2024屆廣東省七校聯(lián)合體數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆廣東省七校聯(lián)合體數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值無(wú)最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．2．下列命題正確的是（）A．若，則B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“”、“”、“”中至少有一個(gè)為假命題D．“若，則，全為0”的逆否命題是“若，全不為0，則”3．若，則“復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．命題，，則為（）A．， B．，C．， D．，5．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（）A．16 B．70 C．560 D．11206．某班4名同學(xué)參加數(shù)學(xué)測(cè)試，每人通過(guò)測(cè)試的概率均為，且彼此相互獨(dú)立，若X為4名同學(xué)通過(guò)測(cè)試的人數(shù)，則D（X）的值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．的展開(kāi)式中只有第5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)是（）A． B． C． D．9．已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，且，則實(shí)數(shù)的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．011．已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若且的周長(zhǎng)為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，，，，則、、滿足（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，.已知矩陣，其中，，那么B=________.14．有甲、乙、丙三項(xiàng)不同任務(wù)，甲需由人承擔(dān)，乙、丙各需由人承擔(dān)，從人中選派人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有__________種．（用數(shù)字作答）15．在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)（3，0）且與極軸垂直的直線交曲線于A、B兩點(diǎn)，則="______________________."16．已知復(fù)數(shù)z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，以為折痕將向上折起，變?yōu)?，且平面平面．?）求證：；（2）求二面角的大?。?8．（12分）已知．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立．19．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量為α120．（12分）已知直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（Ⅰ）求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;（Ⅱ）若過(guò)且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點(diǎn)，，求.21．（12分）已知函數(shù).（1）若函數(shù)與相切于點(diǎn)，求的值；（2）若是函數(shù)圖象的切線，求的最小值.22．（10分）（．在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某10張券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒(méi)獎(jiǎng)．某顧客從此10張獎(jiǎng)券中任抽2張，求：（1）該顧客中獎(jiǎng)的概率；（2）該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X（元）的概率分布列．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上有最大值無(wú)最小值，即導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)在上，計(jì)算得到答案.【題目詳解】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有最大值無(wú)最小值即在有零點(diǎn)，且滿足：即故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)為二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.2、C【解題分析】分析：根據(jù)命題條件逐一排除求解即可.詳解：A.若，則,當(dāng)a為0時(shí)此時(shí)結(jié)論不成立，故錯(cuò)誤；B.“”是“”的必要不充分條件，當(dāng)x=4時(shí)成立，故正確結(jié)論應(yīng)是充分不必要；D.“若，則，全為0”的逆否命題是“若，全不為0，則”應(yīng)該是若，不全為0，故錯(cuò)誤，所以綜合可得選C點(diǎn)睛：考查對(duì)命題的真假判定，此類題型逐一對(duì)答案進(jìn)行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以輕心，屬于易錯(cuò)題.3、C【解題分析】

先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)成形式，得其共軛復(fù)數(shù)，通過(guò)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關(guān)系．【題目詳解】，所以共軛復(fù)數(shù)，因?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限所以，解得所以“復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限”是“”充要條件，故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與充要關(guān)系，解題的關(guān)鍵是先通過(guò)條件求出的取值范圍，屬于一般題．4、C【解題分析】

含有一個(gè)量詞命題的否定方法：改變量詞，否定結(jié)論.【題目詳解】量詞改為：，結(jié)論改為：，則，.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查含一個(gè)量詞命題的否定，難度較易.含一個(gè)量詞命題的否定方法：改量詞，否結(jié)論.5、D【解題分析】

設(shè)含的為第，所以，故系數(shù)為：，選D．6、A【解題分析】

由題意知X～B（4，），根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式進(jìn)行求解即可．【題目詳解】∵每位同學(xué)能通過(guò)該測(cè)試的概率都是，且各人能否通過(guò)測(cè)試是相互獨(dú)立的，∴X～B（4，），則X的方差D（X）＝4（1）＝1，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的方差的計(jì)算，根據(jù)題意得到X～B（4，）是解決本題的關(guān)鍵．7、A【解題分析】

先將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)，最后根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)確定象限.【題目詳解】解：∵，∴，∴復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點(diǎn)睛：首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實(shí)部為、虛部為、模為、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為、共軛為8、C【解題分析】

根據(jù)只有第5項(xiàng)系數(shù)最大計(jì)算出，再計(jì)算展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)【題目詳解】只有第5項(xiàng)系數(shù)最大,展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù),系數(shù)為故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、C【解題分析】

