湖北省鋼城第四中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

湖北省鋼城第四中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)的最小正周期為 B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．函數(shù)是奇函數(shù)2．以下說法中正確個(gè)數(shù)是（）①用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”的反設(shè)是“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角”；②欲證不等式成立，只需證；③用數(shù)學(xué)歸納法證明（，，在驗(yàn)證成立時(shí)，左邊所得項(xiàng)為；④命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是使用了“三段論”，但小前提使用錯(cuò)誤.A． B． C． D．3．6本相同的數(shù)學(xué)書和3本相同的語(yǔ)文書分給9個(gè)人，每人1本，共有不同分法（）A． B．C． D．4．給出下列說法：（1）命題“，”的否定形式是“，”；（2）已知，則；（3）已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為，則回歸直線方程為；（4）對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；（5）若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，則樣本的方差不變.其中正確說法的個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．55．曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．或 C． D．或6．從不同品牌的4臺(tái)“快譯通”和不同品牌的5臺(tái)錄音機(jī)中任意抽取3臺(tái),其中至少有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái),則不同的取法共有()A．140種 B．84種 C．70種 D．35種7．從混有4張假鈔的10張一百元紙幣中任意抽取3張，若其中一張是假幣的條件下，另外兩張都是真幣的概率為（）A． B． C． D．8．的展開式中，的系數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．89．奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集是（）A． B．C． D．10．已知，，的實(shí)部與虛部相等，則（）A．2 B． C．2 D．11．函數(shù)的圖象大致為（）A． B． C． D．12．若圓關(guān)于直線：對(duì)稱，則直線在軸上的截距為（）A．-l B．l C．3 D．-3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線l過點(diǎn)（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________.14．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值是__________．15．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16．如圖，在梯形中，，，，，，如果，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，．（1）若函數(shù)f（x）在處有極值，求函數(shù)f（x）的最大值；（2）是否存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立？若存在，求出b的取值范圍；若不存在，說明理由；18．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值.（1）求的解析式；（2）求在上的值域.19．（12分）某保險(xiǎn)公司針對(duì)企業(yè)職工推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬(wàn)元.保險(xiǎn)公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）.（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤(rùn)都不得超過保費(fèi)的20%，試分別確定各類工種每張保單保費(fèi)的上限；（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準(zhǔn)備為全體職工每人購(gòu)買一份此種保險(xiǎn)，并以（Ⅰ）中計(jì)算的各類保險(xiǎn)上限購(gòu)買，試估計(jì)保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤(rùn).20．（12分）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，M是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且滿足.（1）證明：.（2）當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最大？并求該角最大值的正切值.（3）若平面與平面所成的二面角為，試確定P點(diǎn)的位置.21．（12分）近年來，網(wǎng)絡(luò)電商已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的消費(fèi)方式為了更好地服務(wù)民眾，某電商在其官方APP中設(shè)置了用戶評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶對(duì)商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評(píng)價(jià)現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中隨機(jī)抽出200條較為詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，商品狀況和優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表如下：對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)不滿意合計(jì)對(duì)商品狀況好評(píng)10020120對(duì)商品狀況不滿意503080合計(jì)15050200（I）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與商品狀況好評(píng)之間有關(guān)系？（Ⅱ）為了回饋用戶，公司通過APP向用戶隨機(jī)派送每張面額為0元，1元，2元的三種優(yōu)惠券用戶每次使用APP購(gòu)物后，都可獲得一張優(yōu)惠券，且購(gòu)物一次獲得1元優(yōu)惠券，2元優(yōu)惠券的概率分別是，，各次獲取優(yōu)惠券的結(jié)果相互獨(dú)立若某用戶一天使用了APP購(gòu)物兩次，記該用戶當(dāng)天獲得的優(yōu)惠券面額之和為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考數(shù)據(jù)P（K2≥k）0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：K2，其中n＝a+b+c+d22．（10分）如圖所示，在以為直徑的半圓周上，有異于的六個(gè)點(diǎn)，直徑上有異于的四個(gè)點(diǎn).則：（1）以這12個(gè)點(diǎn)（包括）中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？（2）以這10個(gè)點(diǎn)（不包括）中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)三角形？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：,所以函數(shù)的最小正周期為,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,函數(shù)是偶函數(shù).考點(diǎn)：1.三角函數(shù)的周期性；2.三角函數(shù)的奇偶性；3.圖像得對(duì)稱軸；4.函數(shù)的單調(diào)性.2、B【解題分析】

