長方體與正方體（二）

長方體與正方體（二）

對于小學幾何而言，立體圖形的表面積和體積計算，既可以很好地考查學生的空間想象能力，又可以具

體考查學生在公式應用中處理相關數(shù)據(jù)的能力，所以，很多重要考試都很重視對立體圖形的考查.

例題精講

如右圖，長方體共有六個面（每個面都是長方形），八個頂點，十二條棱.

①在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等.

（疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形.）

②長方體的表面積和體積的計算公式是：

長方體的表面積：S長方體=2（"+Z>c+ca）；

長方體的體積：/方體=abc.

③正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形.

如果它的棱長為a,那么：S正方體=6〃，/方體=4.

長方體與正方體的體積

立體圖形的體積計算常用公式：

立體圖形示例體積公式相關要素

—V=abh三要素：。、b、h

長方體

47V=Sh二要素:S、h

V=a3一要素：a

正方體

0V=Sh二要素：S、h

不規(guī)則形體的體積常用方法：

①化虛為實法

②切片轉化法

③先補后去法

④實際操作法

⑤畫圖建模法

【例1】一個長方體的棱長之和是28厘米，而長方體的長寬高的長度各不相同，并且都是整厘米數(shù)，則長

方體的體積等于立方厘米。

【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，6年級，第16題，6分

【解析】由題意知長、寬、高的和為28+4=7,又根據(jù)題意長、寬、高各不相同，且是整數(shù)，所以只能是1、

2、4,所以體積為8立方厘米

【答案】8

【例2］將幾個大小相同的正方體木塊放成一堆，從正面看到的視圖是圖（a）,從左向右看到的視圖是圖

（6）,從上向下看到的視圖是圖（c）,則這堆木塊最多共有_________塊。

【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，初賽，8題

【解析】對于圖c來說，每個小方塊都摞了2層，最多有6塊。

【答案】6

【例3】一根長方體木料，體積是0.078立方米.已知這根木料長1.3米.寬為3分米，高該是多少分米?孫

健同學把高錯算為3分米.這樣，這根木料的體積要比0078立方米多多少？

【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答

【關鍵詞】小數(shù)報，決賽

【解析】0.078+（13x0.3）=0.2（米）.

0.2米=2分米.

1.3x0.3x0.3-0.078=0.039（立方米）.

所以這根木料的高是2分米；算錯后，這根木料的體積比0.078立方米多0.039立方米.

【答案】0.039

［例4］如圖，兩個同樣的鐵環(huán)連在一起長28厘米，每個鐵環(huán)長16厘米。8個這樣的鐵環(huán)依此連在一起

長厘米。

28

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，四年級，復賽，第10題，4分

【解析】兩個鐵環(huán)連在一起，重疊的部分長16x2-28=4厘米，8個這樣的鐵環(huán)依此連在一起長16x8-4x7

=100厘米。

【答案】100

【例51某工人用薄木板釘成一個長方體的郵件包裝箱，并用尼龍編織條（如圖所示）在三個方向上的加

固.所用尼龍編織條分別為365厘米，405厘米，485厘米.若每個尼龍加固時接頭重疊都是5

厘米.問這個長方體包裝箱的體積是多少立方米？

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】華杯賽，決賽，口試

【解析】長方體中

高+寬得?65-5）=180,（1）

高+長=^（405-5）=200,（2）

長+寬=*（485-5）=240,（3）

⑵-⑴：長-寬=20,⑷

（4）+（3）:長=130,從而寬=110,

代入⑴得高=70.

所以長方體體積為

70x110x130=1（X）100（）（立方厘米）=1.001（立方米）

【答案】1.001

【例61某工人用木板釘成一個長方體郵件包裝箱，并用三根長度分別為235厘米、445厘米、515厘米

的尼龍帶進行加固（如下圖），若每根尼龍帶加固時截頭重疊都是5厘米，那么這個長方體包裝箱

的體積是立方米。

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，高年級，初賽，9題

【角簞析】長方形的長為：（445+515-235-5）+4=180（厘米）;

長方形的寬為：（515-5-180X2）+2=75（厘米）；

長方形的高為：（235-5-75x2）4-2=40（厘米）；

長方形的體積為:18（）x75x40+1。6=0.54（立方米\

【答案】0.54

【例7]一個長方體的表面積是33.66平方分米，其中一個面的長是2.3分米，寬是2.1分米，它的體積是.

