河北省徐水縣大因鎮(zhèn)第三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

河北省徐水縣大因鎮(zhèn)第三中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，則函數(shù)的圖像可能是()A． B． C． D．2．關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是()A．是周期函數(shù)，周期為 B．關(guān)于直線對稱C．在上是單調(diào)遞減的 D．在上最大值為3．某中學(xué)高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．74254．已知實數(shù)，滿足，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．5．已知有相同兩焦點F1、F2的橢圓+y2=1和雙曲線-y2=1，P是它們的一個交點，則ΔF1PF2的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍有三角形 D．等腰三角形6．某同學(xué)將收集到的六組數(shù)據(jù)制作成散點圖如圖所示，并得到其回歸直線的方程為l1:y=0.68x+a，計算其相關(guān)系數(shù)為r1，相關(guān)指數(shù)為R12.經(jīng)過分析確定點F為“離群點”，把它去掉后，再利用剩下的5組數(shù)據(jù)計算得到回歸直線的方程為l2A．r1>0,C．a(chǎn)=0.12 D．7．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則()A． B． C． D．8．已知函數(shù),若是函數(shù)唯一的極值點,則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．9．已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意的，均有.當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．10．已知點P在直徑為2的球面上，過點P作球的兩兩相互垂直的三條弦PA，PB，PC，若，則的最大值為A． B．4 C． D．311．已知曲線和曲線圍成一個葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．12．已知函數(shù)在上單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．命題“”為假命題，則實數(shù)的取值范圍是.14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的為1，則輸入的的值等于_________．15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，b＝2，若滿足條件的△ABC有且僅有一個，則a的取值范圍是_____．16．設(shè)等差數(shù)列的前項和為.若，則______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）把圓分成個扇形，設(shè)用4種顏色給這些扇形染色，每個扇形恰染一種顏色，并且要求相鄰扇形的顏色互不相同，設(shè)共有種方法.(1)寫出，的值；(2)猜想，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．18．（12分）若．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意，關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．19．（12分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）證明：在上存在唯一零點．（2）若，恒成立，求的取值范圍．20．（12分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中）.（1）若復(fù)數(shù)為實數(shù)，求的值；（2）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求的值；（3）對應(yīng)的點在第四象限，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=1+255ty=1+55t（t為參數(shù)），以（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）點P1,1，直線l與曲線C交于A,B兩點，若PA?PB22．（10分）已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓相交于，兩點，若，試用表示.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和，確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．【題目詳解】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選：D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的圖象與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】分析：利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判定，即可得到答案．詳解：令，對于A中，因為函數(shù)不是周期函數(shù)，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，所以是錯誤的；對于B中，因為，所以點與點關(guān)于直線對稱，又，所以，所以的圖象不關(guān)于對稱，所以是錯誤的；對于C中，當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以是正確的；對于D中，時，，所以是錯誤的，綜上可知，正確的為選項C，故選C．點睛：本題主要考查了正弦函數(shù)的對稱性、周期性、單調(diào)性及其函數(shù)的最值問題，其中熟記正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，合理運算是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了綜合分析與應(yīng)用能力，以及推理與運算能力，試題有一定難度，屬于中檔試題．3、A【解題分析】

根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，然后分析剩余的4個班級的監(jiān)考方案，計算可得其情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【題目詳解】某中學(xué)高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監(jiān)考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監(jiān)考，首先確定8個是自己的班主任老師監(jiān)考的班級，有種，而剩余的4個班級全部不能有本班的班主任監(jiān)考，有種；由分步計數(shù)原理可得，共種不同的方案；故選：A.【題目點撥】本題解題關(guān)鍵是掌握分步計數(shù)原理和組合數(shù)計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.4、C【解題分析】

設(shè)，，則，對進(jìn)行平方展開化簡得，代入得，兩式相加即可.【題目詳解】設(shè)，，則且，等式兩邊同時平方展開得：，即令等式中，化簡后可得：兩式相加可得故選：C【題目點撥】本題考查了代數(shù)式的計算化簡求值，考查了換元法，屬于中檔題5、B【解題分析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義：又；故選B6、B【解題分析】

根據(jù)相關(guān)性的正負(fù)判斷r1和r2的正負(fù)，根據(jù)兩個模型中回歸直線的擬合效果得出R12和R2【題目詳解】由圖可知兩變量呈現(xiàn)正相關(guān)，故r1>0,r2>0故A正確，B不正確.又回歸直線l1:y=0.68x+a必經(jīng)過樣本中心點(3.5,2.5)，所以a=2.5-0.68×3.5=0.12回歸直線l2:y=bx+0.68必經(jīng)過樣本中心點所以b=0.44，也可直接根據(jù)圖象判斷0<b<0.68（比較兩直線的傾斜程度），故D【題目點撥】本題考查回歸分析，考查回歸直線的性質(zhì)、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)指數(shù)的特點，意在考查學(xué)生對這些知識點的理解，屬于中等題。7、C【解題分析】由，得，則，故選C.8、A【解題分析】分析：由的導(dǎo)函數(shù)形式可以看出，需要對k進(jìn)行分類討論來確定導(dǎo)函數(shù)為0時的根.詳解：函數(shù)的定義域是，，是函數(shù)唯一的極值點,是導(dǎo)函數(shù)的唯一根，在無變號零點，即在上無變號零點，令，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，的最小值為，必須.故選A.點睛：本題考查由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)確定極值問題，對參數(shù)需要進(jìn)行討論.9、C【解題分析】

