2024年度函數(shù)的單調(diào)性公開課課件

函數(shù)的單調(diào)性公開課課件12024/2/2目錄引言函數(shù)單調(diào)性的判斷方法函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)常見函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用總結(jié)與展望22024/2/201引言32024/2/2010203單調(diào)遞增對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果在其定義域內(nèi)任取兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。單調(diào)遞減對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果在其定義域內(nèi)任取兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則稱函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間內(nèi)具有單調(diào)性，并稱該區(qū)間為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)的單調(diào)性定義42024/2/2有助于了解函數(shù)的圖像和性質(zhì)通過函數(shù)的單調(diào)性，我們可以大致描繪出函數(shù)的圖像，并了解函數(shù)的增減性、極值點(diǎn)等重要性質(zhì)。為解決不等式和比較大小問題提供依據(jù)利用函數(shù)的單調(diào)性，我們可以方便地解決一些與函數(shù)相關(guān)的不等式和比較大小問題。在數(shù)學(xué)分析和其他領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性是數(shù)學(xué)分析中的重要概念，在求極限、判斷級(jí)數(shù)收斂性等方面都有廣泛應(yīng)用。同時(shí)，在其他領(lǐng)域如經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)等中，函數(shù)的單調(diào)性也具有重要的應(yīng)用價(jià)值。研究函數(shù)單調(diào)性的意義52024/2/202函數(shù)單調(diào)性的判斷方法62024/2/2

導(dǎo)數(shù)判斷法導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系當(dāng)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，若導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算通過求導(dǎo)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則等方法，計(jì)算出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟首先確定函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷導(dǎo)數(shù)在定義域內(nèi)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。72024/2/2函數(shù)單調(diào)性的定義01對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1和x2，若x1<x2時(shí)，有f(x1)≤f(x2)，則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若x1<x2時(shí)，有f(x1)≥f(x2)，則稱函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟02任取定義域內(nèi)的兩個(gè)自變量x1和x2，并比較f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系，從而確定函數(shù)的單調(diào)性。注意事項(xiàng)03在運(yùn)用定義判斷法時(shí)，需要注意函數(shù)定義域的選取以及自變量的取值范圍。定義判斷法82024/2/203圖像判斷法的局限性雖然圖像判斷法直觀易懂，但有時(shí)候可能不夠精確，需要結(jié)合其他方法進(jìn)行判斷。01函數(shù)圖像的繪制通過描點(diǎn)法、圖像變換法等方法，繪制出函數(shù)的圖像。02觀察圖像判斷單調(diào)性通過觀察函數(shù)圖像在定義域內(nèi)的上升或下降趨勢，判斷函數(shù)的單調(diào)性。圖像判斷法92024/2/203函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)102024/2/2若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，則函數(shù)值隨自變量的增大而增大。單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)局部單調(diào)性若函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少，則函數(shù)值隨自變量的增大而減小。函數(shù)在某一子區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加或減少，但在整個(gè)定義域內(nèi)不一定保持單調(diào)性。030201單調(diào)性與函數(shù)值的關(guān)系112024/2/2函數(shù)圖像從左至右呈上升趨勢，無拐點(diǎn)。單調(diào)增函數(shù)的圖像函數(shù)圖像從左至右呈下降趨勢，無拐點(diǎn)。單調(diào)減函數(shù)的圖像若函數(shù)在某點(diǎn)處存在拐點(diǎn)，則該點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性可能不同。拐點(diǎn)與單調(diào)性單調(diào)性與函數(shù)圖像的關(guān)系122024/2/2加法運(yùn)算兩個(gè)單調(diào)性相同的函數(shù)相加，結(jié)果函數(shù)保持相同的單調(diào)性。乘法運(yùn)算兩個(gè)單調(diào)性相同的函數(shù)相乘，結(jié)果函數(shù)保持相同的單調(diào)性；若一個(gè)增函數(shù)與一個(gè)減函數(shù)相乘，結(jié)果函數(shù)的單調(diào)性不確定。復(fù)合運(yùn)算若內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)且外層函數(shù)也為增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若內(nèi)層函數(shù)為減函數(shù)且外層函數(shù)也為減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；其他情況下復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性不確定。