①根據(jù)“至多有一個(gè)”的反設(shè)為“至少有兩個(gè)”判斷即可。②不等式兩邊平方，要看正負(fù)號(hào)，同為正不等式不變號(hào)，同為負(fù)不等式變號(hào)。③令代入左式即可判斷。④整數(shù)并不屬于大前提中的“有些有理數(shù)”【題目詳解】命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”的反設(shè)是“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角”；①錯(cuò)欲證不等式成立，因?yàn)椋手恍枳C，②錯(cuò)（，，當(dāng)時(shí)，左邊所得項(xiàng)為；③正確命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是使用了“三段論”，小前提使用錯(cuò)誤.④正確綜上所述：①②錯(cuò)③④正確故選B【題目點(diǎn)撥】本題考查推理論證，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解題分析】先分語(yǔ)文書有種，再分?jǐn)?shù)學(xué)書有，故共有=，故選A.4、B【解題分析】

根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，直接判斷（1）錯(cuò)；根據(jù)正態(tài)分布的特征，直接判斷（2）對(duì)；根據(jù)線性回歸方程的特點(diǎn)，判斷（3）正確；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，可判斷（4）錯(cuò)；根據(jù)方差的特征，可判斷(5)正確.【題目詳解】（1）命題“，”的否定形式是“，”，故（1）錯(cuò)；（2）因?yàn)椋捶恼龖B(tài)分布，均值為，所以；故（2）正確；（3）因?yàn)榛貧w直線必過樣本中心，又已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2，樣本點(diǎn)的中心為，所以，即所求回歸直線方程為：；故（3）正確；（4）對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來說，越小，判斷“與有關(guān)系”的把握越大；故（4）錯(cuò)；（5）若將一組樣本數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，方差不變.故（5）錯(cuò).故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查命題真假的判定，熟記相關(guān)知識(shí)點(diǎn)即可，屬于基礎(chǔ)題型.5、B【解題分析】試題分析：設(shè)，或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義6、C【解題分析】分析：從中任意取出三臺(tái)，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái)，有兩種方法，一是2臺(tái)和1臺(tái)；二是1臺(tái)和2臺(tái)，分別求出取出的方法，即可求出所有的方法數(shù).詳解：由題意知本題是一個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，從中任意取出三臺(tái)，其中至少要有“快譯通”和錄音機(jī)各1臺(tái)，快譯通2臺(tái)和錄音機(jī)1臺(tái)，取法有種；快譯通1臺(tái)和錄音機(jī)2臺(tái)，取法有種，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有種.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，考查分類和分步的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是看出符合條件的事件包含兩種情況，是一個(gè)中檔題目.7、A【解題分析】分析:直接利用條件概率公式求解.詳解：由條件概率公式得.故答案為A點(diǎn)睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學(xué)生對(duì)條件概率的掌握水平.(2)條件概率一般有“在已發(fā)生的條件下”這樣的關(guān)鍵詞，表明這個(gè)條件已經(jīng)發(fā)生，發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時(shí)也沒有，要靠自己利用條件概率的定義識(shí)別.8、D【解題分析】

由題意得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式的第項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為8.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)問題，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.9、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，以及上的單調(diào)性，判斷出上的單調(diào)性，求得的值，對(duì)分為四種情況討論，由此求得不等式的解集，進(jìn)而求得的解集.【題目詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，故在上遞減，由于，所以當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.所以當(dāng)或時(shí).故當(dāng)或即或時(shí)，.所以不等式的解集為.故本小題選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查函數(shù)變換，考查含有函數(shù)符號(hào)的不等式的解法，屬于中檔題.10、C【解題分析】

利用待定系數(shù)法設(shè)復(fù)數(shù)z，再運(yùn)用復(fù)數(shù)的相等求得b.【題目詳解】設(shè)（），則即.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查用待定系數(shù)法，借助復(fù)數(shù)相等建立等量關(guān)系，是基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

根據(jù)奇偶性以及特殊值即可排除。【題目詳解】因?yàn)?，所以為奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除BD,因?yàn)?，所以排除A答案，選擇D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)圖像的判斷方法，常利用函數(shù)的奇偶性質(zhì)，特殊值法進(jìn)行排除，屬于中等題。12、A【解題分析】

圓關(guān)于直線：對(duì)稱,等價(jià)于圓心在直線：上,由此可解出.然后令,得,即為所求.【題目詳解】因?yàn)閳A關(guān)于直線：對(duì)稱,所以圓心在直線：上,即,解得.所以直線,令,得.故直線在軸上的截距為.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了圓關(guān)于直線對(duì)稱,屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入可求參數(shù)的值，進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點(diǎn)在拋物線上，將代入中，解得：，，由拋物線方程可得：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：此題考查拋物線的相關(guān)知識(shí)，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，得到拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.14、【解題分析】分析：根據(jù)集合包含關(guān)系得元素與集合屬于關(guān)系，再結(jié)合元素互異性得結(jié)果.詳解：因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.15、【解題分析】

由題意可得有兩個(gè)不等實(shí)根，作出，，，的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得極值，考慮極小值與的關(guān)系，計(jì)算可得所求范圍．【題目詳解】函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，

可得有兩個(gè)不等實(shí)根，

由的導(dǎo)數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

可得處取得極大值，取得極小值，

且過，，作出，，，的圖象，

以及直線，如圖，此時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn),只需滿足，即，又，所以，當(dāng)時(shí)，在處取得極小值，取得極大值a，如圖，

只需滿足，解得，又，所以時(shí)，與有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，顯然與有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，綜上可得a的范圍是，故答案為：.