立方分米.

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯

（解析】長方體的高是（33.66-2.1x2.3x2）+2+（2.1+2.3）=[（分米）.

長方體的體積是2.1x2.3**=13彌立方分米）.

【答案】13々

【例8】把一根長2.4米的長方體木料鋸成5段（如圖），表面積比原來增加了96平方厘米.這根木料原來

的體積是一立方厘米.

2.4米

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，決賽

【解析】96-8=12（平方厘米），

12x240=2880（立方厘米）.

所以這根木料原來的體積為2880立方厘米.

【答案】2880

【例9]一個長方體的寬和高相等，并且都等于長的一半（如圖）.將這個長方體切成12個小長方體，這些

小長方體的表面之和為600平方分米.求這個大長方體的體積.

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】小數(shù)報，決賽

【解析】設大長方體的寬（高）為。分米，則長為2a,右（左）面積為/,其余面的面積為2/,根據(jù)題意,

2x2a,+8/+6x2/=600所以/=25,a=5.

大長方體的體積=2x5x5x5=250（立方分米）.

【答案】250

【例10】有三個大小一樣的正方體，將接觸的面用膠粘接在一起成圖示的形狀，表面積比原來減少了16平

方厘米.求所成形體的體積.

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答

【解析】三個小正方體拼接成圖中的樣子，減少了小正方體的4個側面正方形的面積，表面積減少了16平

方厘米，每個正方形側面為16+4=4平方厘米，每個正方體棱長為2厘米，三個小正方體體積（即所

成形體的體積）是3X23=24立方厘米.

【答案】24

【例11】小明在桌面上擺了一些大小一樣的正方體木塊，擺完后從正面看如左下圖，從側面看如右下圖，那

么他最多用了一塊木塊，最少用了_^一塊木塊。

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，五年級，決賽，第8題，10分

【解析】從上往下看，分別如左下圖和右下圖所示（圖中數(shù)字為每一格的木塊數(shù)）。

【答案】最多25,最少9

【例12】邊長為5的正方形，被分割成5x5的小方格。每個小方格上堆放邊長為15的正方體積木，個數(shù)如

圖所示。在每個積木外露的面上貼一張紅紙，其它面（與其它積木塊或方格紙相接的面）不貼。共

貼張紅紙。恰貼3張紅紙的有塊積木。

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第11題，12分

［解析】從正面看，需要貼5x5=25（張）；

從左邊看，需要貼5+4+5+5+5=24（張）；

從右邊看，需要貼5+4+5+5+5=24（張）；

從前面看，需要5+5+4+5+5=24（張”

從后面看，需要5+5+4+5+5=24（張）；

再看中間凹進去的部分,需要貼6+4+4+2+2+4+4=26（張），

所以一共需要貼25+24+24+24+24+26=147（張）；

先看四條邊上，有14塊積木貼3張紅紙；

非邊上的積木，有1塊積木恰好貼3張，

所以一共有14+1=15（塊）積木。

【答案】共貼26張，共有15塊

【例13】有一個長方體，長是寬的2倍，寬是高的3倍；長的十與高的;之和比寬多1厘米.這個長方體

的體積是立方厘米.

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯

【解析】長的上即寬，所以高的;就是1厘米，高是3厘米，寬是3x3=9厘米，長是9x2=18厘米，體積

是3x9x18=486（立方厘米）.

【答案】486

【鞏固】一個長方體的各條棱長的和是48厘米，并且它的長是寬的2倍，高與寬相等，那么這個長方體的

體積是______立方厘米.

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，決賽

【解析】依題意，這個長方體的長、寬、高之和是48+4=12（厘米），

于是它的寬與高都等于12+（2+1+1）=3（厘米）,

它的長是3x2=6厘米.

所以這個長方體的體積是6x3x3=54（立方厘米）.

【答案】54

【例14】把11塊相同的長方體的磚拼成如圖所示的大長方體，已知每塊磚的體積是288cm3,則大長方體的

表面積為多少？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【解析】如果知道每塊磚的長、寬、高即可求出所有的量，但我們只知道它們的乘積，但可以從圖中發(fā)現(xiàn)隱

含的數(shù)量關系.

