內(nèi)蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟太仆寺旗寶昌鎮(zhèn)第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟太仆寺旗寶昌鎮(zhèn)第一中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（）A． B． C． D．2．如圖，在菱形ABCD中，，線段AD，BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K．現(xiàn)將繞對(duì)角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角A－BD－C的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)過程中有（）A． B． C． D．3．設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，給出以下命題：（1）若為互斥事件，且，，則；（2）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（3）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（4）若，，，則為相互獨(dú)立事件；（5）若，，，則為相互獨(dú)立事件；其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．44．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(2－x)f′(x)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A．函數(shù)f(x)有極大值f(1)和極小值f(－1)B．函數(shù)f(x)有極大值f(1)和極小值f(2)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)D．函數(shù)f(x)有極大值f(－1)和極小值f(2)5．已知為定義在上的奇函數(shù)，且滿足，則的值為()A． B． C． D．6．小趙、小錢、小孫、小李到個(gè)景點(diǎn)旅游，每人只去一個(gè)景點(diǎn)，設(shè)事件“個(gè)人去的景點(diǎn)彼此互不相同”，事件“小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)”，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則對(duì)任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．8．設(shè)隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．9．甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加假期社區(qū)服務(wù)活動(dòng),社區(qū)服務(wù)活動(dòng)共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測(cè)、教育咨詢、交通宣傳等四個(gè)項(xiàng)目,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事件A為4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”,事件B為“只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”,則P(B|A)=（）A．14 B．34 C．210．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．11．若，則A．10 B．15 C．30 D．6012．設(shè)a＝log54，b＝（log53）2，c＝log45，則（）A．a(chǎn)＜c＜b B．b＜c＜a C．a(chǎn)＜b＜c D．b＜a＜c二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則____．14．如圖，在正三棱柱中，已知它的底面邊長(zhǎng)為10，高為20，若P、Q分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為_________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．15．已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則這兩條平行直線之間的距離是．16．若對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）近來國(guó)內(nèi)一些互聯(lián)網(wǎng)公司為了贏得更大的利潤(rùn)、提升員工的奮斗姿態(tài)，要求員工實(shí)行“996”工作制，即工作日早9點(diǎn)上班，晚上21點(diǎn)下班，中午和傍晚最多休息1小時(shí)，總計(jì)工作10小時(shí)以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期間還不能請(qǐng)假，也沒有任何補(bǔ)貼和加班費(fèi).消息一出，社交媒體一片嘩然，有的人認(rèn)為這是違反《勞動(dòng)法》的一種對(duì)員工的壓榨行為，有的人認(rèn)為只有付出超越別人的努力和時(shí)間，才能夠?qū)崿F(xiàn)想要的成功，這是提升員工價(jià)值的一種有效方式.對(duì)此，國(guó)內(nèi)某大型企業(yè)集團(tuán)管理者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)在公司內(nèi)部實(shí)行“996”工作制，但應(yīng)該給予一定的加班補(bǔ)貼（單位：百元），對(duì)于每月的補(bǔ)貼數(shù)額集團(tuán)人力資源管理部門隨機(jī)抽取了集團(tuán)內(nèi)部的1000名員工進(jìn)行了補(bǔ)貼數(shù)額（單位：百元）期望值的網(wǎng)上問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為員工的加班補(bǔ)貼服從正態(tài)分布，若該集團(tuán)共有員工40000人，試估計(jì)有多少員工期待加班補(bǔ)貼在8100元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中期望補(bǔ)貼數(shù)額在范圍內(nèi)的8名員工中有5名男性，3名女性，現(xiàn)選其中3名員工進(jìn)行消費(fèi)調(diào)查，記選出的女職員人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若，則，，.18．（12分）某中學(xué)高中畢業(yè)班的三名同學(xué)甲、乙、丙參加某大學(xué)的自主招生考核，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次.若考核為合格，則給予分的降分資格；若考核為優(yōu)秀，則給予分的降分資格.假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨(dú)立.（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)所得降分之和為隨機(jī)變量，請(qǐng)寫出所有可能的取值，并求的值.19．（12分）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.20．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=x2（x-1）．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值和最小值．22．（10分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（I）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（II）求直線與曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】試題分析：由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式得，第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.2、B【解題分析】