由f（x）=1﹣f（1﹣x），得f（1）=1，確定f（）=，利用f（x）是奇函數(shù)，即可得出結(jié)論．【題目詳解】由f（x）=1﹣f（1﹣x），得f（1）=1，令x=，則f（）=，∵當(dāng)x∈[0，1]時，2f（）=f（x），∴f（）=f（x），即f（）=f（1）=，f（）=f（）=14，f（）=f（）=14，∵＜＜，∵對任意的x1，x2∈[﹣1，1]，均有（x2﹣x1）（f（x2）﹣f（x1））≥0∴f（）=，同理f（）=…=f（﹣）=f（）=．∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（﹣）+f（﹣）+…+f（﹣）+f（﹣）=﹣[f（﹣）+f（）+…+f（）+f（）]=﹣，故選：C．【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查函數(shù)值的計算，屬于中檔題．10、A【解題分析】

由題意得出，設(shè)，，利用三角函數(shù)輔助角公式可得出的最大值.【題目詳解】由于、、是直徑為的球的三條兩兩相互垂直的弦，則，所以，設(shè)，，，其中為銳角且，所以，的最大值為，故選A.【題目點撥】本題考查多面體的外接球，考查棱長之和的最值，在直棱柱或直棱錐的外接球中，若其底面外接圓直徑為，高為，其外接球的直徑為，則，充分利用這個模型去解題，可簡化計算，另外在求最值時，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角換元的思想來求解．11、D【解題分析】

先作出兩個函數(shù)的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數(shù)的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.12、D【解題分析】

求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在上單調(diào)，得出或在上恒成立，分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解。【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，因為，在上單調(diào)，所以①當(dāng)在上恒成立時，在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，則在上恒成立，令，，則在為增函數(shù)，∴．②當(dāng)在上恒成立時，在上單調(diào)遞減，即在上恒成立，則在上恒成立，同①可得，綜上，可得或．故選：D．【題目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值問題，用到了分離參數(shù)法求參數(shù)的范圍，恒成立問題的處理及轉(zhuǎn)化與化歸思想是本題的靈魂，著重考查了推理與運算能力，屬于偏難題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】試題分析：由題意可得命題:,為真命題.所以,解得.考點：命題的真假.14、2或【解題分析】

根據(jù)程序框圖，討論和兩種情況，計算得到答案.【題目詳解】當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故，解得或（舍去）.故答案為：2或.【題目點撥】本題考查了程序框圖，意在考查學(xué)生的計算能力和理解能力.15、a或0＜a≤2【解題分析】

先根據(jù)求得，結(jié)合正弦定理及解的個數(shù)來確定a的取值范圍.【題目詳解】因為，所以，由于在三角形中，所以，即，因為，所以.由正弦定理可得，因為滿足條件的△ABC有且僅有一個，所以或者，所以或者.【題目點撥】本題主要考查利用三角形解的個數(shù)求解參數(shù)的范圍，三角形解的個數(shù)一般可以利用幾何法或者代數(shù)法來求解，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16、65【解題分析】

由可得，再由等差數(shù)列的求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得結(jié)果.【題目詳解】在等差數(shù)列中，由，可得，即，即，，故答案為65.【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.解答等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項和的關(guān)系.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）見解析【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，得；（2）分析可得，用用數(shù)學(xué)歸納法證明即可詳解：（1）（2）．當(dāng)時，首先，對于第1個扇形，有4種不同的染法，由于第2個扇形的顏色與的顏色不同，所以，對于有3種不同的染法，類似地，對扇形，…，均有3種染法．對于扇形，用與不同的3種顏色染色，但是，這樣也包括了它與扇形顏色相同的情況，而扇形與扇形顏色相同的不同染色方法數(shù)就是，于是可得猜想當(dāng)時，左邊，右邊，所以等式成立假設(shè)時，，則時，即時，等式也成立綜上點睛：本題考查考查歸納分析能力，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬中檔題．18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）求導(dǎo)得，再分成、、、四種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，，得單調(diào)性，則，由（1）可得，則，令，求導(dǎo)，令，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，由此可以求出答案．【題目詳解】解：（1），①當(dāng)時，令則，令，則，∴在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，令，則或，令，則，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，令則或，令則，∴在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）當(dāng)時，，設(shè)，，∴在上遞增，，∴，由（1）知在上遞減，在上遞增，∴，∴，令，則，令，，當(dāng)時，，故在上遞減，∴，∴，∴在上遞增，∵，∴．【題目點撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問題，考查推理能力與計算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想與分類討論思想，多次求導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵，屬于難題．19、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

(1)求出,設(shè)，求,由的單調(diào)性及零點存在定理說明在區(qū)間上存在唯一零點,即證得在上存在唯一零點.(2)將恒成立問題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得最值即可.【題目詳解】（1）證明：設(shè)，則，．令，則．∵當(dāng)時，，則為增函數(shù)，且，，∴存在，使得，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，．即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又∵，，∴在區(qū)間上存在唯一零點，即在區(qū)間上存在唯一零點．（2）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，．設(shè)，，即，∵，∴，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴．綜上所述，的取值范圍為．【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算、零點存在性定理的應(yīng)用,以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立問題,難度較大.20、（1）或4；（2）；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)復(fù)數(shù)為實數(shù)條件列方程解得結(jié)果，（2）根據(jù)純虛數(shù)定義列式求解，（3）根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義列不等式解得結(jié)果【題目詳解】（1）因為復(fù)數(shù)為實數(shù)，所以，所以或4；（2）因為復(fù)數(shù)為