由圖可知每塊磚的長、寬、高的比值，兩個長等于三個寬，所以長、寬之比為3:2,四個高等于一

個長，所以長、高之比為4:1,長、寬、高之比為12:8:3,設磚的長為12單位，那么體積應該為

12x8x3=288個立方單位，所以一個單位長度就是1厘米，所以大長方體的長、寬、高分別為：24

厘米,12厘米,11厘米,所以大長方體的表面積為：(24x12+12x11+11x24)x2=1368平方厘米.

【答案】1368

【例15】有大、中、小三個正方形水池，它們的內邊長分別是6米、3米、2米.把兩堆碎石分別沉沒在中、

小水池的水里，兩個水池的水面分別升高了6厘米和4厘米.如果將這兩堆碎石都沉沒在大水池

的水里，大水池的水面升高了多少厘米？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【解析】把碎石沉沒在水中，水面升高所增加的體積，就等于所沉入的碎石的體積.

因此，沉入水池中的碎石的體積是

3x3x0.06=054（米3）,

而沉入小水池中的碎石的體積是2X2X0.04=0.16（^3）.

這兩堆碎石的體積一共是0.54+0.16=0.7（米3）.

把它們都沉入大水池里，大水池的水面升高所增加的體積也就是0.7米3.而大水池的底面積是

6x6=36（米3）.所以水面升高了

0.7+36=以（米）=四（厘米）=1□（厘米）.

363618

故大水池的水面升高了19厘米.

18

【答案】

1O

【例16】一個正方體容器，容器內部邊長為24厘米，存有若干水，水深17.2厘米，現(xiàn)將一些碎鐵塊放入容

器中，鐵塊沉入水底，水面上升2.5厘米，如果將這些鐵塊鑄成一個和容器等高的實心圓柱，重新

放入池中，則水面升高幾厘米？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【解析】設鐵塊鑄成和容器等高的實心圓柱放入池中水面升高x厘米，則有水面升高后水的總體積=原來水

2

的體積+鐵塊浸入水中的體積，242XX=24X17.2+S鐵塊的底面積xx,

其中S鐵塊的底面積x24=24-x2.5，得到S鐵塊的底面積=24x2.5，解得x=19.2,

所以水面升高了19.2-17.2=2（厘米）.

【答案】2

【例17］如圖，有一個棱長為10厘米的正方體鐵塊，現(xiàn)已在每兩個對面的中央鉆一個邊長為4厘米的正方

形孔（邊平行于正方體的棱），且穿透.另有一長方體容器，從內部量，長、寬、高分別為15厘

米、12厘米、9厘米，內部有水，水深3厘米.若將正方體鐵塊平放入長方體容器中，則鐵塊在

水下部分的體積為立方厘米.

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，初賽，6年級

【解析】可以把正方體鐵塊看作三層：最下面一層為中央穿孔的長方體，高為3厘米；中間一層為4個長方體

立柱，高為4厘米；最上面一層也是高為3厘米的中央穿孔的長方體.

由于長方體容器內原有水深3厘米，所以正方體鐵塊放入水中后，鐵塊最下面一層肯定全部在水中,

而水也不可能上升到最上面一層，即恰在中間一層.設水面上升了萬厘米，則中間一層在水中的部分

恰好為〃厘米.

由于水面上升是由于鐵塊放入水中導致，水面上升的體積即等于鐵塊在水下部分的體積，即：

7

15X12XA=（102-42）X3+32X4X/I，解得〃二一,

4

故鐵塊在水下部分的體積為15x12x1=315（立方厘米）.

4

【答案】315

【例18】把1個棱長是3厘米的正方體分割成若干個小的正方體，這些小正方體的棱長必須是整厘米數(shù).如

果這些小正方體的體積不要求都相等，那么最少可分割成個小正方體.

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，決賽

【解析】因為小正方體的棱長只可能是2厘米或1厘米.必須分割出棱長是2厘米的小正方體才能使數(shù)量減

少.顯然，棱長是3厘米的正方體只能切割出一個棱長為2厘米的小正方體，剩余部分再切割出

3x3x3-2x2x2=27-8=19個棱長是1厘米的小正方體，這樣總共可以分割成1+19=20（個）小正

方體.

【答案】20

【鞏固】有一個長方體的盒子，從里面量長40厘米，寬12厘米，高7厘米，在這個盒子里放長5厘米，寬

4厘米，高3厘米的長方體木塊.最多可放塊.

3333

4

3

444

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】祖沖之杯

【解析】上圖表明3x4的長方形可以填滿7x12的長方形.

