2024屆江蘇省重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆江蘇省重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)M（0，4）的距離之和的最小值為，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為A． B． C． D．2．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為()A．－15 B．16 C．15 D．－163．已知，，，，且滿足，，，對(duì)于，，，四個(gè)數(shù)的判斷，給出下列四個(gè)命題：①至少有一個(gè)數(shù)大于1；②至多有一個(gè)數(shù)大于1；③至少有一個(gè)數(shù)小于0；④至多有一個(gè)數(shù)小于0.其中真命題的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③4．某學(xué)校有2200名學(xué)生,現(xiàn)采用系統(tǒng)抽樣方法抽取44人,將2200人按1,2,…,2200隨機(jī)編號(hào),則抽取的44人中,編號(hào)落在[101,500]的人數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．105．若α是第一象限角，則sinα+cosα的值與1的大小關(guān)系是（）A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能確定6．若，，如果與為共線向量，則（）A．， B．，C．， D．，7．“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣．為了測算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積，作一個(gè)邊長為5的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲1000個(gè)點(diǎn)，己知恰有400個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是A．2 B．3 C．10 D．158．已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，若也與函數(shù)，的圖象相切，則必滿足（）A． B．C． D．9．函數(shù)f(x)＝ex－3x－1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的圖象大致是()A．B．C．D．10．設(shè)有個(gè)不同顏色的球，放入個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)球，則不同的放法有（）A．種 B．種C．種 D．種11．如圖，點(diǎn)分別在空間直角坐標(biāo)系的三條坐標(biāo)軸上，，平面的法向量為，設(shè)二面角的大小為，則()．A． B． C． D．12．若如下框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)中僅有一人申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試，當(dāng)他們被問到誰申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試時(shí)，甲說：“丙或丁申請(qǐng)了”；乙說：“丙申請(qǐng)了”；丙說：“甲和丁都沒有申請(qǐng)”；丁說：“乙申請(qǐng)了”，如果這四位同學(xué)中只有兩人說的是對(duì)的，那么申請(qǐng)了北京大學(xué)的自主招生考試的同學(xué)是______．14．已知函數(shù)，若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．15．已知方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)__________；16．已知直線過點(diǎn)，且它的一個(gè)方向向量為，則原點(diǎn)到直線的距離為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在的下方．18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，與曲線相交于點(diǎn)，且（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)，求證點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值.19．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，，求.20．（12分）在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑板寫道：摸球方法：從袋中隨機(jī)摸出3個(gè)球，若摸得同一顏色的3個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的3個(gè)球，摸球者付給攤主1元錢.（1）摸出的3個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？?）摸出的3個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球1個(gè)白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸獎(jiǎng)，試從概率的角度估算一下這個(gè)攤主一個(gè)月（按30天計(jì)）能賺多少錢？21．（12分）已知函數(shù)在處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．22．（10分）已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心位于軸正半軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長為，圓的面積小于13.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，，以，為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程：如果不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由拋物線的定義將到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離，到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)M（0，4）的距離之和的最小值，也即為最小，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值．所以，解得，由內(nèi)切圓的面積公式，解得．故選D．2、B【解題分析】

把按照二項(xiàng)式定理展開，可得的展開式中的常數(shù)項(xiàng)．【題目詳解】∵（）?（1），故它的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是1+15=16故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，項(xiàng)的系數(shù)的性質(zhì)，熟記公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

根據(jù)對(duì)，，，取特殊值，可得②，④不對(duì)，以及使用反證法，可得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)，時(shí)，滿足條件，故②，④為假命題；假設(shè)，由，，得，則，由，所以矛盾，故①為真命題，同理③為真命題．故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查反證法，正所謂“正難則反”，熟練掌握反證法的證明方法，屬基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】

先求出每一個(gè)小組的人數(shù)，再求編號(hào)落在[101,500]的人數(shù).【題目詳解】每一個(gè)小組的人數(shù)為220044所以編號(hào)落在[101,500]的人數(shù)為500-10050故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查系統(tǒng)抽樣，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】試題分析：設(shè)角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，得出結(jié)論．解：如圖所示：設(shè)角α的終邊為OP，P是角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)，PM垂直于x軸，M為垂足，則由任意角的三角函數(shù)的定義，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，故選A．考點(diǎn)：三角函數(shù)線．6、B【解題分析】

利用向量共線的充要條件即可求出．【題目詳解】解：與為共線向量，存在實(shí)數(shù)使得，，解得．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】

