新課標全國卷2024屆數學高二下期末達標測試試題含解析

新課標全國卷2024屆數學高二下期末達標測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在區(qū)間上的最大值是（）A． B． C． D．2．袋中有大小相同的紅球6個，白球5個，從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數為隨機變量X，則X的可能取值為()A．1,2，…，6 B．1,2，…，7 C．1,2，…，11 D．1,2,3…3．已知定義在上的奇函數滿足，當時，，則（）A．2019 B．1 C．0 D．-14．已知函數，則，，的大小關系是（）A． B．C． D．5．一個盒子裝有4件產品，其中有3件一等品，1件二等品.從中不放回的取兩次，每次取出一件.設事件為“第一次取到的是一等品”，事件為“第二次取到的是一等品”.則（）A． B． C． D．6．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數為A． B． C． D．7．若，則（）A．8 B．7 C．6 D．58．設函數在定義域內可導，的圖像如圖所示，則導函數的圖像可能為()A． B．C． D．9．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數是（是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，是常數），若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（）A．8萬斤 B．6萬斤 C．3萬斤 D．5萬斤10．函數的極大值為（）A．3 B． C． D．211．全國高中聯(lián)賽設有數學、物理、化學、生物、信息5個學科，3名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學科參加競賽，則不同的報名種數是（）A． B． C． D．12．已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內的一條直線，則“⊥”是“⊥”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設是上的單調函數，且對任意，都有，若是方程的一個解，且，則的值為_____．14．某外商計劃在個候選城市中投資個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過個，則該外商不同的投資方案有____種．15．設隨機變量，，若，則___________．16．某學校高三年級700人，高二年級700人，高一年級800人，若采用分層抽樣的辦法，從高一年級抽取80人，則全校總共抽取______人.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，.（I）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若函數在上是減函數，即在上恒成立，求實數的取值范圍.18．（12分）已知函數.（1）當時，求函數的單調區(qū)間；（2）是否存在實數a，使函數在上單調遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.19．（12分）一個袋子裝有大小形狀完全相同的9個球，其中5個紅球編號分別為1,2,3,4,5；4個白球編號分別為1,2,3,4，從袋中任意取出3個球．（I）求取出的3個球編號都不相同的概率；（II）記為取出的3個球中編號的最小值，求的分布列與數學期望．20．（12分）已知數列滿足（且），且，設，，數列滿足.（1）求證：是等比數列，并求出數列的通項公式；（2）求數列的前項和.21．（12分）已知函數.（1）若函數的最小值為2，求實數的值；（2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）設函數在點處有極值.(1)求常數的值;(2)求曲線與軸所圍成的圖形的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

對求導，判斷函數在區(qū)間上的單調性，即可求出最大值?！绢}目詳解】所以在單調遞增，在單調遞減，故選D【題目點撥】本題考查利用導函數求函數的最值，屬于基礎題。2、B【解題分析】從袋中每次任意取出一個球，直到取出的球是白色為止，所需要的取球次數為隨機變量X，則有可能第一次取出球，也有可能取完6個紅球后才取出白球.3、C【解題分析】

根據題意推導出函數的對稱性和周期性，可得出該函數的周期為，于是得出可得出答案．【題目詳解】函數是上的奇函數，則，，所以，函數的周期為，且，，，，，，，故選C．【題目點撥】本題考查抽象函數求值問題，求值要結合題中的基本性質和相應的等式進行推導出其他性質，對于自變量較大的函數值的求解，需要利用函數的周期性進行求解，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．4、A【解題分析】

由為偶函數，知，由在（0，1）為增函數，知，由此能比較大小關系．【題目詳解】∵為偶函數，∴，∵，由時，，知在（0，1）為增函數，∴，∴，故選：A．【題目點撥】本題考查函數值大小的比較，解題時要認真審題，注意函數的單調性和導數的靈活運用．5、C【解題分析】

利用古典概型概率公式計算出和，然后利用條件概率公式可計算出結果?！绢}目詳解】事件前兩次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得，由古典概型的概率公式得，由條件概率公式得，故選：C.【題目點撥】本題考查條件概率公式求概率，解題時要弄清楚各事件之間的關系，關鍵在于靈活利用條件概率公式計算，考查運算求解能力，屬于中等題。6、C【解題分析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數為，如果是兩種顏色，取法數為，所以取法總數為，故選C．考點：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點晴】（1）對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數原理又要運用分步乘法計數原理的問題，我們可以恰當地畫出示意圖或列出表格，使問題更加直觀、清晰．（2）當兩個原理混合使用時，一般是先分類，在每類方法里再分步．7、D【解題分析】

由得，即，然后即可求出答案【題目詳解】因為，所以所以即，即解得故選：D【題目點撥】本題考查的是排列數和組合數的計算，較簡單.8、D【解題分析】

通過原函數的單調性可確定導函數的正負，結合圖象即可選出答案.【題目詳解】由函數的圖象可知，當時，單調遞減，所以時，，符合條件的只有D選項，故選D.【題目點撥】本題主要考查了函數的單調性與導函數的符號之間的對應關系，屬于中檔題.9、B【解題分析】

銷售的利潤為，利用可得，再利用導數確定函數的單調性后可得利潤的最大值.【題目詳解】設銷售的利潤為，由題意，得，即，當時，，解得，故，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，利潤最大，故選B.【題目點撥】一般地，若在區(qū)間上可導，且，則在上為單調增（減）函數；反之，若在區(qū)間上可導且為單調增（減）函數，則．10、B【解題分析】