于是5x3x4的長方體可以填滿40x7x12的長方體，即盒子中最多可放這種長方體

40x7x12X5x3x4）=56（個）.

【答案】56

【例19】有甲、乙、丙3種大小的正方體木塊，棱長比是1:2:3.如果用這三種正方體拼成盡量小的一個正

方體，且每種都至少用一個，則最少需要這三種正方體共多少？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【解析】設甲的棱長是1,則乙的棱長是2,丙的棱長是3.一個甲種木塊的體積是1,一個乙種木塊的體積

是2x2x2=8,一個丙種木塊的體積是3x3x3=27.

由于每種正方體都要用到，那么所拼成的正方體的棱長最小應為3+2=5.

當這三種木塊拼成的正方體的棱長是5時，體積是5x5x5=125.

要想使三種正方體的總數(shù)最小，則體積較大的木塊應盡可能多.由于棱長為5,所以其中丙種木塊

只能有1個.

有了1個丙種木塊后，乙種木塊最多可以有4+2+1=7塊.

丙種木塊的體積是27,乙種木塊的體積是8x7=56,余下的體積為125-27-56=42.所以還需要

甲種木塊42+1=42塊.

所以共需要至少I+7+42=50塊.

【答案】50

【例20】用1x1x2、1x1x3、1x2x2三種小木塊拼成3x3x3的正方體.現(xiàn)有足夠多的1x2x2的小木塊，

還有14塊lx1x3的小木塊，如果要拼成10個3x3x3的正方體，則最少需要1x1x2的小木塊

_______塊.

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空

【解析】1x1x2、1x1x3、1x2x2三種木塊的體積分別為2,3,4,其中只有3為奇數(shù)，2,4都是偶數(shù).

因為3x3x3=27,體積為奇數(shù)，所以每個3x3x3的正方體中，1x1x3的木塊要有奇數(shù)塊.

當只用1塊1x1x3時，剩下的體積為24，但無法完全用1x2*2完成，還需要1x1x2的小木塊，由

于24和4都是4的倍數(shù)，所以1x1x2的小木塊的體積和也是4的倍數(shù)，至少要用2塊1x1x2的小

木塊.檢驗可知用1塊1x1x3的小木塊、2塊1x1x2的小木塊和5塊1x2x2的小木塊可以拼成

3x3x3的正方體.

當用3塊1x1x3的小木塊時，體積剩下18,可以再用4塊1x2x2的小木塊和1塊1xlx2的小木塊

拼成.

當用5塊1x1x3的小木塊時，體積剩下12,此時可以再用3塊1x2x2的小木塊拼成，即此時不需

要用1x1x2的小木塊拼成.

為了盡量少用1x1x2的木塊，所以要盡量多用其他木塊.而一共只有14塊1x1x3的木塊,所以可

以在8個3x3x3的正方體中各用1塊1x1x3的木塊，另2個3x3x3的正方體各用3塊1x1x3的木

塊也可以在9個3x3x3的正方體中各用1塊1x1x3的木塊另1個3x3x3的正方體用5塊1x1x3

的木塊.前者需要2x8+1x2=18個，后者需要2x9=18個，數(shù)量相同,所以最少需要1x1x2的木

塊18塊.

【答案】18

【例21］把一個長方體形狀的木料分割成3小塊，使這3小塊的體積相等.已知這長方體的長為15厘米，

寬為12厘米，高為9厘米.分割時要求只能鋸兩次，如圖1就是一種分割線的圖.除這種分割的

方法外，還可有其他不同的分割方法，請把分割線分別畫在圖2的各圖中.

圖1

圖2

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【解析】分割方法很多，如圖3,給出以下9種分割方法：

圖4

【答案】答案不唯一，給出以下9種分割方法：

圖4

【例22］如圖，把正方體用兩個與它的底面平行的平面切開，分成三個長方體.這三個長方體的表面積比是

3：4:5時，用最簡單的整數(shù)比表示這三個長方體的體積比：：：

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，六年級，初賽

【解析】由于分出的三個長方體的底面積相同所以體積之比等于三個長方體的高之比，設正方體的棱長為1,

三個長方體的高分別為h},h2,hy,所以％+用+自=1,根據(jù)"分成三個長方體.這三個長方體的表

面積比是3:4:5"得（2+4%）:（2+4均）:（2+他）=3:4:5,

而（2+4九）+（2+4/“+（2+44）=6+4（九+也+%）=10,所以有2+4%=,解得九=:,

同理得〃,=,，hy=—，所以〃]:九：用=!]:竺=3:8:13，即體積比為3:8:13。

■324■8324

【答案】3:8:13

【例23]如圖從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長2厘米的正方形，然后，沿虛線

折疊成長方體容器.這個容器的體積是多少立方厘米？

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】華杯賽，復賽

【解析】容器的底面積是

（13-4）x（9-4）=45（平方厘米）,

高為2厘米，所以容器的體積是，

45x2=90（立方厘米）.