單調(diào)性的運(yùn)算性質(zhì)132024/2/204常見函數(shù)的單調(diào)性142024/2/2一次函數(shù)$f(x)=ax+b$（$aneq0$）的單調(diào)性由系數(shù)$a$決定。當(dāng)$a>0$時(shí)，函數(shù)$f(x)$在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增。當(dāng)$a<0$時(shí)，函數(shù)$f(x)$在整個(gè)定義域上單調(diào)遞減。一次函數(shù)的單調(diào)性152024/2/2二次函數(shù)的單調(diào)性010203二次函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的單調(diào)性由系數(shù)$a$和對(duì)稱軸$x=-frac{2a}$決定。當(dāng)$a>0$時(shí)，函數(shù)$f(x)$在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增。當(dāng)$a<0$時(shí)，函數(shù)$f(x)$在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞減。162024/2/2指數(shù)函數(shù)$f(x)=a^x$（$a>1$）在整個(gè)定義域上單調(diào)遞增。指數(shù)函數(shù)$f(x)=a^x$（$0<a<1$）在整個(gè)定義域上單調(diào)遞減。對(duì)數(shù)函數(shù)$f(x)=log_ax$（$a>1$）在$(0,+infty)$上單調(diào)遞增。對(duì)數(shù)函數(shù)$f(x)=log_ax$（$0<a<1$）在$(0,+infty)$上單調(diào)遞減。指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性172024/2/2三角函數(shù)的單調(diào)性010203正弦函數(shù)$y=sinx$在$left[-frac{pi}{2}+2kpi,frac{pi}{2}+2kpiright]$（$kinmathbb{Z}$）上單調(diào)遞增，在$left[frac{pi}{2}+2kpi,frac{3pi}{2}+2kpiright]$（$kinmathbb{Z}$）上單調(diào)遞減。余弦函數(shù)$y=cosx$在$left[2kpi,pi+2kpiright]$（$kinmathbb{Z}$）上單調(diào)遞減，在$left[pi+2kpi,2pi+2kpiright]$（$kinmathbb{Z}$）上單調(diào)遞增。正切函數(shù)$y=tanx$在$left(-frac{pi}{2}+kpi,frac{pi}{2}+kpiright)$（$kinmathbb{Z}$）上單調(diào)遞增。182024/2/205函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用192024/2/2利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值的大小比較問題。舉例證明不等式e^x≥x+1。通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=e^x-x-1，并求導(dǎo)判斷其單調(diào)性，從而證明不等式。在不等式證明中的應(yīng)用202024/2/2利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小對(duì)于同一區(qū)間上的兩個(gè)函數(shù)值，如果函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)，則可以通過比較自變量的大小來比較函數(shù)值的大小。舉例比較sin(π/4)和cos(π/6)的大小。通過誘導(dǎo)公式將兩個(gè)三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)值，然后比較大小。在函數(shù)值比較中的應(yīng)用212024/2/2函數(shù)的單調(diào)性決定了函數(shù)圖像的上升或下降趨勢，從而有助于分析函數(shù)的性質(zhì)。利用函數(shù)的單調(diào)性分析函數(shù)圖像分析函數(shù)y=x^3-3x^2+2的圖像。通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合極值點(diǎn)、拐點(diǎn)等信息，繪制出函數(shù)的圖像。舉例在函數(shù)圖像分析中的應(yīng)用222024/2/206總結(jié)與展望232024/2/2函數(shù)單調(diào)性反映了函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)的增減情況，是掌握函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)。揭示函數(shù)變化規(guī)律在實(shí)際問題中，函數(shù)往往表示某種變化規(guī)律或關(guān)系，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，可以更好地理解和解決實(shí)際問題。解決實(shí)際問題函數(shù)單調(diào)性是微積分、數(shù)學(xué)分析等領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)，對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)具有重要意義。為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)函數(shù)單調(diào)性的重要性242024/2/2ABDC定義法根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，通過比較函數(shù)值的大小來判斷函數(shù)的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)法對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，可以通過求導(dǎo)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，若導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)單調(diào)遞增；若導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)單調(diào)遞減。圖象法通過繪制函數(shù)的圖象，可以直觀地判斷函數(shù)的單調(diào)性。復(fù)合函數(shù)法對(duì)于復(fù)合函數(shù)，可以通過研究內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性來判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。研究函數(shù)單調(diào)性的方法與技巧252024/2/2深入理解概念