2024屆湖北省鄂州市華容高級中學數(shù)學高二下期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆湖北省鄂州市華容高級中學數(shù)學高二下期末經(jīng)典模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，數(shù)列滿足，且，則（）A．8 B．16 C．32 D．642．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線的左，右焦點，點在雙曲線上，且，則等于（）．A． B． C．或 D．或3．“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)”，以上推理（）A．大前提不正確 B．小前提不正確 C．結(jié)論不正確 D．正確4．定義：復數(shù)與的乘積為復數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復數(shù)”．設(shè)復數(shù)對應的點在曲線上，則的“旋轉(zhuǎn)復數(shù)”對應的點的軌跡方程為（）．A． B．C． D．5．現(xiàn)將甲、乙、丙、丁四個人安排到座位號分別是的四個座位上，他們分別有以下要求，甲：我不坐座位號為和的座位；乙：我不坐座位號為和的座位；丙：我的要求和乙一樣；?。喝绻也蛔惶枮榈淖?，我就不坐座位號為的座位.那么坐在座位號為的座位上的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．將兩個隨機變量之間的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計如表所示：根據(jù)上述數(shù)據(jù)，得到的回歸直線方程為，則可以判斷（）A． B． C． D．7．若，均為單位向量，且，則與的夾角大小為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則“”是“對任意，且，都有()成立”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件9．經(jīng)過伸縮變換后所得圖形的焦距（）A． B． C．4 D．610．二項式的展開式中項的系數(shù)為，則（）A．4 B．5 C．6 D．711．獨立性檢驗顯示：在犯錯誤的概率不超過0.1的前提下認為性別與是否喜愛喝酒有關(guān)，那么下列說法中正確的是（）A．在100個男性中約有90人喜愛喝酒B．若某人喜愛喝酒，那么此人為女性的可能性為10%C．認為性別與是否喜愛喝酒有關(guān)判斷出錯的可能性至少為10%D．認為性別與是否喜愛喝酒有關(guān)判斷正確的可能性至少為90%12．函數(shù)與在同一坐標系中的圖象可能是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知P是底面為正三角形的直三棱柱的上底面的中心，作平面與棱交于點D．若，則三棱錐的體積為_____．14．是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為________15．從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成___________個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)16．函數(shù)fx=lnx-2x的圖象在點三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）夏天喝冷飲料已成為年輕人的時尚.某飲品店購進某種品牌冷飲料若干瓶，再保鮮.（Ⅰ）飲品成本由進價成本和可變成本（運輸、保鮮等其它費用）組成.根據(jù)統(tǒng)計，“可變成本”（元）與飲品數(shù)量（瓶）有關(guān)系.與之間對應數(shù)據(jù)如下表：飲品數(shù)量（瓶）24568可變成本（元）34445依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；如果該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計“可變成本”約為多少元？（Ⅱ）該飲品店以每瓶10元的價格購入該品牌冷飲料若干瓶，再以每瓶15元的價格賣給顧客。如果當天前8小時賣不完，則通過促銷以每瓶5元的價格賣給顧客(根據(jù)經(jīng)驗，當天能夠把剩余冷飲料都低價處理完畢，且處理完畢后，當天不再購進)．該店統(tǒng)計了去年同期100天該飲料在每天的前8小時內(nèi)的銷售量(單位：瓶)，制成如下表：每日前8個小時銷售量（單位：瓶）15161718192021頻數(shù)10151616151315若以100天記錄的頻率作為每日前8小時銷售量發(fā)生的概率，若當天購進18瓶，求當天利潤的期望值.（注：利潤=銷售額購入成本“可變本成”）參考公式：回歸直線方程為，其中參考數(shù)據(jù)：，.18．（12分）已知函數(shù)（1）若當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（2）設(shè)，求證：當時，.19．（12分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的值域為，求a的取值范圍．20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，平面，，為的中點.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）某技術(shù)人員在某基地培育了一種植物,一年后,該技術(shù)人員從中隨機抽取了部分這種植物的高度(單位:厘米)作為樣本(樣本容量為)進行統(tǒng)計,繪制了如下頻率分布直方圖,已知抽取的樣本植物高度在內(nèi)的植物有8株,在內(nèi)的植物有2株.(Ⅰ)求樣本容量和頻率分布直方圖中的,的值;(Ⅱ)在選取的樣本中,從高度在內(nèi)的植物中隨機抽取3株,設(shè)隨機變量表示所抽取的3株高度在內(nèi)的株數(shù),求隨機變量的分布列及數(shù)學期望;(Ⅲ)據(jù)市場調(diào)研,高度在內(nèi)的該植物最受市場追捧.老王準備前往該基地隨機購買該植物50株.現(xiàn)有兩種購買方案,方案一:按照該植物的不同高度來付費,其中高度在內(nèi)的每株10元,其余高度每株5元;方案二:按照該植物的株數(shù)來付費,每株6元.請你根據(jù)該基地該植物樣本的統(tǒng)計分析結(jié)果為決策依據(jù),預測老王采取哪種付費方式更便宜?22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，若存在，使不等式成立，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先確定為等差數(shù)列，由等差的性質(zhì)得進而求得的通項公式和的通項公式，則可求【題目詳解】由題意知為等差數(shù)列，因為，所以，因為，所以公差，則，即，故，于是.故選：C【題目點撥】本題考查等差與等比的通項公式，等差與等比數(shù)列性質(zhì)，熟記公式與性質(zhì)，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題2、D【解題分析】由，可得，又由題意得雙曲線的漸近線方程為，∴∴，根據(jù)雙曲線的定義可得，∴或．經(jīng)檢驗知或都滿足題意．選．點睛：此類問題的特點是已知雙曲線上一點到一個焦點的距離，求該點到另一個焦點的距離，實質(zhì)上是考查雙曲線定義的應用．解題時比較容易忽視對求得的結(jié)果進行驗證，實際上，雙曲線右支上的點到左焦點的最小距離為，到右焦點的最小距離為．同樣雙曲線左支上的點到右焦點的最小距離是，到左焦點的最小距離是．3、A【解題分析】分析：利用三段論和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.詳解：由三段論可知“指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)”是大前提，但是指數(shù)函數(shù)不一定是增函數(shù)，對于指數(shù)函數(shù)，當a>1時，指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)，當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)是減函數(shù).所以大前提不正確，故答案為：A.點睛：本題主要考查三段論和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生對這些知識的掌握水平.4、C【解題分析】

