河北省徐水縣大因鎮(zhèn)第三中學2024屆數學高二第二學期期末質量檢測試題含解析

河北省徐水縣大因鎮(zhèn)第三中學2024屆數學高二第二學期期末質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的導函數為，若，則函數的圖像可能是()A． B． C． D．2．關于函數，下列說法正確的是()A．是周期函數，周期為 B．關于直線對稱C．在上是單調遞減的 D．在上最大值為3．某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．74254．已知實數，滿足，則與的關系是（）A． B． C． D．5．已知有相同兩焦點F1、F2的橢圓+y2=1和雙曲線-y2=1，P是它們的一個交點，則ΔF1PF2的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍有三角形 D．等腰三角形6．某同學將收集到的六組數據制作成散點圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為l1:y=0.68x+a，計算其相關系數為r1，相關指數為R12.經過分析確定點F為“離群點”，把它去掉后，再利用剩下的5組數據計算得到回歸直線的方程為l2A．r1>0,C．a=0.12 D．7．設復數滿足，則()A． B． C． D．8．已知函數,若是函數唯一的極值點,則實數的取值范圍為()A． B． C． D．9．已知是定義在上的奇函數，對任意的，均有.當時，，則（）A． B． C． D．10．已知點P在直徑為2的球面上，過點P作球的兩兩相互垂直的三條弦PA，PB，PC，若，則的最大值為A． B．4 C． D．311．已知曲線和曲線圍成一個葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．12．已知函數在上單調，則實數的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”為假命題，則實數的取值范圍是.14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的為1，則輸入的的值等于_________．15．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，b＝2，若滿足條件的△ABC有且僅有一個，則a的取值范圍是_____．16．設等差數列的前項和為.若，則______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）把圓分成個扇形，設用4種顏色給這些扇形染色，每個扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設共有種方法.(1)寫出，的值；(2)猜想，并用數學歸納法證明．18．（12分）若．（1）討論的單調性；（2）若對任意，關于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數的取值范圍．19．（12分）已知函數，為的導函數．（1）證明：在上存在唯一零點．（2）若，恒成立，求的取值范圍．20．（12分）在復平面內，復數（其中）.（1）若復數為實數，求的值；（2）若復數為純虛數，求的值；（3）對應的點在第四象限，求實數的取值范圍．21．（12分）在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為x=1+255ty=1+55t（t為參數），以（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）點P1,1，直線l與曲線C交于A,B兩點，若PA?PB22．（10分）已知橢圓：的離心率為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓相交于，兩點，若，試用表示.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據導數的幾何意義和，確定函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，即可得出結論．【題目詳解】函數的導函數為，，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故選：D．【題目點撥】本題考查函數的圖象與其導函數的關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．2、C【解題分析】分析：利用正弦函數的圖象與性質，逐一判定，即可得到答案．詳解：令，對于A中，因為函數不是周期函數，所以函數不是周期函數，所以是錯誤的；對于B中，因為，所以點與點關于直線對稱，又，所以，所以的圖象不關于對稱，所以是錯誤的；對于C中，當時，，當時，函數為單調遞減函數，所以是正確的；對于D中，時，，所以是錯誤的，綜上可知，正確的為選項C，故選C．點睛：本題主要考查了正弦函數的對稱性、周期性、單調性及其函數的最值問題，其中熟記正弦函數的圖象與性質，合理運算是解答此類問題的關鍵，著重考查了綜合分析與應用能力，以及推理與運算能力，試題有一定難度，屬于中檔試題．3、A【解題分析】

根據題意，分兩步進行：先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，然后分析剩余的4個班級的監(jiān)考方案，計算可得其情況數目，由分步計數原理計算可得答案．【題目詳解】某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，有種，而剩余的4個班級全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計數原理可得，共種不同的方案；故選：A.【題目點撥】本題解題關鍵是掌握分步計數原理和組合數計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.4、C【解題分析】

設，，則，對進行平方展開化簡得，代入得，兩式相加即可.【題目詳解】設，，則且，等式兩邊同時平方展開得：，即令等式中，化簡后可得：兩式相加可得故選：C【題目點撥】本題考查了代數式的計算化簡求值，考查了換元法，屬于中檔題5、B【解題分析】根據橢圓和雙曲線定義：又；故選B6、B【解題分析】

根據相關性的正負判斷r1和r2的正負，根據兩個模型中回歸直線的擬合效果得出R12和R2【題目詳解】由圖可知兩變量呈現正相關，故r1>0,r2>0故A正確，B不正確.又回歸直線l1:y=0.68x+a必經過樣本中心點(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回歸直線l2:y=bx+0.68必經過樣本中心點所以b=0.44，也可直接根據圖象判斷0<b<0.68（比較兩直線的傾斜程度），故D【題目點撥】本題考查回歸分析，考查回歸直線的性質、相關系數、相關指數的特點，意在考查學生對這些知識點的理解，屬于中等題。7、C【解題分析】由，得，則，故選C.8、A【解題分析】分析：由的導函數形式可以看出，需要對k進行分類討論來確定導函數為0時的根.詳解：函數的定義域是，，是函數唯一的極值點,是導函數的唯一根，在無變號零點，即在上無變號零點，令，，在上單調遞減，在上單調遞增，的最小值為，必須.故選A.點睛：本題考查由函數的導函數確定極值問題，對參數需要進行討論.9、C【解題分析】