求得函數的導數，得出函數的單調性，再根據集合的定義，即可求解.【題目詳解】由題意，函數，則，令，即，解得或，令，即，解得，即函數在上函數單調遞增，在上函數單調遞減，所以當時，函數取得極大值，極大值，故選B.【題目點撥】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及求解函數的極值問題，其中解答中熟記導數與原函數的單調性之間的關系，以及極值的概念是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.11、C【解題分析】分析：利用分布計數乘法原理解答即可.詳解：全國高中聯(lián)賽設有數學、物理、化學、生物、信息5個學科，3名同學欲報名參賽，每人必選且只能選擇一個學科參加競賽，則每位同學都可以從5科中任選一科，由乘法原理，可得不同的報名種數是故選C.點睛：本題考查分布計數乘法原理，屬基礎題.12、B【解題分析】當α⊥β時，平面α內的直線m不一定和平面β垂直，但當直線m垂直于平面β時，根據面面垂直的判定定理，知兩個平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分條件．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先根據題意求函數解析式，再根據導數研究新函數性質，進而確定a的值．【題目詳解】根據題意是上的單調函數，且在定義域內都有，則可知的值為一個常數C，即，故，解得，則函數解析式為，，即，構造新函數，求導得，函數單調遞增，因為，，，故，又，所以．【題目點撥】本題考查求函數原函數和用導函數判斷函數單調性，根據函數根的范圍確定參數值，運用了零點定理，有一定的難度．14、60【解題分析】試題分析：每個城市投資1個項目有種，有一個城市投資2個有種，投資方案共種.考點：排列組合.15、【解題分析】

由求出，然后即可算出【題目詳解】因為，所以解得，所以所以故答案為：【題目點撥】本題考查的是二項分布的相關知識，較簡單.16、220.【解題分析】分析：根據學生的人數比，利用分層抽樣的定義即可得到結論．詳解：設全?？偣渤槿人，則：故答案為220人.點睛：本題主要考查分層抽樣的應用，根據條件建立比例關系是解決本題的關鍵，比較基礎．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解題分析】

（1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，寫出切線方程即可（2）求出函數的導數，根據函數的單調性求出a的范圍即可.【題目詳解】（1）當時，，所以，

所以，又，

所以曲線在點處的切線方程為；

（2）因為函數f（x）在[1，3]上是減函數，

所以在[1，3]上恒成立，令，則，解得，故.所以實數的取值范圍.【題目點撥】本題主要考查了函數的單調性，函數的最值，導數的應用，恒成立問題，屬于中檔題.18、(1)單調遞增區(qū)間為和,單調遞減區(qū)間為.(2)存在,滿足題設.【解題分析】

(1)根據當時直接求導，令與,即可得出單調區(qū)間.(2)函數,使函數在上單調遞增等價于,等價于,構造函數,利用導數求出的最小值,即可得出的范圍.【題目詳解】(1)當時,,令,則或,令,則,的單調遞增區(qū)間為和,單調遞減區(qū)間為.(2)存在,滿足題設.函數.要使函數在上單調遞增,,即,令,則當時,在上單調遞減,當時,在上單調遞增,是的極小值點，也是最小值點,且存在,滿足題設.【題目點撥】本題主要考查導函數研究函數的單調性和恒成立問題,考查分類討論的數學思想,等價轉化的數學思想等知識,難度較難.19、（I）（II）【解題分析】試題分析：（Ⅰ）設A表示“取出的3個球的編號為連續(xù)的自然數”，取出3球的方法有84種，連續(xù)自然數的方法：123和234均為種，341為種，由此能求出結果．（Ⅱ）X的取值為2，3，4，1．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列與數學期望試題解析：（I）設“取出的3個球編號都不相同”為事件A，“取出的3個球中恰有兩個球編號相同”為事件B，則，（II）的取值為1,2,3,4所以的分布列為：1234的數學期望考點：離散型隨機變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式20、（1）證明見解析，；（2）.【解題分析】

（1）根據，構造，即可證明是等比數列，進而可求出通項公式；（2）根據（1）的結果，求出，得到，再由錯位相減法，即可得出結果.【題目詳解】（1），，，是等比數列，其中首項是，公比為.，即.（2）（），，由（1）知，，，，（），，兩式相減得，.【題目點撥】本題主要考查由遞推關系證明等比數列，求數列通項公式，以及數列的求和，熟記等比數列的定義，等比數列的通項公式，以及錯位相減法求數列的和即可，屬于常考題型.21、(1)或.(2)【解題分析】

（1）利用絕對值不等式可得=2，即可得出的值.（2）不等式在上恒成立等價于在上恒成立，故的解集是的子集，據此可求的取值范圍.【題目詳解】解：（1）因為，所以.令，得或，解得或.（2）當時，.由，得，即，即.據題意，，則，解得.所以實數的取值范圍是.【題目點撥】（1）絕對值不等式指：及，我們常利用它們求含絕對值符號的函數的最值.（2）解絕對值不等式的基本方法有公式法、零點分段討論法、圖像法、平方法等，利用公式法時注意不等號的方向，利用零點分段討論法時注意分類點的合理選擇，利用平方去掉絕對值符號時注意代數式的正負，而利用圖像法求解時注意圖像的正確刻畫．22、(1);(2).【解題分析】

（1）求出導函數，利用函數在處有極值，由且,解方程組，即可求得的值；（2）利用定積分的幾何意義，先確