【答案】90

【鞏固】現(xiàn)有一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮，請你用它做一只深是5厘米的長方體無蓋鐵皮盒（焊

接處及鐵皮厚度不計，容積越大越好），你做出的鐵皮盒容積是多少立方厘米？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】祖沖之杯

【解析】如圖，在40x20的長方形鐵皮的四角截去邊長5厘米的正方形鐵皮，然后焊接成長方形無蓋鐵皮

盒.這個鐵皮盒的長=40-5-5=30（厘米）.

寬=20-5-5=10（厘米）,高=5（厘米）.

體積=30x10x5=1500（立方厘米）.

如圖，在40x20長方形鐵皮的左側兩角上割下邊長5厘米的正方形（二塊），緊密焊接

到右側的中間部分，這樣做成的無蓋鐵皮盒的長=40-5=35（厘米）,

寬=20-5-5=10（厘米）,

高=5（厘米），

體積=35x10x5=1750（立方厘米）.

如圖，在40x20的長方形鐵皮的左右兩側各割下一條寬為5厘米的長方形鐵皮（共二塊），分別焊到

上、下的中間部分，這樣做成的無蓋鐵皮盒的

長=40-5-5-5-5=20（厘米）,

寬=20（厘米）,

高=5（厘米），

體積=20x20x5=2000（立方厘米）.

因此，最后一種容積最大.

【答案】2000

[例24]一個長、寬、高分別為21厘米、15厘米、12厘米的長方形.現(xiàn)從它的上面盡可能大的切下一個正方

體，然后從剩余的部分再盡可能大的切下一個正方體，最后再從第二次剩余的部分盡可能大的切下

一個正方體，剩下的體積是多少立方厘米？

【考點】長方體與正方體【難度】5星【題型】解答

【解析】本題的關鍵是確定三次切下的正方體的棱長.由于21:15:12=7:5:4,為了方便起見.我們先考慮長、

寬、高分別為7厘米、5厘米、4厘米的長方體.

因為7>5>4,容易知道第一次切下的正方體棱長應該是4厘米，第二次切時，切下棱長為3厘米的

正方體符合要求.第三次切時，切下棱長為2厘米的正方體符合要求.

那么對于原長方體來說，三次切下的正方體的棱長分別是12厘米9厘米和6厘米，所以剩下的體

積應是：21X15XI2-(12,+93+6,)=1107(立方厘米).

6

6

12

129

【答案】1107

【例25］小明用若干個大小相同的正方體木塊堆成一個幾何體，這個幾何體從正面看如下圖左，從上面看如

下圖右.那么這個幾何體至少用了塊木塊.

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空

【解析】這道題很多同學認為答案是26塊.這是受思維定勢的影響，認為右圖中每一格都要至少放一塊.其

實，有些格不放，看起來也是這樣的.

如右圖，帶陰影的3塊不放時，小正方體塊數(shù)最少，為23塊.

【答案】23

【鞏固】右圖是由22個小正方體組成的立體圖形，其中共有多少個大大小小的正方體？由兩個小正方體組成

的長方體有多少個？

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答

【解析】正方體只可能有兩種：

由1個小正方體構成的正方體，有22個；

由8個小正方體構成的2x2x2的正方體，有4個.

所以共有正方體22+4=26（個）.

由兩個小正方體組成的長方體，根據(jù)擺放的方向可分為下圖所示的上下位、左右位、前后位三種,

其中上下位有13個，左右位有13個，前后位有14個，共有13+13+14=40（個）.

【答案】40

【例26］有黑白兩種顏色的正方體積木，把它擺成右圖所示的形狀，已知相鄰（有公共面）的積木顏色不同,

標A的為黑色，圖中共有黑色積木多少塊？

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答

【解析】分層來看，如下圖（切面平行于紙面）共有黑色積木17塊.

