相似三角形-2022年《三步?jīng)_刺中考數(shù)學(xué)》之第1步重課本·理考點(diǎn)(解析版)

專題16相似三角形

許考分布「

7k

相似三角形是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的重難點(diǎn)知識(shí)，中考中多以選擇題、填空題、解答題的形式

出現(xiàn)，主要考查基本概念、基本技能，知識(shí)點(diǎn)之間相互轉(zhuǎn)化與穿插，難度系數(shù)較難。主要體

現(xiàn)的思想方法：轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等。

1.了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例。線段與黃金分割；

2.了解相似的意義；理解相似圖形的性質(zhì)，了解相似三角形判定定理和性質(zhì)定理；

3.了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮?。?

4.利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題（如利用相似測(cè)矍旗桿的）。

殺識(shí)框袤

I”-------------■-二----------

形狀相同、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的圖形

兩個(gè)比值相萼的式子

形狀相罔

對(duì)應(yīng)角相等

備—J對(duì)應(yīng)邊成比例

--------面積比是對(duì)應(yīng)邊比值的平方

周長(zhǎng)比等于對(duì)應(yīng)邊之比

相似三角形的定義

表示方式

相似比

相似三角形的對(duì)應(yīng)向相等

相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

相似三角形的對(duì)應(yīng)高線的比等于相似比

相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比

相似三角形性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比

相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比

相似三角掄的面枳比等于相似比的平方

相似三角形具有傳遞性

兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等

____________________具備普通三角」的般方法

直角三角形—一條直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例

重要考廠I

考點(diǎn)一：相似圖形中的比例問題

主要利用相似三角形的性質(zhì)定理，相似三角形的對(duì)應(yīng)線段比值等于相似比，周長(zhǎng)比值對(duì)應(yīng)相

似比，面積比值對(duì)應(yīng)相似比的平方。在求解三角形邊長(zhǎng)的過程中，通過相似求解對(duì)應(yīng)高和底

的比值即可解決相關(guān)三角形對(duì)應(yīng)線段，對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)，對(duì)應(yīng)面積的比值求解問題。

主要知識(shí)點(diǎn)概括：

(一).比例

1.第四比例項(xiàng)、比例中項(xiàng)、比例線段；

2.比例性質(zhì)：

]abj

(1)基本性質(zhì)：-=—<=>ad=be—=—ob-=ac

bdbc

aca+bc+d

(2)合比定理：一=—n--

bdbd

cma+c+???+ma,,八、

(3)等比定理：-———.??—二>------------------=—.(/z?+dH------F〃w0)

bdnb+dT-----\-nb

3.黃金分割：如圖，若PA?=PBAB,則點(diǎn)P為線段AB的黃金分割點(diǎn).A。？八B

4.平行線分線段成比例定理

如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。

(二湘似

1.定義:我們把具有相同形狀的圖形稱為相似形.

2.相似多邊形的特性:相似多邊的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等.

3.相似三角形的判定

(1)平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

(2)如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似。

(3)如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角

形相似。

(4)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形

相似。

4.相似三角形的性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等.

(2)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比.

(3)相似三角形的面積比等于相似比的平方.

(4)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線、角平分線的比等于相似比.

5.三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。

6相似三角形的應(yīng)用：

1、利用三角形相似，可證明角相等；線段成比例(或等積式)；

2、利用三角形相似，求線段的長(zhǎng)等

3、利用三角形相似，可以解決一些不能直接測(cè)量的物體的長(zhǎng)度。如求河的寬度、求建筑物

的高度等。

7.位似

定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么這樣

的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比?因此，位似

圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.

性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.

注意：（1）位似圖形是相似圖形的一個(gè)特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定

是位似圖形.