根據(jù)古典概型概率公式以及幾何概型概率公式分別計(jì)算概率，解方程可得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)陰影部分的面積是s，由題意得4001000=【題目點(diǎn)撥】(1)當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解．(2)利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．8、D【解題分析】

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，圖像在點(diǎn)處的切線的斜率為，切線方程為，即，設(shè)切線與相切的切點(diǎn)為，，由的導(dǎo)數(shù)為，切線方程為，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上單調(diào)遞增，且，，所以有的根，故選D.9、D【解題分析】由題意，知f(0)＝0，且f′(x)＝ex－3，當(dāng)x∈(－∞，ln3)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(ln3，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，ln3)上單調(diào)遞減，在(ln3，＋∞)上單調(diào)遞增，結(jié)合圖象知只有選項(xiàng)D符合題意，故選D.10、D【解題分析】

要求每個(gè)盒子中至少有一個(gè)球，可將兩個(gè)顏色的球捆綁在一起．再全排列．【題目詳解】將兩個(gè)顏色的球捆綁在一起，再全排列得選D【題目點(diǎn)撥】將兩個(gè)顏色的球捆綁在一起．再全排列．本題為選擇題還可取特值：令n=1,只有一種放法，排除AB，令n=2有6中放法，選D11、C【解題分析】由題意可知，平面的一個(gè)法向量為：，由空間向量的結(jié)論可得：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)本題求解時(shí)關(guān)鍵是結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行空間聯(lián)想，抓住條件有目的推理論證.(2)利用空間向量求線面角有兩種途徑：一是求斜線和它在平面內(nèi)射影的方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；二是借助平面的法向量．12、D【解題分析】分析：根據(jù)賦值框中對(duì)累加變量和循環(huán)變量的賦值，先判斷后執(zhí)行，假設(shè)滿足條件，依次執(zhí)行循環(huán)，到累加變量S的值為35時(shí)，再執(zhí)行一次k=k+1，此時(shí)判斷框中的條件不滿足，由此可以得到判斷框中的條件．詳解：框圖首先給累加變量S賦值1，給循環(huán)變量k賦值1．判斷1＞6，執(zhí)行S=1+1=11，k=1﹣1=9；判斷9＞6，執(zhí)行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判斷8＞6，執(zhí)行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判斷7＞6，執(zhí)行S=28+7=35，k=6；判斷6≤6，輸出S的值為35，算法結(jié)束．所以判斷框中的條件是k＞6？．故答案為:D.點(diǎn)睛：本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了當(dāng)型循環(huán)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時(shí)，算法結(jié)束，此題是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、乙【解題分析】

先假設(shè)甲乙丙丁中一個(gè)人說的是對(duì)的.然后再逐個(gè)去判斷其他三個(gè)人的說法.最后看是否滿足題意，不滿足排除．【題目詳解】解：先假設(shè)甲說的對(duì)，即甲或乙申請(qǐng)了.但申請(qǐng)人只有一個(gè)，(1)如果是甲，則乙說“丙申請(qǐng)了”就是錯(cuò)的，丙說“甲和丁都沒申請(qǐng)”就是錯(cuò)的，丁說“乙申請(qǐng)了”也是錯(cuò)的，這樣三個(gè)錯(cuò)的，不能滿足題意，故甲沒申請(qǐng).(2)如果是乙，則乙說“丙申請(qǐng)了”就是錯(cuò)的，丙說“甲和丁都沒申請(qǐng)”可以理解為申請(qǐng)人有可能是乙，丙，戊，但是不一定是乙，故說法不對(duì)，丁說“乙申請(qǐng)了”也是對(duì)的，這樣說的對(duì)的就是兩個(gè)是甲和丁.滿足題意．故答案為：乙．【題目點(diǎn)撥】本題考查了合情推理的應(yīng)用，屬于中檔題．14、【解題分析】分析：若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，等價(jià)為方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，由于當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)根，則當(dāng)時(shí)，方程存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論.詳解：若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，等價(jià)為方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，，解得，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)根.當(dāng)時(shí)，方程存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，即.設(shè)，，令，解得，當(dāng)，解得，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，解得，在上單調(diào)遞減；又，，存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，.故答案為.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大.15、【解題分析】

首先設(shè)方程的實(shí)根為，代入整理為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式，利用實(shí)部和虛部都為0，求得實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為，則所以，解得：，.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，求參數(shù)的取值范圍，重點(diǎn)考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.16、【解題分析】