設(shè)可得:.因為復數(shù)與的乘積為復數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復數(shù),可得,的“旋轉(zhuǎn)復數(shù)”對應的點,由坐標變換,即可得的“旋轉(zhuǎn)復數(shù)”對應的點的軌跡方程.【題目詳解】復數(shù)對應的點在曲線上設(shè)可得:復數(shù)與的乘積為復數(shù)的“旋轉(zhuǎn)復數(shù)┄①設(shè)的“旋轉(zhuǎn)復數(shù)”對應的點可得:即┄②將②代入①得:即:故選:C.【題目點撥】本題考查復數(shù)的運算,考查復平面和考查坐標變換,掌握復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應是解本題的關(guān)鍵.5、C【解題分析】

對甲分別坐座位號為3或4分類推理即可判斷?！绢}目詳解】當甲坐座位號為3時，因為乙不坐座位號為1和4的座位所以乙只能坐座位號為2，這時只剩下座位號為1和4又丙的要求和乙一樣，矛盾，故甲不能坐座位號3.當甲坐座位號為4時，因為乙不坐座位號為1和4的座位，丙的要求和乙一樣：所以丁只能坐座位號1，又如果乙不坐座位號為2的座位，丁就不坐座位號為1的座位.所以乙只能坐座位號2，這時只剩下座位號3給丙。所以坐在座位號為3的座位上的是丙.故選：C【題目點撥】本題主要考查了邏輯推理能力，考查了分類思想，屬于中檔題。6、C【解題分析】