（2）兩個(gè)位似圖形不僅相似而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或在同一直線上

考點(diǎn)二：主要考查其他幾何性質(zhì)在相似三角形的中的綜合應(yīng)用，以及如何做好輔助線，構(gòu)造

相似或者相似三角形所需要的條件。

1、角平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)；

2、直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)；

3、相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí);

4、正確作出輔助線，構(gòu)造相似或者相似三角形所需要的條件。

考點(diǎn)三:相似三角形與圓的結(jié)合

圓周角定理，或者圓的切線性質(zhì)，

垂徑定理，從而轉(zhuǎn)化到等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形；

以此與圓相交的直線構(gòu)成三角形，通過角度相等來獲得相似三角形，再由相似三角形對(duì)應(yīng)邊

比值來求得線段長(zhǎng)度。

加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問題

一、單選題

1.（2021?湖南湘西?中考真題）如圖，在AECD中，NC=9O。，AB_LEC于點(diǎn)B,AB=].2,

EB=1.6,BC=12.4,則CD的長(zhǎng)是（）

A.14B.12.4C.10.5D.9.3

【答案】C

【分析】

由題意易得NABE=NC=90。，EC=14,則有AB〃CD,然后可得AABESAOCE,然后根

據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求解.

【解析】

解：VZC=90°,AB1EC,

ZABE=ZC=90°,

AB//CD,

△ABEs&DCE，

ABEB

CD~1EC

AB=1.2,EB=1.6,BC=12.4,

￡0=14,

1.21.6

~CD~~14

CD=10.5；

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

AnAp\

2.（2021?四川巴中?中考真題）如圖，“8C中，點(diǎn)。、E分別在A8、4C上，且能二凈之

DBEC2

下列結(jié)論正確的是（）

A.DE：BC=1：2

B.AAOE與AABC的面積比為1：3

C.AAOE與AABC的周長(zhǎng)比為1：2

D.DE//BC

【答案】D

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.

【解析】

AE

V—一，

DBEC2

：.AD：AB=AE：AC=\：3,

NA=NA,

AADE^AABC,

：.DE-BC=1：3,故A錯(cuò)誤；

,//\ADE^/\ABC,

；.△AOE與AA8C的面積比為I：9,周長(zhǎng)的比為1；3,故8和C錯(cuò)誤；

,//\ADE^/\ABC,

：.NADE=NB,

：.DE//BC.故。正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì).

3.（2021.遼寧沈陽?中考真題）如圖，AABC與△A8C位似，位似中心是點(diǎn)O,若

。4:。4=1:2,貝IJ△45c與",耳G的周長(zhǎng)比是（）

Ai

A.1:2B.1:3C.1:4D.1:72

【答案】A

【分析】

根據(jù)位似圖形的概念得到AABCs^A與G，AC〃A￡,進(jìn)而得出AAOCs^A0G，根據(jù)

相似三角形的性質(zhì)解答即可.

【解析】

解：?.?AABC與△AB?位似，

AABCs△%B￡,AC//AG,

??.A40cs△AOG,

.ACOA\

'^C~~OA~2,

...AABC與△AAG的周長(zhǎng)比為1:2,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)，掌握位似圖形是相似圖形、位似圖形的

對(duì)應(yīng)邊平行是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?廣西百色?中考真題）下列四個(gè)命題：①直徑是圓的對(duì)稱軸；②若兩個(gè)相似四邊形

的相似比是1：3,則它們的周長(zhǎng)比是1：3,面積比是1：6;③同一平面內(nèi)垂直于同一直線

的兩條直線互相平行；④對(duì)角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形.其中真命題有

（）

A.①③B.①④C.③④D.②③④

【答案】C

【分析】

根據(jù)有關(guān)性質(zhì)，對(duì)命題逐個(gè)判斷即可.

【解析】

解：①直徑是圓的對(duì)稱軸，直徑為線段，對(duì)稱軸為直線，應(yīng)該是直徑所在的直線是圓的對(duì)稱

軸，為假命題：

②若兩個(gè)相似四邊形的相似比是1：3,面積比是1：9,而不是1：6,為假命題；

③根據(jù)平行和垂直的有關(guān)性質(zhì)，可以判定為真命題：

④根據(jù)正方形的判定方法，可以判定為真命題；

故答案選C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了命題的判定，熟練掌握命題有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（2020?四川成都?中考真題）如圖，直線/"34，直線4c和。尸被12,4所截，AB=5,

BC=6,EF=4,則OE的長(zhǎng)為（）

10

A.2B.3C.4D.T

【答案】D

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入已知線段得長(zhǎng)度求解即可.

【解析】

解：??,直線h〃12〃b，

.ABDE

**BC-EF,

VAB=5,BC=6,EF=4,

-5_DE

??一=.

64

.nn_10

3

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是

解此題的關(guān)鍵.

