2024屆北京海淀北理工附中數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆北京海淀北理工附中數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若角的終邊上有一點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．2．定積分（）A．1 B．2 C．3 D．43．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．若，都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．函數(shù)的所有零點(diǎn)的積為m，則有（）A． B． C． D．6．圖1和圖2中所有的正方形都全等，將圖1中的正方形放在圖2中的①②③④某一位置，所組成的圖形能圍成正方體的概率是（）A．14 B．C．34 D．7．設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．8．定義在上的函數(shù)滿足下列兩個條件：（1）對任意的恒有成立；（2）當(dāng)時，；記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．9．（）A．1 B． C． D．10．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．11．已知直線l過點(diǎn)P(1,0,－1)，平行于向量，平面過直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)12．展開式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是（）A．0 B．1 C．256 D．512二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足：對，都有，且時，，則__________．14．在x+x+12n+1n∈Z15．設(shè)函數(shù)，則_________;16．如果球的體積為，那么該球的表面積為________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日銷量（單位：千克）與銷售價格（單位：元千克）滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)，已知銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克.（1）求的值：（2）若該商品的成本為元千克，試確定銷售價格的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.18．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)為1.記.（1）若為常數(shù)列，求的值：（2）若為公比為2的等比數(shù)列，求的解析式：（3）是否存在等差數(shù)列，使得對一切都成立？若存在，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：若不存在，請說明理由.19．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），，求一個以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．20．（12分）某醬油廠對新品種醬油進(jìn)行了定價，在各超市得到售價與銷售量的數(shù)據(jù)如下表：單價（元）55.25.45.65.86銷量（瓶）9.08.48.38.07.56.8（1）求售價與銷售量的回歸直線方程；（，）（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/瓶，為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？相關(guān)公式：，．21．（12分）已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)，若存在實(shí)數(shù)t，使z=(1)求證：2a+b為定值；(2)若|z-2|<a，求|z|的取值范圍．22．（10分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程=bx+a，其中b=-20，a=-b；（2）預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？（利潤=銷售收入-成本）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求出的值.【題目詳解】解：若角的終邊上有一點(diǎn)，則

，

∴.

故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】

直接利用定積分公式計(jì)算得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、B【解題分析】分析：把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求出的坐標(biāo)即可得到結(jié)論.詳解：，，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為，位于第二象限，故選B.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.4、A【解題分析】分析：先證明充分性，兩邊同時平方即可，再證明必要性，取特值，從而判斷出結(jié)果。詳解：充分性：將兩邊平方可得：化簡可得：則，故滿足充分性必要性：，當(dāng)時，，故不滿足必要性條件則是的充分而不必要條件故選點(diǎn)睛：本題考查了充分條件與必要條件的判定，可以根據(jù)其定義進(jìn)行判斷，在必要性的判定時采用了取特值的方法，這里也要熟練不等式的運(yùn)用5、B【解題分析】

作函數(shù)y=e-x與y=|log2x|的圖象，設(shè)兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2）（不妨設(shè)x1＜x2），得到0＜x1＜1＜x2＜2，運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得m的范圍．【題目詳解】令f（x）=0，即e-x=|log2x|，

作函數(shù)y=e-x與y=|log2x|的圖象，

設(shè)兩個交點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2）

（不妨設(shè)x1＜x2），

結(jié)合圖象可知，0＜x1＜1＜x2＜2，

即有e-x1=-log2x1，①

e-x2=log2x2，②

由-x1＞-x2，

②-①可得log2x2+log2x1＜0，

即有0＜x1x2＜1，

即m∈（0，1）．

故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象，以及轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．6、C【解題分析】分析：將圖1的正方形放在圖2中①的位置出現(xiàn)重疊的面，不能圍成正方體，再根據(jù)概率公式求解可得.詳解：由圖共有4種等可能結(jié)果，其中將圖1的正方形放在圖2中①的位置出現(xiàn)重疊的面，不能圍成正方體，則所組成的圖形能圍成正方體的概率是34故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了概率公式和展開圖折疊成幾何體，解題時勿忘記四棱柱的特征及正方體展開圖的各種情形，注意：只要有“田”字格的展開圖都不是正方體的表面展開圖.7、B【解題分析】

∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），∴f（x）為R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，再通過換元法解題．【題目詳解】∵f（﹣x）=（x2+1）+=f（x），∴f（x）為R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，令t=log2x，所以，=﹣t，則不等式f（log2x）+f（）≥2可化為：f（t）+f（﹣t）≥2，即2f（t）≥2，所以，f（t）≥1，又∵f（1）=2+=1，且f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，在R上為偶函數(shù)，∴﹣1≤t≤1，即log2x∈[﹣1，1]，解得，x∈[，2]，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，涉及奇偶性和單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，屬于中檔題．8、C【解題分析】

