重慶市七校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

重慶市七校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)，且，則的最小值為（）A． B．9 C．10 D．02．如圖，在△中,,是上的一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C． D．3．在用數(shù)學(xué)歸納法證明:“凸多邊形內(nèi)角和為”時(shí)，第一步驗(yàn)證的等于（）A．1 B．3 C．5 D．74．設(shè)A、B是非空集合，定義：且.已知，，則等于（）A． B． C． D．5．五個(gè)人站成一排，其中甲乙相鄰的站法有（）A．18種 B．24種 C．48種 D．36種6．等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則()A．8 B．10 C．12 D．147．已知函數(shù)，，若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的范圍是()A． B．C． D．8．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，為的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切于點(diǎn)，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．49．給出下列三個(gè)命題:命題1：存在奇函數(shù)和偶函數(shù),使得函數(shù)是偶函數(shù)；命題2：存在函數(shù)、及區(qū)間，使得、在上均是增函數(shù),但在上是減函數(shù)；命題3：存在函數(shù)、（定義域均為），使得、在處均取到最大值，但在處取到最小值.那么真命題的個(gè)數(shù)是()．A． B． C． D．10．中，角、、的對邊分別為，，，若，三角形面積為，，則()A．7 B．8 C．5 D．611．設(shè),若,則()A．-1 B．0 C．1 D．25612．若某校研究性學(xué)習(xí)小組共6人，計(jì)劃同時(shí)參觀科普展，該科普展共有甲，乙，丙三個(gè)展廳，6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在每個(gè)展廳參觀一小時(shí)后去其他展廳，所有展廳參觀結(jié)束后集合返回，設(shè)事件A為：在參觀的第一小時(shí)時(shí)間內(nèi)，甲，乙，丙三個(gè)展廳恰好分別有該小組的2個(gè)人；事件B為：在參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人，則（）．A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機(jī)變量，則的值為__________．14．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則__________．15．已知……根據(jù)以上等式，可猜想出的一般結(jié)論是____．16．若從甲乙丙丁4位同學(xué)中選出3位同學(xué)參加某個(gè)活動(dòng)，則甲被選中的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)在圓上，動(dòng)線段的中點(diǎn)的軌跡為，與直線交點(diǎn)為，且直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求點(diǎn)的直角坐標(biāo).18．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線在處的切線方程；（2）若方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的值.19．（12分）已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件需另投入萬元．設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該品牌服裝千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且.（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）20．（12分）已知，:,:．（I）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）若，“或”為真命題，“且”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍21．（12分）已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.22．（10分）已知，不等式的解集為.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用柯西不等式得出最小值．【題目詳解】（x2）（y2）≥（x）2＝1．當(dāng)且僅當(dāng)xy即xy=時(shí)取等號．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了柯西不等式的應(yīng)用，熟記不等式準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

先根據(jù)共線關(guān)系用基底表示，再根據(jù)平面向量基本定理得方程組解得實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】如下圖，∵三點(diǎn)共線，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，對比①，②，由平面向量基本定理可得：．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.3、B【解題分析】

多邊形的邊數(shù)最少是，即三角形，即可得解；【題目詳解】解：依題意，因?yàn)槎噙呅蔚倪厰?shù)最少是，即三角形，用數(shù)學(xué)歸納法證明:“凸多邊形內(nèi)角和為”時(shí)，第一步驗(yàn)證的等于時(shí)，是否成立，故選：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的基本原理，屬于簡單題.用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論成立時(shí)，需要驗(yàn)證時(shí)成立，然后假設(shè)假設(shè)時(shí)命題成立，證明時(shí)命題也成立即可，對于第一步，要確定，其實(shí)就是確定是結(jié)論成立的最小的.4、A【解題分析】求出集合中的函數(shù)的定義域得到：，即可化為或解得，即，則故選5、C【解題分析】

將甲乙看作一個(gè)大的元素與其他元素進(jìn)行排列，再乘即可得出結(jié)論．【題目詳解】五個(gè)人站成一排，其中甲乙相鄰，將甲乙看作一個(gè)大的元素與其他3人進(jìn)行排列，再考慮甲乙順序?yàn)?，故共種站法.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合的應(yīng)用，求排列組合常用的方法有：元素優(yōu)先法、插空法、捆綁法、隔板法、間接法等，解決排列組合問題對學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力要求較高，本題屬于簡單題.6、C【解題分析】試題分析：假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì).7、B【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為在有且僅有一個(gè)根，考慮函數(shù)，的單調(diào)性即可得解.【題目詳解】由題，所以不是函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即在有且僅有一個(gè)根，即在有且僅有一個(gè)根，考慮函數(shù)，由得：，由得：所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，，，要使在有且僅有一個(gè)根，即或則的范圍是故選：B【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍，關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)單調(diào)性解決問題，常用分離參數(shù)處理問題.8、B【解題分析】

