2024屆江蘇省淮安市淮陰中學(xué)、姜堰中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆江蘇省淮安市淮陰中學(xué)、姜堰中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．黃金螺旋線又名鸚鵡螺曲線，是自然界最美的鬼斧神工。就是在一個(gè)黃金矩形（寬除以長約等于0.6的矩形）先以寬為邊長做一個(gè)正方形，然后再在剩下的矩形里面再以其中的寬為邊長做一個(gè)正方形，以此循環(huán)做下去，最后在所形成的每個(gè)正方形里面畫出1/4圓，把圓弧線順序連接，得到的這條弧線就是“黃金螺旋曲線了。著名的“蒙娜麗莎”便是符合這個(gè)比例，現(xiàn)把每一段黃金螺旋線與其每段所在的正方形所圍成的扇形面積設(shè)為，每扇形的半徑設(shè)為滿足，若將的每一項(xiàng)按照上圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1，記前項(xiàng)所占的對應(yīng)正方形格子的面積之和為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．2．今年全國高考,某校有3000人參加考試，其數(shù)學(xué)考試成績(，試卷滿分150分),統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績高于130分的人數(shù)為100，則該校此次數(shù)學(xué)考試成績高于100分且低于130分的學(xué)生人數(shù)約為（）A．1300 B．1350 C．1400 D．14503．設(shè)A，B，C是三個(gè)事件，給出下列四個(gè)事件：（Ⅰ）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生；（Ⅱ）A，B，C中最多有一個(gè)發(fā)生；（Ⅲ）A，B，C中至少有兩個(gè)發(fā)生；（Ⅳ）A，B，C最多有兩個(gè)發(fā)生；其中相互為對立事件的是（）A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅲ C．Ⅲ和Ⅳ D．Ⅳ和Ⅰ4．函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．5．若的展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15，則展開式中所有項(xiàng)系數(shù)之和為A． B． C． D．6．已知曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，則等于（）A．2B．-2C．3D．-17．從、、中任取兩個(gè)字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為（）A． B． C． D．8．若為虛數(shù)單位，則的值為（）A． B． C． D．9．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的值為A． B． C．或 D．或10．已知命題,；命題若，則，下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．11．已知，則A． B． C． D．12．已知曲線與直線圍成的圖形的面積為，則（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是84，則實(shí)數(shù)__________．14．已知的展開式中的系數(shù)為，則__________．15．?dāng)?shù)列滿足，則_________.16．已知函數(shù)，其中，若只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ啬撤N生物，甲乙兩個(gè)生物小組分別獨(dú)立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進(jìn)行研究，每次試驗(yàn)一個(gè)生物，甲組能使生物成活的概率為，乙組能使生物成活的概率為，假定試驗(yàn)后生物成活，則稱該次試驗(yàn)成功，如果生物不成活，則稱該次試驗(yàn)是失敗的．(1)甲小組做了三次試驗(yàn)，求至少兩次試驗(yàn)成功的概率；(2)若甲乙兩小組各進(jìn)行2次試驗(yàn)，求兩個(gè)小組試驗(yàn)成功至少3次的概率．18．（12分）已知函數(shù)h(x)＝(m2－5m＋1)xm+1為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．(1)求m的值；(2)求函數(shù)g(x)＝h(x)＋，x∈的值域．19．（12分）已知函數(shù).（1）若是的一個(gè)極值點(diǎn)，判斷的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，證明：.20．（12分）某校在一次趣味運(yùn)動會的頒獎儀式上，高一、高二、高三各代表隊(duì)人數(shù)分別為160人、120人、人.為了活躍氣氛，大會組委會在頒獎過程中穿插抽獎活動，并用分層抽樣的方法從三個(gè)代表隊(duì)中共抽取20人到前排就坐，其中高二代表隊(duì)有6人.（1）求的值；（2）把到前排就坐的高二代表隊(duì)6人分別記為，，，，，，現(xiàn)隨機(jī)從中抽取2人上臺抽獎.求或沒有上臺抽獎的概率.（3）抽獎活動的規(guī)則是：代表通過操作按鍵使電腦自動產(chǎn)生兩個(gè)之間的均勻隨機(jī)數(shù)，，并按如圖所示的程序框圖執(zhí)行.若電腦顯示“中獎”，則該代表中獎；若電腦顯示“謝謝”，則不中獎，求該代表中獎的概率.21．（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)的最小值為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，，，求證：.22．（10分）的展開式中第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的系數(shù)相等，求和展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)定義求數(shù)列和，利用化簡求解，利用特殊值否定結(jié)論.【題目詳解】由題意得為以為長和寬矩形的面積，即；；又，故正確；因?yàn)?，所以D錯(cuò)誤,選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列求和以及利用遞推關(guān)系化簡，考查綜合分析求解能力，屬較難題.2、C【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計(jì)算，即【題目詳解】100分是數(shù)學(xué)期望，由題意成績高于130分的有100人，則低于70分的也有100人，70到130的總?cè)藬?shù)為3000－200＝2800，因此成績高于100分低于130分的人數(shù)為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布，解題關(guān)鍵是掌握正態(tài)分布曲線中的對稱性，即若，則，．3、B【解題分析】

