遼寧省本溪滿族自治區(qū)高級中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

遼寧省本溪滿族自治區(qū)高級中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末預(yù)測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)為整數(shù)，若a和b被m除得余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余.記為.若，，則b的值可以是（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20222．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如題（8）圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值3．已知，若的必要條件是，則a，b之間的關(guān)系是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，若存在實數(shù)使得，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．5．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為A． B． C． D．6．已知隨機變量服從正態(tài)分布,,則A． B． C． D．7．將甲桶中的升水緩慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線，假設(shè)過后甲桶和乙桶的水量相等，若再過甲桶中的水只有升，則的值為（）A．10 B．9 C．8 D．58．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為（）A． B． C． D．9．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°，與燈塔S相距20nmile，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30A．20(2+C．20(6+10．拋物線上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標(biāo)是A． B． C． D．11．在等差數(shù)列中，且，則的最大值等于(）A．3 B．4 C．6 D．912．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．滿足方程的解為__________．14．在名男生和名女生中各選出名參加一個演唱小組，共有__________種不同的選擇方案.15．已知二項式展開式的第項與第項之和為零，那么等于____________.16．若＝，則x的值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點分別在，上運動，若的最小值為2，求的值.18．（12分）已知曲線C的參數(shù)方程為（a參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（Ⅰ）求曲線C的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若直線l極坐標(biāo)方程為，求曲線C上的點到直線l最大距離.19．（12分）對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，其中，同時滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)：②當(dāng)定義域為時，的值域為，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，區(qū)間稱為“保值函數(shù)”.（1）求證：函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”；（2）若函數(shù)（）是區(qū)間上的“保值函數(shù)”，求的取值范圍；（3）對（2）中函數(shù)，若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和.已知.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）是否對一切正整數(shù)，有？說明理由.21．（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說明理由.22．（10分）在某項娛樂活動的海選過程中評分人員需對同批次的選手進行考核并評分，并將其得分作為該選手的成績，成績大于等于60分的選手定為合格選手，直接參加第二輪比賽，不超過40分的選手將直接被淘汰，成績在內(nèi)的選手可以參加復(fù)活賽，如果通過，也可以參加第二輪比賽．（1）已知成績合格的200名參賽選手成績的頻率分布直方圖如圖，求a的值及估計這200名參賽選手的成績平均數(shù)；（2）根據(jù)已有的經(jīng)驗，參加復(fù)活賽的選手能夠進入第二輪比賽的概率為，假設(shè)每名選手能否通過復(fù)活賽相互獨立，現(xiàn)有3名選手進入復(fù)活賽，記這3名選手在復(fù)活賽中通過的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先利用二項式定理將表示為，再利用二項式定理展開，得出除以的余數(shù)，結(jié)合題中同余類的定義可選出合適的答案．【題目詳解】，則，所以，除以的余數(shù)為，以上四個選項中，除以的余數(shù)為，故選A.【題目點撥】本題考查二項式定理，考查數(shù)的整除問題，解這類問題的關(guān)鍵就是將指數(shù)冪的底數(shù)表示為與除數(shù)的倍數(shù)相關(guān)的底數(shù)，結(jié)合二項定理展開式可求出整除后的余數(shù)，考查計算能力與分析問題的能力，屬于中等題．2、D【解題分析】

則函數(shù)增；則函數(shù)減；則函數(shù)減；則函數(shù)增；選D.【考點定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0則函數(shù)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減3、A【解題分析】試題分析：不等式的解集為，不等式的解集為，根據(jù)題意可知是的子集，所以有，故選A．考點：絕對值不等式，充要條件的判斷．4、C【解題分析】

先對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法求最小值，再由基本不等式求出的最小值，結(jié)合題中條件，列出方程，即可求出結(jié)果.【題目詳解】由得，由得；由得；因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以；又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故（當(dāng)且僅當(dāng)與同時取最小值時，等號成立）因為存在實數(shù)使得，所以，解得.故選C【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，以及由基本不等式求最小值，熟記利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法，以及熟記基本不等式即可，屬于?？碱}型.5、C【解題分析】f′(x)＝，則f′(1)＝1，故函數(shù)f(x)在點(1，－2)處的切線方程為y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.故選C6、D【解題分析】

，選D.7、D【解題分析】由題設(shè)可得方程組，由，代入，聯(lián)立兩個等式可得，由此解得，應(yīng)選答案D。8、B【解題分析】

由虛數(shù)的定義求解．【題目詳解】復(fù)數(shù)的虛部是－1．故選：B．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的概念是解題基礎(chǔ)．9、B【解題分析】由題意可知：SM=20，∠NMS=45°∴SM與正東方向的夾角為75°，MN與正東方向的夾角為60°，∴SNM=105°，∠MSN=30°?MNS中利用正弦定理可得MNMN=∴貨輪的速度v=故選B10、B【解題分析】

由拋物線方程化標(biāo)準(zhǔn)方程為，再由焦半徑公式，可求得?！绢}目詳解】拋物線為，由焦半徑公式，得。選B.【題目點撥】拋物線焦半徑公式：拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。拋物線，的焦半徑公式。11、B【解題分析】