6.(2020.貴州遵義.中考真題)如圖，AABO的頂點(diǎn)A在函數(shù)y=A(x>0)的圖象上，ZABO

X

=90。，過A。邊的三等分點(diǎn)M、N分別作x軸的平行線交A8于點(diǎn)P、Q.若四邊形MNQP

的面積為3,則％的值為()

【答案】D

【分析】

由==0用,9〃2知//08得到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)得到三角形之

間的面積關(guān)系，利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可得答案.

【解析】

解：AN=NM^OM,NQ//PM//OB,

:.zMi*4AMp4MAps

.S6MIQ_(AN)_I

四邊形MNQP的面積為3,

.S<MN2_J_

''Q+3-4'

?&ANQ十。,

SIANQ=1,

"'?$A4Mp=4,

?,^MOH=9，

，k=2SMOB=18.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，掌握以上知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

7.（2019?廣西玉林?中考真題）如圖，AB//EF//DC,AD//BC,EF與AC交于點(diǎn)G,則

是相似三角形共有（）

A.3對(duì)B.5對(duì)C.6對(duì)D.8對(duì)

【答案】C

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定即可判斷.

【解析】

圖中三角形有：AAEG,MDC,\CFG,\CBA,

VAB//EF//DC,AD//BC

：.MEG^AADC^ACFG^CBA

共有6個(gè)組合分別為：AAEGsAAOC,MEG^ACFG,SAEG^\CBA,MDC^ACFG,

MDC^^CBA,\CFG^\CBA

故選C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知相似三角形的判定定理.

8.（2021?四川巴中?中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即:

如圖，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)(AP>8P),若滿足三;=蕓，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn).黃

APAB

金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀

眾看上去感覺最好.若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在

舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是()

APB

A.(20-x)2=20XB.f=20(20-x)

C.x(20-x)=202D.以上都不對(duì)

【答案】A

【分析】

RpAp

點(diǎn)P是A8的黃金分割點(diǎn)，且PBV%,PB=x,?JM=20-X,WJ—=—，即可求解.

APAB

【解析】

解：由題意知，點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)，

S.PB<PA,PB=x,則如=20-x,

.BPAP

"~AP~~AB，

(20-JC)2=20X,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題

的關(guān)鍵.

9.(2021?山東濟(jì)南?中考真題)如圖，在AABC中，ZABC=90°,ZC=30°,以點(diǎn)A為圓心,

以A8的長(zhǎng)為半徑作弧交AC于點(diǎn)。，連接8D,再分別以點(diǎn)8,。為圓心，大于;劭的長(zhǎng)

為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線轉(zhuǎn)交BC于點(diǎn)E,連接。E,則下列結(jié)論中不正確的是

()

A

A.BE=DEB.DE垂直平分線段4c

C.=—D.BD?=BC?BE

S?MPC3

【答案】C

【分析】

由題中作圖方法易證AP為線段BD的垂直平分線，點(diǎn)E在AP上，所以BE=DE,再根據(jù),

ZAfiC=90。，NC=30。得到A48D是等邊三角形，由“三線合一''得AP平分NB4C,則

NB4C=NC=30。，AE=CE,且30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，故AB=AO=；AC,

所以DE垂直平分線段AC,證明\EDC~MBC可得型=里即可得到結(jié)論.

ABBC

【解析】

由題意可得：A￡>=A8,點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上

:4)=43，，點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上

?.AP為線段BD的垂直平分線

,??點(diǎn)E在AP上，，BE=DE,故A正確；

ZAfiC=90°,ZC=30°,

二N&4C=60。且48=A?！笰C

2

，為等邊三角形且4)=CD

:.AB=AD=BD,

r.AP平分N8AC

ZEAC=-ZBAC=30°,

2

AE=EC，

；.￡￡>垂直平分AC,故B正確;

■：AECD=ZACB=3G°,ZEDC=ZABC=90°,

:.\EDCs\ABC,

EDCDAB1

商一前一正一⑻

.??電叱=(1=)=：故C錯(cuò)誤;

S^ABC\\3)3

?,?ED=BE,AB=CD=BD

BEBD

~BD~~BC

:.BD2=BCBE,故D正確

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查30。角的直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)為解題關(guān)鍵.