【答案】17

【鞏固】這個圖形,是否能夠由1x1x2的長方體搭構而成？

【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答

【解析】每一個1x1x2的長方體無論怎么放，都包含了一個黑色正方體和一個白色正方體，而黑色積木有17

塊，白色積木有15塊，所以該圖形不能夠由1x1x2的長方體搭構而成.

【答案】17

【鞏固】有許多相同的立方體，每個立方體的六個面上都寫著同一個數(shù)字（不同的立方體可以寫相同的數(shù)字）

先將寫著2的立方體與寫著1的立方體的三個面相鄰，再將寫著3的立方體寫著2的立方體相鄰（見

左下圖）.依這樣構成右下圖所示的立方體，它的六個面上的所有數(shù)字之和是多少？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【解析】第一層如下圖，第二層、第三層依次比上面一層每格都多1（見下圖）.

上面的9個數(shù)之和是27,由對稱性知，上面、前面、右面的所有數(shù)之和都是27.同理，下面的9

個數(shù)之和是45,下面、左面、后面的所有數(shù)之和都是45.所以六個面上所有數(shù)之和是

(27+45)x3=216.

【答案】216

【例27］如下圖，用若干塊單位正方體積木堆成一個立體，小明正確地畫出了這個立體的正視圖、俯視圖和

側視圖，問：所堆的立體的體積至少是多少？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【解析】本題還原的技巧在于反用“切片法"，根據(jù)俯視圖，最底層必有這么11個，這是不能再少的；

第二步，不妨先根據(jù)正視圖，再在一側加上7塊;

第三步，通過第二層以上的積木的調整使得圖形符合側視圖的要求：

所堆的立體的體積至少是11+7=18.

當然，這里的形狀不唯一，如下面兩圖都符合條件.

【答案】18

【例28］用一些棱長是1的小正方體碼放成一個立體圖形，從上向下看這個立體圖形，如下圖，，，從正面看

這個立體圖形，如下圖，則這個立體圖形的表面積最多是_______.

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽

【解析】根據(jù)題意，這個立體應當有2層，由于這個立體圖形是碼成的而不是粘成的，這就意味著，這個立

體圖形的每一個小正方體的下端必然有其他正方體支撐，所以這個立體圖形的俯視圖實際上可以看

作該圖形的“地基".我們在此基礎上構造立體圖形，結合圖/，，構筑"地基"以上的第二層的建

筑，由視角分析，4、8、C3個位置上都至少有一個正方體（如左下圖），在“地基"的基礎上構筑

第二層時，隨著第二層小正方體數(shù)目的增多，由于每個小正方體與其他小正方體貼合的面最多有3

個，那么裸露在外面的面至少也有3個，所以每增加一個小正方體，其表面積不會減少.那么當?shù)?/p>

二層的小正方體最多時，其表面積也最大.而小正方體最多的情況如右下圖所示，

根據(jù)"三視圖法"，該圖形上、下面積為8x2=16（平方厘米）,前、后面積為8x2=16（平方厘米）,

左、右面積為8x2=16（平方厘米）（注意，左、右方向的面中，有4個從該圖形以外的左、右方向無

法觀察到），所以此立體的表面積為16+16+16=48平方厘米.

【答案】48

【例29］用棱長為1的小立方體粘合而成的立體，從正面、側面、上面看到的視圖均如下圖所示，那么粘

成這個立體最多需要塊小立方體.

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，六年級

【解析】根據(jù)視圖可以畫出原立體圖形，如右圖所示，其中灰色部分和黑色部分都可以有小立方體，白色部

分則不可以有小立方體.

這些小立方體可以分為角上的和棱上的兩種，其中角上的有23x8=64個，棱上的有12個（每條棱

上1個），所以總共最多有64+12=76個.

【答案】76

【例30］第9屆華羅庚金杯少年數(shù)學邀請賽總決賽于2004年5月10日在潮州舉行北京的選手們用N個

大小相同的小正方體木塊粘貼成了一個從正面看是2004,從左面看是9的模型（如圖）.問：N最

大為多少？N最小為多少？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】華杯賽

【解析】可以將2004這個模型分為5行，第一行有11個方塊，第二行有7個方塊，第三行有10個方塊,

第四行有6個方塊，第五行有10個方塊.