先判斷時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，轉(zhuǎn)化為在上恒成立．【題目詳解】∵，即，（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)函數(shù)單增，當(dāng)函數(shù)單減，故，所以．當(dāng)時(shí)，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行綜合分析．10、C【解題分析】分析：利用導(dǎo)數(shù)法，可得當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)取極大值m+2，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極小值m﹣2，結(jié)合方程f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．詳解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，則x=±1，當(dāng)x＜﹣1，或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；故當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)取極大值m+2，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故選：C．點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值，方程根的個(gè)數(shù)判斷，難度中檔．對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，它和方程的根的問(wèn)題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題是同一個(gè)問(wèn)題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含參的函數(shù)，注意讓含參的函數(shù)式子盡量簡(jiǎn)單一些。11、D【解題分析】

設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，則根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得為矩形，，由條件可得，由雙曲線的定義，再由勾股定理可解得離心率.【題目詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為，由.根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性得為矩形，如圖，.又的周長(zhǎng)為，則…………①.由雙曲線的定義………………②由①，②得.在直角三角形中,.則，即，所以.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的對(duì)稱性和定義，求雙曲線的離心率，屬于難題.12、B【解題分析】

由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)在上單調(diào)遞增，并比較出三個(gè)正數(shù)、、的大小關(guān)系，利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【題目詳解】偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，，，，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，解題時(shí)要利用自變量的大小關(guān)系并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較函數(shù)值的大小，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)條件列方程組，解得結(jié)果.【題目詳解】由定義得，所以故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查矩陣運(yùn)算，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14、60【解題分析】分析：先從5人中選4人（組合），再給4個(gè)人分派3項(xiàng)任務(wù)，甲需2人，乙、丙各需由人。詳解：先從5人中選4人（組合），再給4個(gè)人分派3項(xiàng)任務(wù)，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一樣故要排列）。共有60種。點(diǎn)睛：分配問(wèn)題，先分組（組合）后分派（排列）。15、【解題分析】

解：過(guò)點(diǎn)（3，0）且與極軸垂直的直線方程為x=3，曲線ρ=1cosθ即ρ2=1ρcosθ，即x2+y2=1x，（x-2）2+y2=1．把x=3代入（x-2）2+y2=1可得y=±，故|AB|=216、-1.【解題分析】分析：由復(fù)數(shù)的實(shí)部等于0且虛部不等于0列式求解m的值.詳解：由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得，解得.故答案為-1.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查了復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見(jiàn)證明；（2）90°【解題分析】

（1）利用垂直于所在的平面，從而證得；（2）找到三條兩兩互相垂直的直線，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，再分別求出兩個(gè)面的法向量，，最后求法向量的夾角的余弦值，進(jìn)而得到二面角的大小.【題目詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，從而，，.設(shè)為平面的法向量，則令，所以，設(shè)為平面的法向量，則，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小為.【題目點(diǎn)撥】證明線線垂直的一般思路：證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，所以根據(jù)題目所給的圖形，觀察并確定哪一條線垂直于哪一條線所在的平面，是證明的關(guān)鍵.18、（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析【解題分析】試題分析：（Ⅰ）求的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，求的單調(diào)性；（Ⅱ）要證對(duì)于任意的成立，即證，根據(jù)單調(diào)性求解.試題解析：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，.（1），，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；（2）時(shí)，，在內(nèi)，，單調(diào)遞增；（3）時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時(shí)，，，令，.則，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).又，設(shè)，則在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上存在使得時(shí)，時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，由于，因此，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，所以，即對(duì)于任意的恒成立?！究键c(diǎn)】利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)誤百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等.19、A=【解題分析】

運(yùn)用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【題目詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【題目點(diǎn)撥】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運(yùn)用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡(jiǎn)單20、（Ⅰ），（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，即可求得直線的直角坐標(biāo)方程，消去參數(shù)，即可求得曲線的普通方程；（Ⅱ）求得直線的參數(shù)方程，代入橢圓的方程，利用直線參數(shù)的幾何意義，即可求解．【題目詳解】（Ⅰ）由直線極坐標(biāo)方程為，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得直線直角坐標(biāo)方程：，由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則，整理得，即橢圓的普通方程為．（Ⅱ）直線的參數(shù)方程為，即（為參數(shù)）把直線的參數(shù)方程代入得：，故可設(shè)，是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，則有又直線過(guò)點(diǎn)，故由上式及的幾何意義得：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線參數(shù)的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用函數(shù)與相切于點(diǎn)，切線即可求的值.（2）若是函數(shù)圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)，表達(dá)函數(shù)的切線方程，表達(dá)，構(gòu)造新函數(shù)，求其最小值即可.【題目詳解】（1）由函數(shù)，則，，.所以，.（2）設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，即，亦即，由題意得.∴令.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；∴∴的最小值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.22、（1）；（2）分布列見(jiàn)解析.【解題分析】

⑴運(yùn)用古典概率方法，從有獎(jiǎng)