10.（2021?四川綿陽?中考真題）如圖，在△ACD中，4）=6,BC=5,AC2=AB（AB+BC）,

S.^DAB~^DCA,若A￡>=3”，點(diǎn)。是線段A8上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ的最小值是（)

A后B.顯c.fD

22-I

【答案】A

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)舶喘=某得到的*日心4,過8作8人加于從

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AH=；AO=3,根據(jù)勾股定理得到

BH=用=陰萬=用，當(dāng)尸時(shí)，PQ的值最小，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即

可得到結(jié)論.

【解析】

解：-.-^DAB-^DCA,

ADCD

??麗—茄’

.65+BD

~BD~-6-'

解得：BD=4（負(fù)值舍去）,

vADAB-ADCA,

.A。_8_9_3

\\B~~AD~6~29

3

AC=-AB

2f

-AC2=AB（AB+BC）,

..￡回=A3（A3+BC）,

:.AB=4,

..AB=BD=4f

過3作3H_L4）于H,

/.AH=-AD=3,

2

BH=>]AB2-AH2=742-32=>/7，

?.?AO=3AP,AO=6,

AP=2,

當(dāng)PQ_LA3時(shí)，P。的值最小,

ZAQP=ZAHB=90°,Z^42=/BAH

:2PQ?ISABH,

AP_PQ

??茄一麗'

2PQ

-=-j=,

:PQ空,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔

助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

11.(2021.山東聊城?中考真題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)為A(0,2),B(-

1,0),將△AB。繞點(diǎn)。按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A/B/。，若則點(diǎn)4的坐標(biāo)為()

A.(邁，還)B.(姮，述)C.(^)D,(^)

55553355

【答案】A

【分析】

先求出AB,04,再作輔助線構(gòu)造相似三角形，如圖所示，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，求出OC

和4C,即可求解.

【解析】

解:如圖所示，?.?點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(0,2),B(-1,0),

.?.08=1,OA=2,

,,AB=JI2+2?=逐,

*.?ZAOB=90°f

：.ZA/OB/=90°,

：.OAiLOB/f

又〈AB上OBj,

：.OAi//AB,

AZ1=Z2,

過4點(diǎn)作4/CLx軸，

???NA/CO=NAOB,

:./XAOB^A^CO,

.A.OOC\C

??茄一麗―茄’

'：0Ai=0A=2,

20cAe

.?.存=7=可’

0C=|6，/\C=|>/5,

.」2有4用

”〔可三J

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵

是理解并掌握相關(guān)概念，能通過作輔助線構(gòu)造相似三角形等，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想方

法等.

12.（2021?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，已知AD//8C,ABA.BC,A8=3,點(diǎn)E為射線BC

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4E,將△ABE沿4E折疊，點(diǎn)8落在點(diǎn)8'處，過點(diǎn)3'作4。的垂線，分

別交A。，BC于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)&為線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，BE的長(zhǎng)為（）

C.或|忘D.卡或|不

【答案】D

【分析】

因?yàn)辄c(diǎn)為線段MN的三等分點(diǎn)，沒有指明線段ZTM的占比情況，所以需要分兩種情況討

i2

論：②B'M=jMN.然后由一線三垂直模型可證.AMB's/NE,

再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得硒的值，最后由BE=BN-EN即可求得BE的長(zhǎng).

【解析】

當(dāng)點(diǎn)8,為線段的三等分點(diǎn)時(shí)，需要分兩種情況討論：

①如圖1,當(dāng)夕時(shí),

,/AD//BC,ABA.BC,MN工BC,

四邊形AB/VM為矩形，

AB'M=-MN=-AB=},B'N=-MN=-AB=2,BN=AM.

3333

由折疊的性質(zhì)可得A'3=A3=3,ZAB'E=ZABC=90°.

在Rt^AB,M中，AM=ylAB2-B,M2=732-12=2忘.

VZAB'M+AMAB'=90°,ZAB'M+ZEB'N=90°,

：./EB'N=NMAB',

：.AB'NES4AMB',

曷=箸‘即竿=擊’解得硒考，

???BE=BN—EN=2屈一直=^~

22

2

②如圖2,當(dāng)時(shí),

*.?AD//BC,ABLBC,MN1BC,

，四邊形為矩形，

AB'M=-MN=-AB=2,B'N=-MN=-AB=l,BN=AM.

3333

由折疊的性質(zhì)可得AB'=AB=3,ZAB'E=ZABC=9Q°.

