湖南省株洲市茶陵二中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達標(biāo)檢測試題含解析

湖南省株洲市茶陵二中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達標(biāo)檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已定義在上的函數(shù)無極值點，且對任意都有，若函數(shù)在上與具有相同的單調(diào)性，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．若曲線在處的切線，也是的切線，則（）A． B．1 C．2 D．3．兩個半徑都是的球和球相切，且均與直二面角的兩個半平面都相切，另有一個半徑為的小球與這二面角的兩個半平面也都相切，同時與球和球都外切，則的值為（）A． B． C． D．4．歐拉公式(為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”，根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．5．已知集合，,則等于()A． B． C． D．6．若，則（）A． B．C． D．7．從甲地去乙地有3班火車，從乙地去丙地有2班輪船，則從甲地去丙地可選擇的旅行方式有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種8．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對、兩變量的線性相關(guān)性做試驗，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)與殘差平方和如表：甲乙丙丁0.820.780.690.85106115124103則哪位同學(xué)的試驗結(jié)果體現(xiàn)、兩變量有更強的線性相關(guān)性（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁9．已知X的分布列為X－101P設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A． B．4 C．－1 D．110．函數(shù)的最大值為（）A． B．1 C．4033 D．11．已知集合，集合，則集合的子集個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知是四面體內(nèi)任一點，若四面體的每條棱長均為，則到這個四面體各面的距離之和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線上的點到其焦點的距離為______.14．設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，，，則______.15．某學(xué)校食堂早餐只有花卷、包子、面條和蛋炒飯四種主食可供食用，有5名同學(xué)前去就餐，每人只選擇其中一種，且每種主食都至少有一名同學(xué)選擇．已知包子數(shù)量不足僅夠一人食用，甲同學(xué)腸胃不好不會選擇蛋炒飯，則這5名同學(xué)不同的主食選擇方案種數(shù)為________．（用數(shù)字作答）16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點是橢圓：上第一象限的點，為坐標(biāo)原點，，分別為橢圓的右頂點和上頂點，則四邊形的面積的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）[選修4-4：坐標(biāo)系及參數(shù)方程]已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程及曲線上的動點到坐標(biāo)原點的距離的最大值；（2）若曲線與曲線相交于，兩點，且與軸相交于點，求的值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，，，，，，.（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值；20．（12分）某同學(xué)參加了今年重慶市舉辦的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三門學(xué)科競賽的初賽，在成績公布之前，老師估計他能進復(fù)賽的概率分別為、、，且這名同學(xué)各門學(xué)科能否進復(fù)賽相互獨立．（1）求這名同學(xué)三門學(xué)科都能進復(fù)賽的概率；（2）設(shè)這名同學(xué)能進復(fù)賽的學(xué)科數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．21．（12分）在四棱錐中，，，，為棱上一點（不包括端點），且滿足.（1）求證：平面平面；（2）為的中點，求二面角的余弦值的大小.22．（10分）已知函數(shù).（1）求；（2）求的極值點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：易得函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，令，則，（為常數(shù)），求出的單調(diào)性，從而求出在的單調(diào)性，得到在恒成立，求出的范圍即可．詳解：∵定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)無零點，∴函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，

令，則，在]恒成立，故在遞增，

結(jié)合題意在上遞增，

故在恒成立，

故在恒成立，故，

故選A．點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題2、C【解題分析】

求出的導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，可得切線方程，再設(shè)與曲線相切的切點為（m，n），得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，解方程可得m，n，進而得到b的值．【題目詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y＝ex，曲線在x＝0處的切線斜率為k＝=1，則曲線在x＝0處的切線方程為y﹣1＝x；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y＝，設(shè)切點為（m，n），則＝1，解得m＝1，n＝1，即有1＝ln1+b，解得b＝1．故選A．【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

取三個球心點所在的平面，過點、分別作、，垂足分別為點，過點分別作，，分別得出、以及，然后列出有關(guān)的方程，即可求出的值．【題目詳解】因為三個球都與直二面角的兩個半平面相切，所以與、、共面，如下圖所示，過點、分別作、，垂足分別為點，過點分別作，，則，，，，，，所以，，等式兩邊平方得，化簡得，由于，解得，故選D．【題目點撥】本題主要考查球體的性質(zhì)，以及球與平面相切的性質(zhì)、二面角的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想與空間想象能力，屬于難題．轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的靈魂，合理的轉(zhuǎn)化不僅僅使問題得到了解決，還可以使解決問題的難度大大降低，本題將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解題的關(guān)鍵.4、C【解題分析】

先由題意得到，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得：，所以虛部為.故選C【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的應(yīng)用，熟記復(fù)數(shù)的概念即可，屬于?？碱}型.5、C【解題分析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集確定出，然后利用交集的定義求解即可.詳解：由中不等式變形得，解得，即，因為，，故選C.點睛：研究集合問題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究兩集合的關(guān)系時，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實質(zhì)求滿足屬于集合且屬于集合的元素的集合.本題需注意兩集合一個是有限集，一個是無限集，按有限集逐一驗證為妥.6、A【解題分析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而判斷大小.【題目詳解】①令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，即，故A正確．B錯誤.②令，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，易知C，D不正確，故選A．【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.7、B【解題分析】由分步計數(shù)原理得，可選方式有2×3＝6種．故選B．考點：分步乘法計數(shù)原理．8、D【解題分析】試題分析：由題表格；相關(guān)系數(shù)越大，則相關(guān)性越強．而殘差越大，則相關(guān)性越小．可得甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，中丁的線性相關(guān)性最強．考點：線性相關(guān)關(guān)系的判斷．9、A【解題分析】由條件中所給的隨機變量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案為：A．10、C【解題分析】,選C.11、D【解題分析】