先由等差數(shù)列的求和公式，得到，再由基本不等式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因為在等差數(shù)列中，所以，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為4.故選B?！绢}目點撥】本題主要考查基本不等式求積的最大值，熟記等差數(shù)列的求和公式以及基本不等式即可，屬于?？碱}型.12、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的性質(zhì)分別對選項進行判斷即可【題目詳解】對于A，為奇函數(shù)，在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，不滿足題意；對于B,為偶函數(shù)，在區(qū)間上為單調(diào)遞減的函數(shù)，故B滿足題意；對于C,為偶函數(shù)，在區(qū)間上為周期函數(shù)，故C不滿足題意；對于D,為偶函數(shù)，在區(qū)間為單調(diào)增函數(shù)，故D不滿足題意；故答案選B【題目點撥】本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求熟練掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或,【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)列方程解得即可.【題目詳解】因為,所以根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可得或,解得或,經(jīng)檢驗均符合題意.故答案為:或.【題目點撥】本題考查了組合數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)分步計數(shù)原理計算可得.【題目詳解】從名女生中選出二人,有種選法,從5名男生中選出二人,有種選法,所以根據(jù)分步計數(shù)原理可得,從名男生和名女生中各選出名參加一個演唱小組，共有種不同的選法.故答案為:30.【題目點撥】本題考查了分步計數(shù)原理,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解題分析】

用項式定理展開式通項公式求得第4項和第5項，由其和為0求得．【題目詳解】二項式展開式的第項為，第5項為，∴，解得．故答案為：1．【題目點撥】本題考查二項式定理，考查二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．16、4或9.【解題分析】分析：先根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)得，解方程得結(jié)果詳解：因為＝，所以因此點睛：組合數(shù)性質(zhì)：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或.【解題分析】

（1）由極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，即可得出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由（1）先確定是圓心為，半徑為2的圓，再由曲線的參數(shù)方程得到其普通方程，根據(jù)點到直線的距離公式即可求出結(jié)果.【題目詳解】解：（1）因為，所以，所以.將，，代入上式，得的直角坐標(biāo)方程為.（2）將化為，所以是圓心為，半徑為2的圓.將的參數(shù)方程化為普通方程為，所以，解得或.【題目點撥】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以參數(shù)方程與普通方程的互化，熟記公式即可求解，屬于?？碱}型.18、（1）（2）【解題分析】

（1）利用平方和為1消去參數(shù)得到曲線C的直角坐標(biāo)方程，再利用，整理即可得到答案；（2）將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出圓心到直線的距離，加上半徑即可得到最大距離.【題目詳解】（1）由，得，兩式兩邊平方并相加，得，所以曲線表示以為圓心，2為半徑的圓.將代入得，化簡得所以曲線的極坐標(biāo)方程為（2）由，得，即，得所以直線的直角坐標(biāo)方程為因為圓心到直線的距離，所以曲線上的點到直線的最大距離為.【題目點撥】本題考查直角坐標(biāo)方程，參數(shù)方程及極坐標(biāo)方程之間的互化，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）證明見詳解；（2）或；（3）【解題分析】

（1）根據(jù)“保值函數(shù)”的定義分析即可（2）按“保值函數(shù)”定義知，，轉(zhuǎn)化為是方程的兩個不相等的實根，利用判別式求解即可（3）去掉絕對值，轉(zhuǎn)化為不等式組，分離參數(shù)，利用函數(shù)最值解決恒成立問題.【題目詳解】（1）函數(shù)在時的值域為，不滿足“保值函數(shù)”的定義，因此函數(shù)不是定義域上的“保值函數(shù)”.（2）因為函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，因此，，因此是方程的兩個不相等的實根，等價于方程有兩個不相等的實根.由解得或.（3），，即為對恒成立.令，易證在單調(diào)遞增，同理在單調(diào)遞減.因此，，.所以解得.又或，所以的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查了新概念，函數(shù)的單調(diào)性，一元二次方程有解，絕對值不等式，恒成立，屬于難題.20、（1）；（2）對一切正整數(shù)，有.【解題分析】

（1）運用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項公式，可得所求；（2）對一切正整數(shù)n，有，考慮當(dāng)時，，再由裂項相消求和，即可得證?！绢}目詳解】（1）當(dāng)時，兩式做差得，，當(dāng)時，上式顯然成立，。（2）證明：當(dāng)時，可得由可得即有<則當(dāng)時，不等式成立。檢驗時，不等式也成立，綜上對一切正整數(shù)n，有?！绢}目點撥】本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列求和，考查裂項法的運用，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．21、（1）；（2）不存在.【解題分析】

（1）由已知，利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求，利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為，由不等式的傳遞性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值為，而，故不存在．【題目詳解】（1）由，得，且當(dāng)時取等號．故，且當(dāng)時取等號．所以的最小值為；（2）由（1）知，．由于，從而不存在，使得成立．【考點