在心"夕”中，AM=\lAB'2-B'M2=V32-22=5/5-

?/ZAB'M+AMAB'=9^Q,/AB'M+/EB'N=90。，

:.ZEB，N=/MAB',

:?4B'NEsAAMB',

?ENB'NnnEN1

>?----=----,即=-=~F=解得EN=—

B,MAM2y/55

JBE=BN-EN=y/5-^-=—,

55

綜上所述，防的長(zhǎng)為乎或管.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，由9為線段MV的三等分

點(diǎn)，分兩種情況討論線段B'M的占比情況，以及利用K型相似進(jìn)行相關(guān)計(jì)算是解決此題的

關(guān)鍵.

二、填空題

13.（2021?湖南湘潭?中考真題）如圖，在“U5C中，點(diǎn)。，E分別為邊AB,AC上的點(diǎn)，

試添加一個(gè)條件：,使得AADE與AMC相似.（任意寫出一個(gè)滿足條件的即可）

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定方法：兩邊成比例，夾角相等解題.

【解析】

AnAp

解：根據(jù)題意，添加條件法=就,

ZA=ZA

&ADE~^ABC

ADAE

故答案為:

Afi-AC

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

14.（2021?上海長(zhǎng)寧?一模）如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線之比為5：4.那么這兩個(gè)

三角形的周長(zhǎng)之比為.

【答案】5:4

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可直接得出結(jié)論.

【解析】

解：：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)中線的比為5：4,

，其相似比為5：4,

；?這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)的比為5：4.

故答案為：5：4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形（多邊形）的周長(zhǎng)的比等于相似比是解題的

關(guān)鍵.

15.（2021?黑龍江大慶?中考真題）已知?jiǎng)t匚匯=________

234yz

【答案】|

O

【分析】

設(shè)再將x，y，z分別用左的代數(shù)式表示，再代入約去上即可求解.

【解析】

解：設(shè)]=]=j=人力0，

則x=2億y=3Z,z=4k,

以f+孫Qk）2+2kx3k4公+6尸10公

故------=------------=---------=----=—5

yz3kx4kUk212k26

故答案為：。.

o

【點(diǎn)睛】

本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關(guān)鍵.

16.（2021.上海.中考真題）如圖，已知/也=5,則產(chǎn)=_________.

、ABCD乙、cBCD

D

【答案】|2

【分析】

先根據(jù)等高的兩個(gè)三角形的面積比等于邊長(zhǎng)比，得出差=再根據(jù)△4。。62\。。8得出

DC2

%=嬰=〈，再根據(jù)等高的兩個(gè)三角形的面積比等于邊長(zhǎng)比計(jì)算即可

OB2

【解析】

解：作AE_L8C,CF±BD

S1

?S-2

°ABCD4

.,.△ABD和△88等高，高均為AE

o—AZ)?AEani

:.S“BD-2______JDJ

S.BCD-BC-AEBC5

2

U：AD//BC

：.△AODs^COB

.OPAD

U9~OB~~BC~2

,?,△BOC和△OOC等高，高均為CF

Q—OB'CFCA0

??.S.BOC=2=OB=2

S.DOC-ODCF°。1

2

.S.BOC=2

S-BCD3

2

故答案為：y

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等高的兩個(gè)三角形的面積比等于邊長(zhǎng)比，熟練掌握三角

形的面積的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵

17.（2021.湖南郴州?中考真題）下圖是一架梯子的示意圖，其中AA//BBJ/CCJ2D、,且

AB=BC=CD.為使其更穩(wěn)固，在A,2間加綁一條安全繩（線段4。），量得AE=0.4m,

則明=________

【答案】1.2

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得AE=EF=FQ,進(jìn)而即可求解.

【解析】

解：,/AA,HBB\HCC\HDD\,AB=BC=CD,

AE=EF=皿，

A￡=0.4m,

ADt=3A￡=L2m,

故答案是：1.2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線分線段成比例定理，掌握''平行線所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例”，是解題的

關(guān)鍵.

18.（2021?山東東營?中考真題）如圖，正方形紙片A8C￡＞的邊長(zhǎng)為12,點(diǎn)F是AO上一點(diǎn),

將沿C尸折疊，點(diǎn)。落在點(diǎn)G處，連接。G并延長(zhǎng)交48于點(diǎn)E.若AE=5,則GE

的長(zhǎng)為.

