧(占<*2),求

證.m(x,<^-Ina

(1)--；(2)答案見解析；(3)證明見解析.

2

【分析】(1)代入”的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最

大值即可；

(2)首先對函數(shù)〃(x)進(jìn)行求導(dǎo)，通過討論。的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(3)首先根據(jù)函數(shù)有兩個極值點得一元二次方程有兩根，進(jìn)而可得判別式、根與系數(shù)的關(guān)系,

11

所以可以得兩極值點/，々的關(guān)系芭々=一，及極值點七的取值范圍A°<%<一尸；然后寫

a\Ja

出加(%)-〃?(%)關(guān)于極值點七的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可.

【詳解】⑴當(dāng)。=—1時，/(x)=--,xe(O,4w),

X

當(dāng)xe(0,1)時，/'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)xw(l,+8)時,/'(x)<0,.?./(一單調(diào)遞減,

所以/(?的最大值為了⑴二―；；

(2)由已知得以?=/(無)-g(x)=lnx+|'x2-(a+l)x,xw(0,+oo),

〃(》)」+以-(0+1)=