根據(jù)最小二乘法，求出相關(guān)量，，即可求得的值?！绢}目詳解】因為，，，所以，，故選C?！绢}目點撥】本題主要考查利用最小二乘法求線性回歸方程，意在考查學生的數(shù)學運算能力。7、C【解題分析】分析：由向量垂直得向量的數(shù)量積為0，從而求得，再由數(shù)量積的定義可求得夾角．詳解：∵，∴，∴，∴，∴．故選C．點睛：平面向量數(shù)量積的定義：，由此有，根據(jù)定義有性質(zhì)：．8、A【解題分析】對任意，且，都有成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立，，由函數(shù)的單調(diào)性可得：在上,即，原問題轉(zhuǎn)化為考查“”是“”的關(guān)系，很明顯可得：“”是“對任意，且，都有成立”充分不必要條件.本題選擇A選項.9、A【解題分析】

用，表示出，，代入原方程得出變換后的方程，從而得出焦距．【題目詳解】由得，代入得，∴橢圓的焦距為，故選A．【題目點撥】本題主要考查了伸縮變換，橢圓的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】二項式的展開式的通項是，令得的系數(shù)是，因為的系數(shù)為，所以，即，解得：或，因為，所以，故選C．【考點定位】二項式定理．11、D【解題分析】

根據(jù)獨立性檢驗的含義只能得到出錯的可能率或正確的可靠率【題目詳解】獨立性檢驗是對兩個分類變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是因果關(guān)系，故A，B錯誤.由已知得，認為性別與是否喜愛喝酒有關(guān)判斷出錯概率的可能性至多為10%，故C錯誤，D正確.選D.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗的含義，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

由二次函數(shù)中一次項系數(shù)為0，我們易得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，然后分當時和時兩種情況，討論函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象位置、形狀、頂點位置，可用排除法進行解答．【題目詳解】由函數(shù)中一次項系數(shù)為0，我們易得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，可排除；當時，函數(shù)的圖象開口方向朝下，頂點點在軸下方，函數(shù)的圖象位于第二、四象限，可排除；時，函數(shù)的圖象開口方向朝上，頂點點在軸上方，可排除A；故選C．【題目點撥】本題考查的知識點是函數(shù)的表示方法(圖象法)，熟練掌握二次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象形狀與系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由題意畫出圖形，求出AD的長度，代入棱錐體積公式求解．【題目詳解】如圖，∵P為上底面△A1B1C1的中心，∴A1P，∴tan．設(shè)平面BCD交AP于F，連接DF并延長，交BC于E，可得∠DEA＝∠PAA1，則tan∠DEA．∵AE，∴AD．∴三棱錐D﹣ABC的體積為V．故答案為．【題目點撥】本題考查多面體體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題．14、【解題分析】

以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，的坐標，利用距離公式，即可得到結(jié)論.【題目詳解】解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

設(shè)平面的法向量是，

，

∴由，可得

取得，

，

∴到平面的距離.故答案為：.【題目點撥】本題考查點到平面的距離，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題.15、1260.【解題分析】分析:按是否取零分類討論，若取零，則先排首位，最后根據(jù)分類與分步計數(shù)原理計數(shù).詳解：若不取零，則排列數(shù)為若取零，則排列數(shù)為因此一共有個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.16、x+y+1=0【解題分析】

求導，利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率，由點斜式方程寫出切線方程?！绢}目詳解】∵f'(x)=1x所以切線方程為y-(-2)=(-1)(x-1)，即x+y+1=0?！绢}目點撥】本題主要考查函數(shù)圖像在某點處的切線方程求法。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)，可變成本”約為元；(Ⅱ)利潤的期望值為元【解題分析】

（Ⅰ）將關(guān)于之間對應的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式求出與，可得出回歸直線方程，再將代入回歸直線方程可得出“可變成本”的值；（Ⅱ）根據(jù)利潤公式分別算出當銷量分別為瓶、瓶、瓶、瓶時的利潤和頻率，列出利潤隨機變量的分布列，結(jié)合分布列計算出數(shù)學期望值，即可得出答案。【題目詳解】（Ⅰ），，，，，，所以關(guān)于的線性回歸方程為：當時，，所以該店購入20瓶該品牌冷飲料，估計“可變成本”約為元；（Ⅱ）當天購進18瓶這種冷飲料，用表示當天的利潤（單位：元），當銷售量為15瓶時，利潤，；當銷售量為16瓶時，利潤，；當銷售量為17瓶時，利潤，；當銷售量為18瓶時，利潤，；那么的分布列為：52.162.172.182.1的數(shù)學期望是：，所以若當天購進18瓶，則當天利潤的期望值為元.【題目點撥】本題考查回歸直線方程以及隨機變量的分布列與數(shù)學期望，在求解隨機變量分布列時，關(guān)鍵要弄清楚隨機變量所服從的分布類型，掌握各分布類型的特點，考查分析問題能力與計算能力，屬于中等題。18、(1)；(2)證明見解析【解題分析】