【答案】E

【分析】

因?yàn)檎郫B，則有。G_LCF,從而可知△AEDs/V/QC,利用線段比求出OG的長(zhǎng)，即可求

出EG.

【解析】

如圖，丁四邊形A3CZ）是正方形，

.\Z1+Z2=9O°,

因?yàn)檎郫B，.?.ZX7，b,設(shè)垂足為H,

:.DH=HGf

.-.Z2+Z3=90°,

..MED^AHDC,

AEPH

訪一灰，

?：AE=5,AD=DC=12,DE=y/AD2+AE2=13，

.5一DH

??一，

1312

??,DH=—

13f

:.EG=ED-GD

=ED-2GH

=13-2x—

13

49

故答案為言.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，找到

/\HDC是解題的關(guān)鍵.

19.（2021?湖北隨州?中考真題）如圖，在R/AABC中，ZACB=90°,。為A8的中點(diǎn)，OD

平分N4OC交AC于點(diǎn)G,OD=OA,8。分別與AC,0c交于點(diǎn)E,F,連接AD,CD,

則要的值為.,；若CE=CF,則要的值為

DCOF

【答案】y&

【分析】

（1）根據(jù)條件，證明△AOD=△（%>￡>,從而推斷NOG4=9（r,進(jìn)一步通過角度等量，證

明AAOG?△ABC,代入推斷即可.

（2）通過。4=OD=OC=Q8,可知A,8,C,Q四點(diǎn)共圓，通過角度轉(zhuǎn)化，證明

/\ODF-ACBF,代入推斷即可.

【解析】

解：（1）VZACB=90°,。為A8的中點(diǎn)

?.OA=OC

又?:。。平分乙40c

ZAOD=ZCOD

又?：OD=OD

J/\AOD=/\COD

：.AD=CD

：.OD±AC

NOGA=90

在"OG與△ABC中

乙GM)=/BAC,ZOGA=ZBCA=90

???/\AOG-Z\ABC

OGAO1

~BC~~AB~2

⑵：OA=OD=OC=OB

???A3,C,。四點(diǎn)共圓，如下圖:

?:CE=CF

：./CEF=/CFE

又丁/CFE=/BFO

：.NCEF=ZBFO

":/\AOD=/\COD

：.AD=CD

AD=CD

：.NOBF=/CBE

ZBFO+ZOBF=ZCEF+ZCBE=90

即NBOC=90

,:OB=OC

???BC=V20C=垃OA=COD

???NOGA=NBCA=90

???NODB=NFBC

■:/OFD=/CFB

:./XODF?ACBF

.?烏=生=加

OFOD

故答案為：,近

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的相似，三角形的全等以及圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)圖形找見相關(guān)的等量關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.

二、解答題綜合

一、解答題

1.（2017?重慶渝中?一模）已知：平行四邊形4BCO,E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE與A。、BD

交于G、F.

【答案】見解析

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AO〃BC,AB//CD,得至DFGS^BFC,△DFC^^XBFE,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【解析】

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

AAD//BC,AB//CD,

:.△DFGSXBFC,△DFC^/\BFE

.GFDFCFDF

*'CF-BF'

.GFCF

??=,

CFEF

^CF2=GFEF.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)

鍵.

2.（2021?浙江余杭?二模）如圖，在aABC中，D、E分別是AB,AC上的點(diǎn)，NAED=NB,

△ABC用平分線AF交。E于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)、F.

/-＞、,幾AO2/AG任

（2）設(shè):不==，求工1的vl值.

AC3AF

Ad7

【答案】（1）見解析；（2）黑=：.

AF3

【分析】

（I）根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似，可證明△AEQs^ABC.

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件A尸平分/8AC,判定

^ADG^/XACF,在結(jié)合已知條件嘿=],可以進(jìn)行計(jì)算.

AC3

【解析】

（1）?:NAED=NB,ZBAC=ZDAE,

：./\AED^^ABC；

（2）V/\AED^/\ABC,

：.ZADE^ZACB,

尸平分/BAC,

：.ZDAG^ZCAF,

：.AADG^AACF,

.AGAD_2

'?壽一就一§?

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定.相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，解答本題，要找到兩組

對(duì)應(yīng)角相等，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵.