因為從左邊看是9的模型，所以第一行的寬度為3個方塊，第二行的寬度為2個方塊，第三行的寬

度為3個方塊，第四行的寬度為1個方塊，第五行的寬度為3個方塊，

11x3+7x2+10x3+6x1+10x3=113,所以N最大為113.

11+7+1()+6+1()=44所以N至少是44塊但是僅用44塊顯然不能滿足從左邊看是9的模型所

以必須再加上一些木塊以滿足從左邊看是9的模型.

模型"9"有3列，右面一列5個方塊已經(jīng)滿足，中間一列有3個方塊，所以得加上3個；由于模

型是粘貼出來而不是擺出來的，所以加上中間一列的3塊并不能減少右邊一列的方塊.而左邊一列

有4個方塊，這4個也得加上，加上左邊一列的4塊后，由于其中的上面3塊是連續(xù)的，所以可以

在右面一列去掉2塊，仍然不會改變從正面看是2004的效果.44+3+4-2=49,所以N最小為

49.

【答案】49

【例31］有很多白色或黑色的棱長是1cm的小正方體.取其中的27個，拼成一個棱長是3cm的大正方體,

每一面都各用2個黑色的小正方體拼成了相同的圖案。見例圖.例圖中正方體的每一面的圖案都相

同，因此，用8個或9個黑色小正方體就可拼成這樣的大正方體.除例圖的圖案之外，還可以拼

成每面的圖案都相同的大正方體.

問⑴：在下圖的①?⑦中找出可以拼成每面都相同的圖案.

間⑵：在間⑴中，可以按要求拼成的大正方體各用幾個黑色小正方體？最多的用幾個？最少的用幾

個？

例圖①②③④⑤⑥⑦

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】日本算術奧林匹克

【解析】本題主要考查學生的空間想象能力.在原來的棱長為1cm的小正方體中，由于每一個的6個面的顏

色都是相同的，要么是白色，要么是黑色，所以，在拼成的棱長為3cm的大正方體中，如果出現(xiàn)有

某一面上有黑色的小正方形，那么就要注意與這個小正方形同屬一個小正方體的其他面也應當是黑

色的.

⑴：圖中的③④⑤⑥可以；

⑵：最多用10個，最少用4個.

圖①必然有黑色立方體出現(xiàn)角上，在選定了某一個頂點為黑色立方體后，相鄰的正面出現(xiàn)了圖①所

示的圖案，則在上面必定是出現(xiàn)與選定的這個頂點相鄰部分有一面是黑的，然而此時左面的情況就

是至少三塊成黑色了，與圖①所示的圖案不可能相同.所以圖①不可以；

圖②的正面如圖所示，則上面也必定在某一個角上，如果是在相鄰的角，則某一面上有3塊黑色的；

如果是在對角，而對角的情況與圖①所示的圖案不同.所以圖②不可以；

圖③可以，如下左圖所示.通過"切片法"，可以知道最少5塊，而最多可用6塊（有一塊在大立

方體的中間，從表面看不到的那塊）；

圖④可以，如下左圖所示.可以看出最少有4塊，最多有5塊；

圖⑤中，最少有9塊黑塊，最多有10塊.

請注意這里從最多角度考慮，所以把最中心的一塊算在內，其實這一塊從六個方向都看不到；

圖⑥中，最少有6塊，最多有7塊;

圖⑦中，當把上下前后四個面染好后，左右兩個面是無法染成相同圖案的.所以圖⑦不可以.

【答案】圖中的③④⑤⑥可以；最多用10個，最少用4個

【例32】一個長、寬、高分別為12.9、7厘米的長方體，在它的每組兩兩相對的面的正中央都打一個底面

為4平方厘米的正方形的貫穿洞.那么這個長方體剩下部分的體積是立方厘米.

【考點】長方體與正方體【難度】5星【題型】填空

【關鍵詞】三帆中學

【解析】如圖，將長方體剩下的部分分割成六塊，其中兩塊都是中間有一個長方體貫穿孔的長方體，另外四

塊是相同大小的長方體.前面兩塊的體積之和為(9x7-4)x02-2)=590立方厘米，后面四個長方

體的體積之和為火工x上匚x2x4=70立方厘米，所以原長方體剩下部分的體積為590+70=660立

22

方厘米.