（1）解法一：求得函數(shù)導數(shù)并通分，對分成兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值，求得實數(shù)的取值范圍.解法二：將原不等式分離常數(shù)，得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)結(jié)合洛必達法則，求得的取值范圍，由此求得的取值范圍.（2）解法一：先由（1）的結(jié)論，證得當時成立.再利用導數(shù)證得當時，也成立，由此證得不等式成立.解法二：將所要證明的不等式等價轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證得，進而證得，也即證得.【題目詳解】解：（1）【解法一】由得：①當時，由知，在區(qū)間上為增函數(shù)，當時，恒成立，所以當時，滿足題意；②當時，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).這時當時，，令，則即在上為減函數(shù)，所以即在上的最小值，此時，當時，不可能恒成立，即有不滿足題意.綜上可知，當，使恒成立時，的取值范圍是.【解法二】當時，等價于令，則只須使設(shè)在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，當時，由洛必達法則知即當時，，所以有即當，使恒成立時，則的取值范圍是（2）解法一：由（1）知，當時，當時，又成立故只須在證明，當時，即可當時，又當時，所以，只須證明即可；設(shè)由得：當，時當時，即在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，當時，成立綜上可知，當時，成立.（2）解法二：由（1）知當時，等價于設(shè)由得：當時，；當時，即在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，當時，因為時，.所以所以成立.綜上可知，當時，成立.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查利用導數(shù)證明不等式，考查分類討論的數(shù)學思想，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，難度較大，屬于難題.19、（1）增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；（2）或【解題分析】

（1）利用導數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間以及，時的范圍，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先利用有解求出的大致范圍，再證明在該范圍內(nèi)即可。【題目詳解】（1）當，，所以，由于，可得．當時，，是減函數(shù)；當時，，是增函數(shù)；因為當時，；當時，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是（2）由題意知必有解，即有解，所以，即直線與曲線有交點．則，令得和；令得和．所以和，為增函數(shù)；和，為減函數(shù)．，當時，恒成立；所以時，；當時，，所以時，；，即時，，的圖像如圖所示．直線與曲線有交點，即或，所以或，下證，先證，設(shè)，則，當時，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即；當時，若，因為在時的值域是，又因為函數(shù)連續(xù)，所以：；當時，若，，當時，，時；所以時，又因為函數(shù)連續(xù)，所以，綜上，或．【題目點撥】本題考查導數(shù)在函數(shù)研究中的應用，綜合性強，屬于中檔題。20、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）證明，再證明平面，即可證明；（2）以為原點建立空間直角坐標系，再求平面以及平面的法向量，再求兩個平面法向量夾角的余弦值，結(jié)合圖像即可求得二面角的余弦值.【題目詳解】（1）證明：連接，.因為四邊形是菱形且，為的中點，所以.因為平面，所以，又，所以平面，則.因為，所以.（2）以為原點建立空間直角坐標系（其中為與的交點），如圖所示，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，得.所以，由圖可知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.【題目點撥】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化分析推理能力.21、(Ⅰ),，；(Ⅱ)分布列見解析，；(Ⅲ)方案一付費更便宜.【解題分析】

(Ⅰ)由題目條件及頻率分布直方圖能求出樣本容量n和頻率分布直方圖中的x，y．(Ⅱ)由題意可知，高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)為5，高度在[90，100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株．抽取的3株中高度在[80，90）內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)所得結(jié)論，分別計算按照方案一購買應付費和按照方案二購買應付費，比較結(jié)果即可得按照方案一付費更便宜.【題目詳解】(Ⅰ)由題意可知，樣本容量,，.(Ⅱ)由題意可知,高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)為5,高度在[90,100]內(nèi)的株數(shù)為2，共7株.抽取的3株中高度在[80,90)內(nèi)的株數(shù)X的可能取值為1,2,3,則，，,∴X的分布列為：X123P故.(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)