3.（2018?上海普陀?一模）如圖所示,在^ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，聯(lián)結(jié)AD,/ADB=NCDE,

DE交邊AC于點(diǎn)E,OE交8A延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡S.AD2=DE?DF.

(1)求證：△BFDs^CAD；

(2)求證：BF?DE=AB?AD.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】

(1)根據(jù)已知條件證明△A￡?ESZ\FD4,推出/D4E=NF,依據(jù)/C￡>E,推出

ZFDB=ZADC,即可得到結(jié)論；

RFAD

(2)根據(jù)△BEDsaCA。，推出笠=等，ZB=ZC,得到AB=AC,由此推出結(jié)論.

ACDE

【解析】

解：(1)U：AD2=DE^DF.

,ADDF

??方一布’

又：ZADE=ZFDAf

：.XADEsRFDA,

：./DAE=NF,

丁NADB=NCDE,

???NFDB:/ADC,

：.△8EDs△eg

(2)*：△BFDsACAD,

.BFDF

??就一茄’

..ADDF

?~DE~~^DJ

.BFAD

^~AC~~DEf

■:ABEDSACAD,

：.NB=NC,

：.AB=AC,

.BFAD

??----=-----,

ABDE

：?BF?DE=AB?AD.

【點(diǎn)睛】

此題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記相似三角形的判定及性質(zhì)定理并熟練應(yīng)用解決問題

是解題的關(guān)鍵.

4.(2021?上海金山?二模)如圖，已知在梯形ABC。中，AD//BC,對(duì)角線8。平分NABC,

點(diǎn)G在底邊8c上，聯(lián)結(jié)。G交對(duì)角線4C于F,NDGB=NDAB.

(1)求證：四邊形ABG。是菱形；

(2)聯(lián)結(jié)EG,求證：BG?EG=BC,EF.

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【分析】

(1)先證四邊形ABG。是平行四邊形，再由菱形的判定可得結(jié)論；

AnEF

(2)由“SAS'可證△然￡0ZiGBE,可得反AAE,由相似三角形的性質(zhì)可得可二年，即

BCAE

可得結(jié)論.

【解析】

證明：(1)?:ADIIBC,

：./￡>A8+NA8G=180°,ZDGB+ZADG=\S00,

*//DGB=ZDABf

：.ZABG=ZADG,

???四邊形ABGD是平行四邊形,

YBO平分NA8C,

/ABD=/GBD,

":ADHBG,

：.ZADB=ZABD=/GBD,

：.AB=AD,

???四邊形A3G。是菱形；

(2)如圖，連接EG,

D

E

BGC

???四邊形A8G。是菱形，

：.AB=BG=AD,NABE=NGBE,

在△48后和4GBE中,

AB=BG

/ABE=/GBE,

BE=BE

:、XABEgXGBE(SAS),

:?EG=AE,

?：ADHBC,

：.XADEsXCBE,

.ADDE

??正一床’

,:DFHAB,

.DEEF

^~BE~~AE9

.ADEF

^~BC~~AE"

?：AD=BG,AE=EG,

.BGEF

**BC-EG*

：?BG*EG=B(yEF.

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí),

靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

5.(2021?山東濟(jì)南?中考真題)在△ABC中，Z￡MC=90°,AB=AC,點(diǎn)。在邊8C上，

BD=；BC,將線段03繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OE,記旋轉(zhuǎn)角為。，連接BE,CE,以CE為

斜邊在其一側(cè)制作等腰直角三角形CE尸.連接A尸.

(1)如圖1,當(dāng)1=180。時(shí)，請(qǐng)稟撰寫中線段A尸與線段8E的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)0°<a<180。時(shí)，

①如圖2,(1)中線段AF與線段BE的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；

②如圖3,當(dāng)B,E,尸三點(diǎn)共線時(shí)，連接AE,判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由.

【答案】(1)BE=&F;⑵①BE=&AF成立，理由見解析；②平行四邊形，理由見

解析；

【分析】

(1)如圖1,證明M//EF,由平行線分線段成比例可得==黑，由45。的余弦值可得

ECBE

BE=-J2AF;

(2)①根據(jù)兩邊成比例，夾角相等，證明AABCSAFEC,即可得空=g=&；

AFAC

②如圖3,過A作AVL5C,連接MF,AC,EF交于點(diǎn)N,根據(jù)已知條件證明EZ)〃尸M,根

據(jù)平行線分線段成比例可得BE=2EF,根據(jù)銳角三角函數(shù)以及①的結(jié)論可得AF=EC,

根據(jù)三角形內(nèi)角和以及AABCSAF￡C可得進(jìn)而可得AB//EC,即可證明四

邊形AECF是平行四邊形.