因為直線與拋物線有兩個交點，可知集合的交集有2個元素，可知其子集共有個.【題目詳解】由題意得，直線與拋物線有2個交點，故的子集有4個.【題目點撥】本題主要考查了集合的交集運算，子集的概念，屬于中檔題.12、A【解題分析】

先求出正四面體的體積，利用正四面體的體積相等，求出它到四個面的距離.【題目詳解】解：因為正四面體的體積等于四個三棱錐的體積和，

設(shè)它到四個面的距離分別為，

由于棱長為1的正四面體，四個面的面積都是；

又頂點到底面的投影在底面的中心，此點到底面三個頂點的距離都是高的，

又高為，

所以底面中心到底面頂點的距離都是；

由此知頂點到底面的距離是；

此正四面體的體積是.

所以：，

解得.

故選：A.【題目點撥】本題考查了正四面體的體積計算問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力與計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解題分析】

先計算拋物線的準(zhǔn)線，再計算點到準(zhǔn)線的距離.【題目詳解】拋物線，準(zhǔn)線為：點到其焦點的距離為點到準(zhǔn)線的距離為5故答案為5【題目點撥】本題考查了拋物線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于拋物線的理解.14、【解題分析】

先計算，歸納猜想【題目詳解】由，，，可得，，歸納猜想：故答案為【題目點撥】本題考查了數(shù)列通項公式的歸納猜想，意在考查學(xué)生的歸納猜想能力.15、1【解題分析】

分類討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，剩下2人選其余主食；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，或沒有人選甲選的主食，相加后得到結(jié)果．【題目詳解】分類討論：甲選包子，則有2人選同一種主食，方法為=18，剩下2人選其余主食，方法為=2，共有方法18×2=36種；甲不選包子，其余4人中1人選包子，方法為4種，甲花卷或面條，方法為2種，其余3人，若有1人選甲選的主食，剩下2人選其余主食，方法為3=6；若沒有人選甲選的主食，方法為=6，共有4×2×（6+6）=96種，故共有36+96=1種，故答案為：1．【題目點撥】(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類；二是按事情發(fā)生的過程進行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．16、【解題分析】分析：的面積的最大值當(dāng)?shù)街本€距離最遠的時候取得。詳解：，當(dāng)?shù)街本€距離最遠的時候取得的最大值，設(shè)直線，所以，故的最大值為。點睛：分析題意，找到面積隨到直線距離的改變而改變，建立面積與到直線距離的函數(shù)表達式，利用橢圓的參數(shù)方程求解距離的最值。本題還可以用幾何法分析與直線平行的直線與橢圓相切時，為切點，到直線距離最大。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解題分析】【試題分析】(I)將方程展開后化為直角坐標(biāo)方程,利用勾股定理求得的長度并求得其最大值.(II)求出直線的參數(shù)方程,代入橢圓方程,利用直線參數(shù)的幾何意義求得的值.【試題解析】（Ⅰ）由得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為根據(jù)題意得，因此曲線上的動點到原點的距離的最大值為（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線與軸交點的坐標(biāo)為，曲線的參數(shù)方程為:，曲線的直角坐標(biāo)方程為聯(lián)立得……8分又，所以18、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）先證明，，再證明平面；（2）連接，求出AC,CB的長，再求四棱錐的體積.【題目詳解】（1）證明：因為，，所以，即，同理可得，因為，所以平面.（2）解：連接，，，..【題目點撥】本題主要考查線面垂直關(guān)系的證明，考查錐體的體積是計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)最大值為0，最小值為.【解題分析】

通過求導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，進而判斷函數(shù)在的最值.【題目詳解】（1）的定義域為.對求導(dǎo)得，因函數(shù)定義域有，故，由.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上的最大值為.又，，且，∴在上的最小值為，∴在上的最大值為0，最小值為.【題目點撥】此題是函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)最值的常見題，通常利用導(dǎo)數(shù)來處理．20、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1），根據(jù)相互獨立事件的概率的求法，即可求解三科都能進復(fù)賽的概率；（2）由題意，可得隨機變量X可取，利用相互獨立事件的概率求法，求得隨機變量取每個值的概率，即可求得隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．詳解：設(shè)三科能進復(fù)賽的事件分別為A、B、C，則，，．（1）三科都能進復(fù)賽的概率為；（2）X可取0，1，2，1．；；；．所以，X的分布列為：X0121P數(shù)學(xué)期望點睛：本題主要考查了相互獨立事件的概率的計算，以及隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解，此類問題的解答中要認(rèn)真審題，合理計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力．21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)傳遞性，由平面，得到平面平面（2）作于點，過點作，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各平面法向量后根據(jù)夾角公式求得二面角余弦值【題目詳解】（1）證明：因為，，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）如圖，作于點，過點作，則，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，直線，，分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，所以，又，所以，，，所以，，，，.因為為的中點，所以.，，令為平面的法向量，則有即不妨設(shè)，則.易知平面的一個法向量為，.因為二