根據(jù)題中條件可得到拋物線方程，由直線和拋物線相切得到切點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得面積.【題目詳解】點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,可得到p=2,方程為：，切點(diǎn)N（x,y）,滿足，過點(diǎn)的直線設(shè)為和拋物線聯(lián)立得到，，取k=1,此時(shí)方程為的面積為:故答案為：B.【題目點(diǎn)撥】這個(gè)題目考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，當(dāng)直線和拋物線相切時(shí)，可以聯(lián)立直線和拋物線，使得判別式等于0，也可以設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)求導(dǎo)得到該點(diǎn)處的斜率.9、D【解題分析】對于命題1，取，，滿足題意；對于命題2，取，，滿足題意；對于命題3，取，，滿足題意；即題中所給的三個(gè)命題均為真命題，真命題的個(gè)數(shù)是.本題選擇D選項(xiàng).10、A【解題分析】分析：由已知及三角形的面積公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．詳解：由題意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=1．故選A．點(diǎn)睛：本題綜合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用公式．考查計(jì)算能力．11、B【解題分析】分析：先求定積分，再求詳解：，故設(shè)1-2x，所以，，故選B點(diǎn)睛：求復(fù)合函數(shù)的定積分要注意系數(shù)能夠還原，二項(xiàng)式定理求系數(shù)和的問題，采用賦值法。12、A【解題分析】

先求事件A包含的基本事件，再求事件AB包含的基本事件，利用公式可得.【題目詳解】由于6人各自隨機(jī)地確定參觀順序，在參觀的第一小時(shí)時(shí)間內(nèi)，總的基本事件有個(gè)；事件A包含的基本事件有個(gè)；在事件A發(fā)生的條件下，在參觀的第二個(gè)小時(shí)時(shí)間內(nèi)，該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人的基本事件為個(gè)，而總的基本事件為，故所求概率為,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查條件概率的求解，注意使用縮小事件空間的方法求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式求解.【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的性質(zhì).14、【解題分析】分析：根據(jù)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，看出這組數(shù)據(jù)對應(yīng)的正態(tài)曲線的對稱軸，根據(jù)正態(tài)曲線的特點(diǎn)，得到，從而可得結(jié)果.詳解：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，得對稱軸是，所以，可得，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查正態(tài)曲線的性質(zhì)，從形態(tài)上看，正態(tài)分布是一條單峰，對稱呈種形的曲線，其對稱軸，并在時(shí)取最大值，從點(diǎn)開始，曲線向正負(fù)兩個(gè)方向遞減延伸，不斷逼近軸，但永不與軸相交，因此說明曲線在正負(fù)兩個(gè)方向都是以軸為漸近線的.15、【解題分析】

試題分析：根據(jù)題意，分析所給的等式可得：對于第個(gè)等式，等式左邊為個(gè)余弦連乘的形式，且角部分為分式，分子從到，分母為，右式為；將規(guī)律表示出來可得答案：考點(diǎn)：歸納推理．16、【解題分析】分析：先確定4位同學(xué)中選出3位同學(xué)事件數(shù)，再確定甲被選中事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)?位同學(xué)中選出3位同學(xué)共有種，甲被選中事件數(shù)有,所以甲被選中的概率為.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的直角坐標(biāo)方程是.直線的普通方程為.(2).【解題分析】

（1）消去參數(shù)后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得的直角方程.（2）設(shè)點(diǎn)，則，利用在橢圓上可得的直角方程，聯(lián)立直線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程可得的直角坐標(biāo).【題目詳解】解：（1）由，得，將互化公式代上式，得，故圓的直角坐標(biāo)方程是.由，得，即.所以直線的普通方程為.（2）設(shè)點(diǎn).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得曲線的直角坐標(biāo)方程為.聯(lián)立，解得，或.故點(diǎn)的直角坐標(biāo)是.【題目點(diǎn)撥】極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，關(guān)鍵是，而直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，關(guān)鍵是．參數(shù)方程化為直角方法，關(guān)鍵是消去參數(shù)，消參的方法有反解消參、平方消參、交軌法等．18、（1）（2）【解題分析】

（1）根據(jù)已知求得，可求得曲線在處的切線方程;（2）由方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，進(jìn)行參變分離得，構(gòu)造函數(shù)，對所構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo),分析出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢,極值,從而可得出a的值.【題目詳解】（1）函數(shù)，，，曲線在處的切線方程為，即.（2）方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∵，所以可得，顯然時(shí)，上式不成立；設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，得.【題目點(diǎn)撥】本題考查求在函數(shù)上的一點(diǎn)的切線方程,和根據(jù)方程的根的情況求參數(shù)的值,解決的關(guān)鍵在于進(jìn)行參變分離,構(gòu)造合適的函數(shù),并對所構(gòu)造的函數(shù)求導(dǎo),分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和圖象趨勢和極值,屬于?？碱},難度題.19、（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝生產(chǎn)中獲利最大【解題分析】試題分析：解：（Ｉ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)關(guān)系式為（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，即年利潤在上單增，在上單減∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，且（萬元）．當(dāng)時(shí)，，僅當(dāng)時(shí)取“=”綜上可知，當(dāng)年產(chǎn)量為千件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲年利潤最大，最大值為萬元．考點(diǎn)：本試題考查了函數(shù)模型在實(shí)際生活中的的運(yùn)用。點(diǎn)評：解決應(yīng)用題，首先是審清題意，然后利用已知的關(guān)系式表述出利潤函數(shù)：收入-成本=利潤。將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，或者均值不等式來求解最值，但是要注明定義域，屬于中檔題。20、（I）（Ⅱ）【解題分析】試題分析：（1），是的充分條件，是的子集，所以；（2）由題意可知一真一假，當(dāng)時(shí)，，分別求出真假、假真時(shí)的取值范圍，最后去并集就可以．試題解析：（1），∵是的充分條件，∴是的子集，，∴的取值范圍是．（2）由題意可知一真一假，當(dāng)時(shí)，，真假時(shí)，由；假真時(shí)，由或．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．考點(diǎn)：含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性．21、（1）；（2）增區(qū)間是和，減區(qū)間是．【解題分析】

⑴求出，并令其為得到方程，把與