【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性和極值，考查圖象變換，屬于難題．16、【解題分析】試題分析：因?yàn)?，所以考點(diǎn)：向量數(shù)量積三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）函數(shù)f（x）的最大值為（2）存在，詳見解析【解題分析】

（1）函數(shù)f（x）在處有極值說明（2）對(duì)求導(dǎo)，并判斷其單調(diào)性。【題目詳解】解：（1）由已知得：，且函數(shù)f（x）在處有極值∴，∴∴，∴當(dāng)時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，f（x）單調(diào)遞減；∴函數(shù)f（x）的最大值為．（2）由已知得：①若，則時(shí)，∴在上為減函數(shù)，∴在上恒成立；②若，則時(shí)，∴在[0，+∞）上為增函數(shù)，∴，不能使在上恒成立；③若，則時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上為增函數(shù)，此時(shí)，∴不能使在上恒成立；綜上所述，b的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的極值，以及函數(shù)單調(diào)性的討論，在解決此類問題時(shí)關(guān)鍵求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性以及極值。屬于難題。18、（1）；（2）.【解題分析】

(1)由題意得，解方程即得a，b的值即得解；（2）先求出在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即得函數(shù)的值域.【題目詳解】（1），由題意得，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)為的極小值點(diǎn)，符合題意.（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.因?yàn)?，，所以的最大值?所以在上的值域?yàn)?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）元.【解題分析】試題分析：（I）設(shè)工種每份保單的保費(fèi)，則需賠付時(shí)，收入為，根據(jù)概率分布可計(jì)算出保費(fèi)的期望值為，令解得.同理可求得工種保費(fèi)的期望值；（II）按照每個(gè)工種的人數(shù)計(jì)算出份數(shù)然后乘以（1）得到的期望值，即為總的利潤(rùn).試題解析：（Ⅰ）設(shè)工種的每份保單保費(fèi)為元，設(shè)保險(xiǎn)公司每單的收益為隨機(jī)變量，則的分布列為保險(xiǎn)公司期望收益為根據(jù)規(guī)則解得元，設(shè)工種的每份保單保費(fèi)為元，賠付金期望值為元，則保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)為元，根據(jù)規(guī)則，解得元，設(shè)工種的每份保單保費(fèi)為元，賠付金期望值為元，則保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)為元，根據(jù)規(guī)則，解得元.（Ⅱ）購(gòu)買類產(chǎn)品的份數(shù)為份，購(gòu)買類產(chǎn)品的份數(shù)為份，購(gòu)買類產(chǎn)品的份數(shù)為份，企業(yè)支付的總保費(fèi)為元，保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤(rùn)為元.20、（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解題分析】

（1）以AB，AC，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)向量的坐標(biāo)，易判斷，即；（2）設(shè)出平面ABC的一個(gè)法向量，我們易表達(dá)出，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性及正切函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，求出滿足條件的值，進(jìn)而求出此時(shí)的正線值；（3）平面PMN與平面ABC所成的二面角為，則平面PMN與平面ABC法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值為，代入向量夾角公式，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于的方程，解方程即可求出對(duì)應(yīng)值，進(jìn)而確定出滿足條件的點(diǎn)P的位置．【題目詳解】（1）證明：如圖，以AB，AC，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，從而，，，所以．（2）平面ABC的一個(gè)法向量為，則（※）．而，當(dāng)最大時(shí)，最大，無意義，除外，由（※）式，當(dāng)時(shí)，，．（3）平面ABC的一個(gè)法向量為．設(shè)平面PMN的一個(gè)法向量為，由（1）得．由得，解得，令，得，∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為，∴，解得．故點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，且．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量評(píng)議表述線線的垂直、平等關(guān)系，用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求平面間的夾角，其中熟練掌握向量夾角公式是解答此類問題的關(guān)鍵．21、（Ⅰ）在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與商品狀況好評(píng)之間有關(guān)系．（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的公式，求得K3的值，利用附表即可得到結(jié)論；（Ⅱ）求得X的取值分別為，利用相互對(duì)立事件的計(jì)算公式，求得相應(yīng)的概