利用互斥事件、對立事件的定義直接求解．【題目詳解】解：，，是三個(gè)事件，給出下列四個(gè)事件：（Ⅰ），，中至少有一個(gè)發(fā)生；（Ⅱ），，中最多有一個(gè)發(fā)生；（Ⅲ），，中至少有兩個(gè)發(fā)生（Ⅳ），，最多有兩個(gè)發(fā)生；在中，Ⅰ和Ⅱ能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個(gè)事件不能相互為對立事件；在中，Ⅱ和Ⅲ既不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，故中的兩個(gè)事件相互為對立事件；在中，Ⅲ和Ⅳ能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個(gè)事件不能相互為對立事件；在中，Ⅳ和Ⅰ能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故中的兩個(gè)事件不能相互為對立事件．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查相互為對立事件的判斷，考查互斥事件、對立事件的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

分析每個(gè)根號下的范圍，取交集后得到定義域.【題目詳解】因?yàn)椋?，則定義域?yàn)?故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)含根號的函數(shù)定義問題，難度較易.注意根號下大于等于零即可.5、B【解題分析】由題意知：，所以，故，令得所有項(xiàng)系數(shù)之和為.6、A【解題分析】因?yàn)?，所以，由已知得，解得，故選A.7、D【解題分析】

從、、中任取兩個(gè)字母排成一列，直接利用排列數(shù)公式可得出結(jié)果.【題目詳解】由排列數(shù)的定義可知，從、、中任取兩個(gè)字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】試題分析：,選C考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算9、C【解題分析】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB為等腰直角三角形，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心坐標(biāo)與半徑R，可得出AB，求出AB的長，圓心到直線y=﹣x+a的距離為AB的一半，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到實(shí)數(shù)a的值．詳解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，又圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑R=1，∴AB=.∴圓心到直線y=﹣x+a的距離d=AB==，∴|a|=1，∴a=±1．故答案為C．點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是直線和圓的位置關(guān)系，一般直線和圓的題很多情況下是利用數(shù)形結(jié)合來解決的，聯(lián)立的時(shí)候較少；在求圓上的點(diǎn)到直線或者定點(diǎn)的距離時(shí)，一般是轉(zhuǎn)化為圓心到直線或者圓心到定點(diǎn)的距離，再加減半徑，分別得到最大值和最小值；涉及到圓的弦長或者切線長時(shí)，經(jīng)常用到垂徑定理和垂徑定理.10、B【解題分析】解：命題p：?x＞0，ln（x+1）＞0，則命題p為真命題，則￢p為假命題；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，則命題q是假命題，則￢q是真命題．∴p∧q是假命題，p∧￢q是真命題，￢p∧q是假命題，￢p∧￢q是假命題．故選B．11、C【解題分析】

根據(jù)已知求出，再求.【題目詳解】因?yàn)?，故，從?故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】分析：首先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合微積分基本定理整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：聯(lián)立方程：可得：，，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，，當(dāng)時(shí)，由定積分的幾何意義可知圍成的圖形的面積為：，整理可得：，則，同理，當(dāng)時(shí)計(jì)算可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：(1)一定要注意重視定積分性質(zhì)在求值中的應(yīng)用；(2)區(qū)別定積分與曲邊梯形面積間的關(guān)系，定積分可正、可負(fù)、也可以為0，是曲邊梯形面積的代數(shù)和，但曲邊梯形面積非負(fù).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

試題分析：由二項(xiàng)式定理可得：，因?yàn)榈南禂?shù)是，所以即，即，所以.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.14、【解題分析】分析：展開式中的系數(shù)為前一項(xiàng)中常數(shù)項(xiàng)與后一項(xiàng)的二次項(xiàng)乘積，加上第一項(xiàng)的系數(shù)與后一項(xiàng)的系數(shù)乘積的和，由此列方程求得的值.詳解：，其展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，解得，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)展開式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題.二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個(gè)方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)展開式定理的應(yīng)用.15、.【解題分析】