由f（x）=1﹣f（1﹣x），得f（1）=1，確定f（）=，利用f（x）是奇函數，即可得出結論．【題目詳解】由f（x）=1﹣f（1﹣x），得f（1）=1，令x=，則f（）=，∵當x∈[0，1]時，2f（）=f（x），∴f（）=f（x），即f（）=f（1）=，f（）=f（）=14，f（）=f（）=14，∵＜＜，∵對任意的x1，x2∈[﹣1，1]，均有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））≥0∴f（）=，同理f（）=…=f（﹣）=f（）=．∵f（x）是奇函數，∴f（﹣）+f（﹣）+…+f（﹣）+f（﹣）=﹣[f（﹣）+f（）+…+f（）+f（）]=﹣，故選：C．【題目點撥】本題考查函數的奇偶性、單調性，考查函數值的計算，屬于中檔題．10、A【解題分析】

由題意得出，設，，利用三角函數輔助角公式可得出的最大值.【題目詳解】由于、、是直徑為的球的三條兩兩相互垂直的弦，則，所以，設，，，其中為銳角且，所以，的最大值為，故選A.【題目點撥】本題考查多面體的外接球，考查棱長之和的最值，在直棱柱或直棱錐的外接球中，若其底面外接圓直徑為，高為，其外接球的直徑為，則，充分利用這個模型去解題，可簡化計算，另外在求最值時，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角換元的思想來求解．11、D【解題分析】

先作出兩個函數的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查定積分的應用，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、D【解題分析】

求得導數，根據在上單調，得出或在上恒成立，分離參數構造新函數，利用導數求得新函數的單調性與最值，即可求解?！绢}目詳解】由題意，函數，則，因為，在上單調，所以①當在上恒成立時，在上單調遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數，∴．②當在上恒成立時，在上單調遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．【題目點撥】本題主要考查了利用導數研究函數單調性、最值問題，用到了分離參數法求參數的范圍，恒成立問題的處理及轉化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運算能力，屬于偏難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由題意可得命題:,為真命題.所以,解得.考點：命題的真假.14、2或【解題分析】

根據程序框圖，討論和兩種情況，計算得到答案.【題目詳解】當時，，故；當時，，故，解得或（舍去）.故答案為：2或.【題目點撥】本題考查了程序框圖，意在考查學生的計算能力和理解能力.15、a或0＜a≤2【解題分析】

先根據求得，結合正弦定理及解的個數來確定a的取值范圍.【題目詳解】因為，所以，由于在三角形中，所以，即，因為，所以.由正弦定理可得，因為滿足條件的△ABC有且僅有一個，所以或者，所以或者.【題目點撥】本題主要考查利用三角形解的個數求解參數的范圍，三角形解的個數一般可以利用幾何法或者代數法來求解，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16、65【解題分析】

由可得，再由等差數列的求和公式結合等差數列的性質即可得結果.【題目詳解】在等差數列中，由，可得，即，即，，故答案為65.【題目點撥】本題主要考查等差數列的通項公式、求和公式以及等差數列性質的應用，屬于中檔題.解答等差數列問題要注意應用等差數列的性質（）與前項和的關系.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】分析：（1）根據題意，得；（2）分析可得，用用數學歸納法證明即可詳解：（1）（2）．當時，首先，對于第1個扇形，有4種不同的染法，由于第2個扇形的顏色與的顏色不同，所以，對于有3種不同的染法，類似地，對扇形，…，均有3種染法．對于扇形，用與不同的3種顏色染色，但是，這樣也包括了它與扇形顏色相同的情況，而扇形與扇形顏色相同的不同染色方法數就是，于是可得猜想當時，左邊，右邊，所以等式成立假設時，，則時，即時，等式也成立綜上點睛：本題考查考查歸納分析能力，考查數學歸納法的應用，屬中檔題．18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）求導得，再分成、、、四種情況，結合導數的符號得出函數的單調性；（2）設，，得單調性，則，由（1）可得，則，令，求導，令，，根據導數可得出函數的單調性與最值，由此可以求出答案．【題目詳解】解：（1），①當時，令則，令，則，∴在上單調遞減，在單調遞增；②當時，，令，則或，令，則，∴在和上單調遞增，在上單調遞減；③當時，在上單調遞增；④當時，令則或，令則，∴在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）當時，，設，，∴在上遞增，，∴，由（1）知在上遞減，在上遞增，∴，∴，令，則，令，，當時，，故在上遞減，∴，∴，∴在上遞增，∵，∴．【題目點撥】本題主要考查利用導數研究函數的單調性與最值，考查利用導數研究函數恒成立問題，考查推理能力與計算能力，考查轉化與化歸思想與分類討論思想，多次求導是解決本題的關鍵，屬于難題．19、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

(1)求出,設，求,由的單調性及零點存在定理說明在區(qū)間上存在唯一零點,即證得在上存在唯一零點.(2)將恒成立問題,轉化為函數的最值問題,利用導數研究函數的單調性,從而求得最值即可.【題目詳解】（1）證明：設，則，．令，則．∵當時，，則為增函數，且，，∴存在，使得，∴當時，；當時，．即在上單調遞減，在上單調遞增．又∵，，∴在區(qū)間上存在唯一零點，即在區(qū)間上存在唯一零點．（2）解：當時，；當時，．設，，即，∵，∴，∴在上單調遞減，∴，∴．綜上所述，的取值范圍為．【題目點撥】本題考查導數的運算、零點存在性定理的應用,以及利用導數證明不等式恒成立問題,難度較大.20、（1）或4；（2）；（3）【解題分析】

（1）根據復數為實數條件列方程解得結果，（2）根據純虛數定義列式求解，（3）根據復數幾何意義列不等式解得結果【題目詳解】（1）因為復數為實數，所以，所以或4；（2）因為復數為