【答案】660

【例33］如圖所示，一個5x5x5的立方體，在一介方向上開有1x1x5的孔，在另一個方向上開有2x1x5的

孔，在第三個方向上開有3x1x5的孔，剩余部分的體積是多少？表面積為多少？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】武漢明心杯

【解析】求體積：

開了3x1x5的孔，挖去3x1x5=15,開了1x1x5的孔，

挖去lx1x5-1=4；開了2x1x5的孔，

挖去2xlx5-(2+2)=6,

剩余部分的體積是：5x5x5-(15+4+6)=100.

(另解)將整個圖形切片，如果切面平行于紙面，那么五個切片分別如圖：

得到總體積為：22x4+12=100.

求表面積：

表面積可以看成外部和內部兩部分.外部的表面積為5x5x6-12=138,內部的面積可以分為前

后、左右、上下三個方向，面積分別為2x(2x5+lx5-lx2-lx3)=20、

2x(lx5+3x5-)lx、2x(lx5+lx5-lxl-2)=14，所以總的表面積為

13+8?20+32=.

(另解)運用類似于三視圖的方法，記錄每一方向上的不同位置上的裸露正方形個數(shù)：

前后方向：32

上下方向：30左右方向：40

總表面積為2x（32+30+40）=204.

【總結】"切片法"：全面打洞（例如本題，五層一樣）

挖塊成線（例如本題,在前一層的基礎上，一條線一條線地挖）

這里體現(xiàn)的思想方法是：化整為零，有序思考！

【答案】204

【鞏固】如圖，原來的大正方體是由125個小正方體所構成的.其中有些小正方體已經(jīng)被挖除，圖中涂黑色的部

分就是貫穿到大訪體的挖除部分.請問剩下的部分斯多少個小正方體？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【關鍵詞】香港保良局，小學數(shù)學世界邀請賽

【解析】對于這一類從立體圖形中間挖掉一部分后再求體積（或小正方體數(shù)目）的題目一般可以采用"切片

法"來做，所謂“切片法"，就是把整個立體圖形切成一片一片的（或一層一層的），然后分別計算

每一片或每一層的體積或小正方體數(shù)目，最后再把它們相加.

采用切片法，俯視第一層到第五層的圖形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分.

從圖中可以看出，第L2、3、4、5層剩下的小正方體分別有22個、11個、11個、6個、22個，

所以總共還剩下22+11+11+6+22=72（個）小正方體.

【答案】72

【鞏固】一個由125個同樣的小正方體組成的大正方體，從這個大正方體中抽出若干個小正方體，把大正方

體中相對的兩面打通，右圖就是抽空的狀態(tài).右圖中剩下的小正方體有多少個？

【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答

【解析】解法一：（用"容斥原理"來解）由正面圖形抽出的小正方體有5x5=25個，由側面圖形抽出的小正方

體有5x5=25個，由底面圖形抽出的小正方體有4x5=20個，正面圖形和側面圖形重合抽出的小正

方體有Ix2+2xl+2x2=8個，正面圖形和底面圖形重合抽出的小正方體有Ix3+2x2=7個，底面

圖形和側面圖形重合抽出的小正方體有1x2+lxl+2x2=7個，三個面的圖形共同重合抽出的小正方

體有4個根據(jù)容斥原理,25+25+20-8-7-7+4=52所以共抽出了52個小正方體.125-52=73,

所以右圖中剩下的小正方體有73個.

注意這里的三者共同抽出的小正方體是4個，必須知道是哪4塊，這是最讓人頭疼的事.

但你可以先構造空的兩個方向上共同部分的模型，再由第三個方向來穿過“花墻"

這里，化虛為實的思想方法很重要.

解法二：（用"切片法"來解）

可以從上到下切五層，得：

⑴從上到下五層，如圖：

⑵或者，從右到左五片，如圖：

請注意這里的挖空的技巧是：先認一種方向.

比如：從上到下的每一層，首先都應該有第一層的空四塊的情況，即

如果挖第二層：第Q）步，把中間這些位置的四塊挖走如圖：

第⑵步，把從右向左的兩塊成線地挖走.（請注意挖通的效果就是成線挖去），如圖：

第（3）步，把從前向后的一塊（請注意跟第二層有關的只是一塊?。┩诔删€！如圖：

【答案】73

【例34】用大小相等的無色透明坡璃小正方體和紅色坡璃小正方體拼成一個大正方體ABCD-ABCR（如

圖），大正方體內的對角線AG,BD、，0,