根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因?yàn)閒（x）＝k（x﹣1）的函數(shù)圖象是過定點(diǎn)（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可【題目詳解】因?yàn)閷θ我獾膞∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，且當(dāng)x∈（1，2]時，f（x）＝2﹣x；f（x）＝2（2）=4﹣x，x∈（2，4]，f（x）＝4（2）=8﹣x，x∈（4，8]，…所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．（b取1，2，4…）由題意得f（x）＝k（x﹣1）的函數(shù)圖象是過定點(diǎn)（1，0）的直線，如圖所示只需過（1，0）的直線與線段AB相交即可（可以與B點(diǎn)重合但不能與A點(diǎn)重合）kPA2，kPB，所以可得k的范圍為故選：C．【題目點(diǎn)撥】解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個重要數(shù)學(xué)思想，是解決數(shù)學(xué)問題的必備的解題工具．9、D【解題分析】

根據(jù)微積分基本原理計(jì)算得到答案.【題目詳解】.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、B【解題分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．【題目詳解】f′（x）=+2ax，若f（x）在區(qū)間（，2）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f′（x）＞0在x∈（，2）有解，故a＞-，而g（x）=﹣在（，2）遞增，g（x）＞g（）=﹣2，故a＞﹣2，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)有解以及函數(shù)的最值的求法，可以用變量分離的方法求參數(shù)的范圍，也考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．11、D【解題分析】試題分析：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），選項(xiàng)A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)C，（2，1，1）（-，1，?）=0，（0，2，4）（-，1，?）=0滿足垂直，故正確；選項(xiàng)D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故錯誤．考點(diǎn)：平面的法向量12、B【解題分析】

令，可求出展開式中的所有項(xiàng)系數(shù)和.【題目詳解】令，則，即展開式中的所有項(xiàng)系數(shù)和是1，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了展開式的系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

根據(jù)是奇函數(shù)，有，再結(jié)合，推出，得到的最小正周期為8，再求解.【題目詳解】因?yàn)槎x域?yàn)榈氖瞧婧瘮?shù)，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，所以的最小正周期?，又因?yàn)闀r，，所以.故答案為：2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.14、1【解題分析】

令P=x+Q=x-由二項(xiàng)式定理，知P、Q中的x的整數(shù)次冪項(xiàng)之和相同，記作S（x），非整數(shù)次冪項(xiàng)之和互為相反數(shù).故2S=令.則所求的系數(shù)和為1215、【解題分析】

先結(jié)合分段函數(shù)的解析式計(jì)算，代入可求出的值．【題目詳解】由題意可知，，因此，，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)求值，在計(jì)算多層函數(shù)值時，遵循由內(nèi)到外逐層計(jì)算，同時要注意自變量的取值，選擇合適的解析式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

根據(jù)球的體積公式：求出球的半徑，然后由表面積公式：即可求解?！绢}目詳解】，又因?yàn)?，所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查球的體積、表面積公式，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)當(dāng)元/千克時，商場每日銷售該商品所獲最大利潤【解題分析】

（1）銷售價格為元/千克時，每日可售出該商品千克代入函數(shù)解得.（2）求出利潤的表達(dá)式，求導(dǎo)，根據(jù)單調(diào)性計(jì)算函數(shù)的最值.【題目詳解】解：（1）當(dāng)元/千克時，解得（2）設(shè)商場每日銷售該商品的利潤為，則，因?yàn)楫?dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減所以當(dāng)元/千克時，商場每日銷售該商品所獲最大利潤【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.18、（1）（2）（3）存在等差數(shù)列滿足題意，【解題分析】

(1)根據(jù)常數(shù)列代入其值得解；(2)根據(jù)等比數(shù)列和用賦值法解決二項(xiàng)式展開式的相關(guān)問題求解；(3)對于開放性的問題先假設(shè)存在等差數(shù)列，再推出是否有恒成立的結(jié)論存在，從而得結(jié)論.【題目詳解】解：（1）∵為常數(shù)列，∴.∴（2）∵為公比為2的等比數(shù)列，.∴∴故.（3）假設(shè)存在等差數(shù)列，使得對一切都成立，設(shè)公差為，則相加得∴.∴恒成立，即恒成立，∴故能為等差數(shù)列，使得對一切都成立，它的通項(xiàng)公式為【題目點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵在于觀察所求式子的特征運(yùn)用二項(xiàng)式展開式中的賦值法的思想，屬于難度題.19、【解題分析】

先由求出復(fù)數(shù)，再由求出復(fù)數(shù)，計(jì)算出其復(fù)數(shù)，可得出以復(fù)數(shù)為根的實(shí)系數(shù)方程為，化簡后可得出結(jié)果.【題目詳解】由，得，，.，，因此，以復(fù)數(shù)為一個根的實(shí)系數(shù)方程為，即，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算，考查實(shí)系數(shù)方程與虛根之間的關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.20、（1）．（2）6.75元【解題分析】

（1）根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式，計(jì)算出回歸直線方程.（2）求得利潤的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得為使工廠獲得最大利潤（利潤=銷售收入成本），該產(chǎn)品的單價.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，，從而回歸直線方程為．（2）設(shè)工廠獲得的利潤為元，依題意得當(dāng)時，取得最大值故當(dāng)單價定為6.75元時，工廠可獲得最大利潤．【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查回歸直線方程的計(jì)算，考查實(shí)際應(yīng)用問題，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.21、（1）詳見解析；（2）(22【解題分析】

(1)由條件利用兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，求得2a+b=6，從而可以證得結(jié)論。(2)由|z-2|<a，可得0<a