根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，列出前面幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，然后根據(jù)周期數(shù)列的性質(zhì)特點(diǎn)可得出的值．【題目詳解】由題干中遞推公式，可得：，，，，，，，，，數(shù)列是以6為最小正周期的周期數(shù)列．，．故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查周期數(shù)列的判定及利用周期數(shù)列的性質(zhì)特點(diǎn)求數(shù)列任一項(xiàng)的值，考查不完全歸納法的應(yīng)用，考查從特殊到一般的思想和基本的運(yùn)算求解能力．16、【解題分析】

把表示成分段函數(shù)，將一個(gè)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)交點(diǎn)問題，作出圖形，從而得到答案.【題目詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；而的只有一個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖形，，此時(shí)，斜率越來越小時(shí)，無交點(diǎn)，斜率越來越大時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，故的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分段函數(shù)的圖像，零點(diǎn)問題，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的作圖能力，分析能力，難度中等.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）“三次試驗(yàn)中至少兩次試驗(yàn)成功”是指三次試驗(yàn)中，有2次試驗(yàn)成功或3次試驗(yàn)全部成功，先計(jì)算出2次與3次成功的概率，相加即可得到所要求的概率．（2）分成功3次，4次兩種情況求其概率相加即可【題目詳解】(1)設(shè)“甲小組做了三次實(shí)驗(yàn)，至少兩次試驗(yàn)成功”為事件A，則其概率為.(2)設(shè)“甲乙兩小組試驗(yàn)成功3次”為事件B，則，設(shè)“甲乙兩小組試驗(yàn)成功4次”為事件C，則，故兩個(gè)小組試驗(yàn)成功至少3次的概率為.【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)呈录『冒l(fā)生k次的概率、相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．18、（1）m＝0（2）【解題分析】

試題分析：（1）根據(jù)冪函數(shù)定義得m2－5m＋1＝1，解得m＝0或5，再根據(jù)冪函數(shù)為奇函數(shù)得m＝0（2）換元將函數(shù)化為一元二次函數(shù)，結(jié)合自變量取值范圍與定義區(qū)間位置關(guān)系確定函數(shù)最值，得函數(shù)值域試題解析：解：(1)∵函數(shù)h(x)＝(m2－5m＋1)xm+1為冪函數(shù)，∴m2－5m＋1＝1，.解得m＝0或5又h(x)為奇函數(shù)，∴m＝0(2)由(1)可知g(x)＝x＋，x∈，令＝t，則x＝－t2＋，t∈[0,1]，∴f(t)＝－t2＋t＋＝－(t－1)2＋1∈，故g(x)＝h(x)＋，x∈的值域?yàn)?19、（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）見解析【解題分析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由極值點(diǎn)求出參數(shù)，確定的正負(fù)得的單調(diào)性；（2）求出，得極值點(diǎn)滿足：所以，由（1）即，不妨設(shè).要證，則只要證，而，因此由的單調(diào)性，只要能證，即即可．令，利用導(dǎo)數(shù)的知識可證得結(jié)論成立．【題目詳解】（1）由已知得.因?yàn)槭堑囊粋€(gè)極值點(diǎn)，所以，即，所以，令，則，令，得，令，得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2），因此極值點(diǎn)滿足：所以由（1）即，不妨設(shè).要證，則只要證，而，因此由的單調(diào)性，只要能證，即即可．令，則，當(dāng)時(shí)，，，，所以，即在單調(diào)遞增，又，所以，所以，即，又，，在單調(diào)遞增，所以，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等問題，考查抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無限思想，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性與創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注.20、（1）160；（2）；（3）【解題分析】本題考查概率與統(tǒng)計(jì)知識，考查分層抽樣，考查概率的計(jì)算，確定概率的類型是關(guān)鍵．（1）根據(jù)分層抽樣可得故可求n的值；（2）求出高二代表隊(duì)6人，從中抽取2人上臺抽獎的基本事件，確定a和b至少有一人上臺抽獎的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上臺抽獎的概率（3）確定滿足0≤x≤1，0≤y≤1點(diǎn)的區(qū)域，由條件得到的區(qū)域?yàn)閳D中的陰影部分，計(jì)算面積，可求該代表中獎的概率．解：（Ⅰ）由題意得，解得.…………4分（Ⅱ）從高二代表隊(duì)6人中隨機(jī)抽