【解析】

(1)如圖1,

VABAC=90°,AB=AC,

.".ZB=ZC=45°,

???△CE/是以EC為斜邊等腰直角三角形，

ZFEC=45°,Z.EFC=90°,

:.ZB=/FEC,

??.AB//EF,

FCAF

,~EC~~BE'

Fc^2

,/cosC=----=cos45°=——，

EC2

AFy/2

---=—,

BE2

即JBE=0AF;

（2）①=仍然成立，理由如下:

如圖2,

A

VZR4C=90°,AB=AC,

/.ZABC=ZAC^=45°,

???△CE/是以EC為斜邊等腰直角三角形,

\2FCE45?,ZEFC=90°,

???/FCE=ZACB,

cosZFCE=cosZACB,

HrlFCACA”6

即---=---=cos45=——，

ECBC2

???/FCE=ZACB,

Z1+ZACE=N2+ZACE,

.?21=/2,

.-.△FCA^AECB,

.AFAC

即BE=yf2AF;

②四邊形AEtT是平行四邊形，理由如下：

如圖3,過A作連接MEAC,EF交于點(diǎn)、N,

vZfi4C=90°,AB=ACf

/.BM=MC==BC,

2

?；DB=DE,

:./EBD=/DEB,

??./EDC=2/EBD,

???△CEF是以EC為斜邊等腰直角三角形,

:.NEFC=900,

,:B,E,/三點(diǎn)共線，

?;BM=MC,

:.MF=-BC=BM,

2

/./FBC=NBFM,

/FMC=2/FBC,

NFMC=/EDC,

ED//FM,

BEBD

???BD=-BC,

3

：.DM=BM-BD=-BC--BC=-

236f

BD2

---=-,

DM1

.BEBD_2

"EF-DM-T，

；.BE=2EF,

由①可知BE=在AF，

:.AF=^j2EF，

???△CEF是以EC為斜邊等腰直角三角形，

；.EF=FC,EC=6EF,

AF=EC,

?.AFCA^AECB,

:.ZEBC=ZFAC,

\ZBNC=ZANF,

ZAFN=180°-ZFAC-ZANF,ZNCB=180。—ZFBC-ZBNC,

??.ZAFN=/NCB,

即ZAFE=ZACB=45°f

?/ZFEC=45°,

；.ZAFE=/FEC,

AFIIEC,

???四邊形才是平行四邊形.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊，平行線分線段成比例，相

似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的判定，熟練掌握平行線分線段成比例以及相似三角形

的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?遼寧鞍山?中考真題）如圖，在AABC中，AB^AC,ZB^C=a（00<a<180°）,

過點(diǎn)A作射線AM交射線BC于點(diǎn)。，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到AN,過點(diǎn)C作CF//AM

交直線AN于點(diǎn)F,在AM上取點(diǎn)E,使NA￡S=NACB.

（1）當(dāng)AM與線段8C相交時(shí)，

①如圖1,當(dāng)a=60。時(shí)，線段CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為.

②如圖2,當(dāng)。=90。時(shí)，寫出線段AE,"和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

4

（2）當(dāng)tana=§,AB=5時(shí)，若是直角三角形，直接寫出A尸的長(zhǎng).

【分析】

（1）①結(jié)論：AE=CF+CE.如圖1中，作C77/AF交AM于T.想辦法證明A7=CF,

ET=CE,可得結(jié)論.

②結(jié)論：EC=yf2CAE-CF）.過點(diǎn)C作CQ_LAE于Q.想辦法證明CF=AQ,CE=~j2EQ,

可得結(jié)論.

（2）分兩種情形:如圖3—I中，當(dāng)ZCD￡=90°時(shí)，過點(diǎn)8作區(qū)/，AC于J,過點(diǎn)尸作FK，AE

于K.利用勾股定理以及面積法求出CQ,再證明FK=CZ）,可得結(jié)論.如圖3—2中，當(dāng)

NECC^9（）。時(shí)，ND4B=90。，解直角三角形求出4K,可得結(jié)論.