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何體，表示和，轉(zhuǎn)化為在兩個(gè)有公共底邊的等腰三角形比較頂角的問題，還需考慮和兩種特殊情況.【題目詳解】如圖，繞旋轉(zhuǎn)形成以圓為底面的兩個(gè)圓錐，(為圓心，為半徑，為的中點(diǎn))，，，當(dāng)且時(shí)，與等腰中，為公共邊，，,.當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,綜上，。C.D選項(xiàng)比較與的大小關(guān)系，如圖即比較與的大小關(guān)系，根據(jù)特殊值驗(yàn)證：又當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，，都不正確.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二面角的相關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力，難度較大，本題的難點(diǎn)是在動(dòng)態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，如何轉(zhuǎn)化和，從而達(dá)到比較的目的，或考查和兩種特殊情況，可快速排除選項(xiàng).3、D【解題分析】

根據(jù)互斥事件的加法公式，易判斷（1）的正誤；根據(jù)相互對(duì)立事件的概率和為1，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率滿足，可判斷（2）、（3）、（4）、（5）的正誤.【題目詳解】若為互斥事件，且，則，故（1）正確；若則由相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（2）正確；若，則由對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（3）正確；若，當(dāng)為相互獨(dú)立事件時(shí)，故（4）錯(cuò)誤；若則由對(duì)立事件概率計(jì)算公式和相互獨(dú)立事件乘法公式知為相互獨(dú)立事件，故（5）正確.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查互斥事件、對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】由函數(shù)y＝(2－x)f′(x)的圖像可知，方程f′(x)＝0有兩個(gè)實(shí)根x＝－1，x＝1，且在(－∞，－1)上f′(x)<0，在(－1，1)上f′(x)>0，在(1，2)上f′(x)<0，在(2，＋∞)上f′(x)<0.所以函數(shù)f(x)有極大值f(1)和極小值f(－1)．5、A【解題分析】

由已知求得函數(shù)的周期為4，可得f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．【題目詳解】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（﹣x）＝f（2+x），又f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，∴f（2+x）＝﹣f（x），則f[2+（2+x）]＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），即f（4+x）＝f（x），∴f（x）為以4為周期的周期函數(shù)，由f（1+x）＝f（1﹣x），得f（2）＝f（1）＝1，∴f（11）＝f（2+8）＝f（2）＝1．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．6、D【解題分析】分析：這是求小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的前提下，4

個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的概率，求出相應(yīng)基本事件的個(gè)數(shù)，即可得出結(jié)論．詳解：小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)，則有3個(gè)景點(diǎn)可選，其余3人只能在小趙剩下的3個(gè)景點(diǎn)中選擇，可能性為種

所以小趙獨(dú)自去一個(gè)景點(diǎn)的可能性為種

因?yàn)?

個(gè)人去的景點(diǎn)不相同的可能性為種，

所以．

故選：D．點(diǎn)睛：本題考查條件概率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定基本事件的個(gè)數(shù)是關(guān)鍵．7、A【解題分析】

，可得在上是偶函數(shù).函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：，在上是偶函數(shù).函數(shù)，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.8、A【解題分析】

根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，先求出，再依二項(xiàng)分布的期望公式求出結(jié)果【題目詳解】，即，所以，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望公式，記準(zhǔn)公式是解題的關(guān)鍵．9、A【解題分析】

確定事件AB，利用古典概型的概率公式計(jì)算出PAB和PA，再利用條件概型的概率公式可計(jì)算出P【題目詳解】事件AB為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同且只有甲同學(xué)一人報(bào)關(guān)懷老人項(xiàng)目”，則PAB=A334【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概型概率的計(jì)算，考查條件概率公式的理解和應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，屬于中等題。10、D【解題分析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】,,根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a>c,,又因?yàn)?，，再由?duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．【題目點(diǎn)撥】考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．比較兩數(shù)的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性得到結(jié)果.11、B【解題分析】