求出直線的方程，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式可求出原點(diǎn)到直線的距離.【題目詳解】由于直線的一個(gè)方向向量為，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，因此，原點(diǎn)到直線的距離為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線距離的計(jì)算，同時(shí)也考查了直線方向向量的應(yīng)用，解題時(shí)要根據(jù)題中條件得出直線的斜率，并寫出直線的方程，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的最小值是，最大值是；（2）證明詳見解析.【解題分析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)恒大于零，即得函數(shù)單調(diào)遞增，最后根據(jù)單調(diào)性確定最值，（2）先作差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)最值，根據(jù)最大值小于零得證結(jié)論.試題解析：(1)因?yàn)閒(x)＝x2＋lnx，所以因?yàn)閤>1時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)證明：令，所以因?yàn)閤>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)，所以.所以f(x)<g(x)．所以當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在的下方．18、(1)；(2)證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線定義得，再根據(jù)點(diǎn)N坐標(biāo)列方程，解得結(jié)果，（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再根據(jù)切線方程解得A點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后利用直線與方程聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理化簡的縱坐標(biāo).【題目詳解】解：（1）由已知拋物線的焦點(diǎn)，由，得，即因?yàn)辄c(diǎn)，所以，所以拋物線方程：（2）拋物線的焦點(diǎn)為設(shè)過拋物線的焦點(diǎn)的直線為．設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為，由消去得：,根據(jù)韋達(dá)定理得拋物線,即二次函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得，所以拋物線在點(diǎn)處的切線斜率為可得切線方程為，化簡得，同理，得到拋物線在點(diǎn)處切線方程為，兩方程消去，得兩切線交點(diǎn)縱坐標(biāo)滿足,，，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線方程、拋物線切線方程以后利用韋達(dá)定理求值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、（1）x+y-1=0,；（2）.【解題分析】

（1）由直線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可得到普通方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，可將化為直角坐標(biāo)方程；（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，再設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，根據(jù)韋達(dá)定理，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）直線的普通方程為由，得，則，故曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）將,代人，得，設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則，故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化，以及極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于常考題型.20、（3）3．35；（4）3．45；（4）3433.【解題分析】

（3）先列舉出所有的事件共有43種結(jié)果，摸出的4個(gè)球?yàn)榘浊蛑挥幸环N結(jié)果，根據(jù)概率公式得到要求的概率，本題應(yīng)用列舉來解，是一個(gè)好方法；（4）先列舉出所有的事件共有43種結(jié)果，摸出的4個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球4個(gè)白球從前面可以看出共有9種結(jié)果種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到要求的概率；（4）先列舉出所有的事件共有43種結(jié)果，根據(jù)摸得同一顏色的4個(gè)球，攤主送給摸球者5元錢；若摸得非同一顏色的4個(gè)球，摸球者付給攤主3元錢，算一下摸出的球是同一色球的概率，估計(jì)出結(jié)果.【題目詳解】把4只黃色乒乓球標(biāo)記為A、B、C，4只白色的乒乓球標(biāo)記為3、4、4．從6個(gè)球中隨機(jī)摸出4個(gè)的基本事件為：ABC、AB3、AB4、AB4、AC3、AC4、AC4、A34、A34、A44、BC3、BC4、BC4、B34、B34、B44、C34、C34、C44、344，共43個(gè).(3)事件E={摸出的4個(gè)球?yàn)榘浊騷，事件E包含的基本事件有3個(gè)，即摸出344號(hào)4個(gè)球，P（E）==3．35.(4)事件F={摸出的4個(gè)球?yàn)?個(gè)黃球3個(gè)白球}，事件F包含的基本事件有9個(gè)，P（F）==3．45.（4）事件G={摸出的4個(gè)球?yàn)橥活伾珆={摸出的4個(gè)球?yàn)榘浊蚧蛎龅?個(gè)球?yàn)辄S球}，P（G）==3．3，假定一天中有333人次摸獎(jiǎng)，由摸出的4個(gè)球?yàn)橥活伾母怕士晒烙?jì)事件G發(fā)生有33次，不發(fā)生93次．則一天可賺，每月可賺3433元．考點(diǎn)：3．互斥事件的概率加法公式；4．概率的意義21、(1)；(2)．【解題分析】

（Ⅰ）函數(shù)，對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，在處取得極值，可得，求得值；

（Ⅱ）由知，得令則關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，