分析：由于，與已知對(duì)比可得的值1．詳解：由于，與已知對(duì)比可得故選B.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，觀察分析得到是關(guān)鍵，考查分析與轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．12、D【解題分析】

∵a＝log54＜log55＝1，b＝（log53）2＜（log55）2＝1，c＝log45＞log44＝1，所以c最大單調(diào)增，所以又因?yàn)樗詁<a所以b<a<c.故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S1．【題目詳解】∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=0，a6+a1=2，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S1=1a1+=﹣28+42=2．故答案為：2．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的前1項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．14、；【解題分析】

作出兩異面直線所成的角，然后在三角形求解．【題目詳解】取中點(diǎn)，連接，∵是中點(diǎn)，∴，∴異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角．在正三棱柱中，，則，，∴，，，∴，∴異面直線與所成的角的余弦為，角的大小為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是作出兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形得出結(jié)論．方法是根據(jù)定義，平移其中一條直線使之與另一條相交，則異面直線所成的角可確定．平行線常常通過中位線、或者線面平行的性質(zhì)定理等得出．15、【解題分析】因?yàn)橹本€ax+y+2=0與雙曲線的一條漸近線y=x平行，所以-a=2，(或者-a=-2),則a=-2,(a=2,)假設(shè)a=2,則利用平行線間距離公式解得為16、【解題分析】

當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立等價(jià)于恒成立，運(yùn)用基本不等式可得的最小值，從而可得的范圍．【題目詳解】當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，不等式恒等價(jià)于恒成立，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取得等號(hào)，即有最小值，所以，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式恒成立問題、分類討論思想和分離參數(shù)的應(yīng)用以及基本不等式求最值，屬于中檔題．不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）約為百元；（2）估計(jì)有920名員工；（3）分布列見解析，【解題分析】

（1）樣本的中位數(shù)為，根據(jù)中位數(shù)兩側(cè)的頻率相等列出方程，可得答案；（2）由近似地認(rèn)為員工的加班補(bǔ)貼服從正態(tài)分布，可得，由正態(tài)分布計(jì)算對(duì)照題中所給數(shù)據(jù)可得答案.（3）由題意，的可能取值為，分別計(jì)算出其概率，列出其分布列，可得數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：（1）設(shè)樣本的中位數(shù)為，則，解得，所以所得樣本的中位數(shù)約為百元.（2），由題意：期待加班補(bǔ)貼在8100元以上的概率為，，所以估計(jì)有920名員工期待加班補(bǔ)貼在8100元以上.（3）由題意，的可能取值為.又因?yàn)?，，，，的分布列?(或者答：服從的超幾何分布，則）【題目點(diǎn)撥】本題主要考查正態(tài)分布的相關(guān)知識(shí)及離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于中檔題，注意運(yùn)算準(zhǔn)確.18、（1）；（2）所有可能的取值為、、、，.【解題分析】

（1）計(jì)算出三名同學(xué)考核均為合格的概率，利用對(duì)立事件的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率；（2）根據(jù)題意得出所有可能的取值為、、、，利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式和互斥事件概率計(jì)算公式能求出．【題目詳解】（1）由題意知，三名同學(xué)考核均為合格的概率為，因此，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率為；（2）由題意知，隨機(jī)變量的所有可能取值有、、、，則，，.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、對(duì)立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中等題．19、（Ⅰ）（Ⅱ）猜想證明見解析【解題分析】分析：（1）直接給n取值求出，，.(2)猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.詳解：（Ⅰ）令，則，又，解得；令，則，解得；令，則，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.由（Ⅰ）可知當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，，則.那么當(dāng)時(shí)，，由，所以，又，所以，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和基本計(jì)算能力.(2)數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明當(dāng)n=1時(shí)，命題成立。②證明假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.由①②得原命題成立.20、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）先求函數(shù)定義域，由導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；（2）由題意可得即證lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的單調(diào)性可得lnx＜x﹣1；設(shè)F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出單調(diào)性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；【題目詳解】（1）由題設(shè)，的定義域?yàn)椋?，令，解得．?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．（2）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，，即為lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）＝l