江蘇省啟東市啟東中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

江蘇省啟東市啟東中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb2．對(duì)于實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定義函數(shù)f（x）=x﹣[x]，則下列命題中正確的是①函數(shù)f（x）的最大值為1；②函數(shù)f（x）的最小值為0；③方程有無(wú)數(shù)個(gè)根；④函數(shù)f（x）是增函數(shù)．A．②③ B．①②③ C．② D．③④3．下列說(shuō)法正確的是()A．若命題均為真命題，則命題為真命題B．“若，則”的否命題是“若”C．在，“”是“”的充要條件D．命題“”的否定為“”4．設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）．A．2 B．-2 C． D．5．已知函數(shù)，則（）A．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)C．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)6．若X是離散型隨機(jī)變量，P(X=x1)=23,P(X=x2)=1A．53 B．73 C．37．已知隨機(jī)變量，若，則（）A． B． C． D．8．若，則（）A． B．1 C．0 D．9．如圖是某陀螺模型的三視圖，則該陀螺模型的體積為（）A． B．C． D．10．下列函數(shù)中，值域?yàn)榈呐己瘮?shù)是（）A． B． C． D．11．如圖，在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線異面且?jiàn)A角成的直線的條數(shù)為（）．A． B． C． D．12．如果（，表示虛數(shù)單位），那么()A．1 B． C．2 D．0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是__________.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)且依次交拋物線及圓于點(diǎn)，，，四點(diǎn)，則的最小值為__________．15．已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_____________.16．在長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為底面上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）若，求的取值范圍；（2）若的圖像與相切，求的值．18．（12分）在中，已知．（1）求證：；（2）若，求A的值．19．（12分）某市環(huán)保部門對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查，每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參與問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示：組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問(wèn)卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”，請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？(2)若問(wèn)卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”．視頻率為概率．①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中，隨機(jī)抽取3人，求抽取的3人中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率；②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保，針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng)；其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)．每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表：紅包金額（單位：元）1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記（單位：元）為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）設(shè)命題冪函數(shù)在上單調(diào)遞減。命題在上有解；若為假，為真，求的取值范圍.21．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程（化為標(biāo)準(zhǔn)方程）及曲線的普通方程；（2）若圓與曲線的公共弦長(zhǎng)為，求的值.22．（10分）已知.（I）求的最小值及最大值；（II）設(shè)，，，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】試題分析：對(duì)于選項(xiàng)A，，，，而，所以，但不能確定的正負(fù)，所以它們的大小不能確定;對(duì)于選項(xiàng)B，,，兩邊同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)改變不等號(hào)方向，所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于選項(xiàng)C，利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到，所以C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯(cuò)誤.所以本題選B.【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.2、A【解題分析】

本題考查取整函數(shù)問(wèn)題，在解答時(shí)要先充分理解[x]的含義，根據(jù)解析式畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行分析可得結(jié)果．【題目詳解】畫出函數(shù)f(x)=x?[x]的圖象，如下圖所示．由圖象得，函數(shù)f(x)的最大值小于1，故①不正確；函數(shù)f(x)的最小值為0，故②正確；函數(shù)每隔一個(gè)單位重復(fù)一次，所以函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故③正確；函數(shù)f(x)有增有減，故④不正確．故答案為②③．【題目點(diǎn)撥】本題難度較大，解題的關(guān)鍵是正確理解所給函數(shù)的意義，然后借助函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解．3、D【解題分析】

利用復(fù)合命題的真假四種命題的逆否關(guān)系以及命題的否定，充要條件判斷選項(xiàng)的正誤即可．【題目詳解】對(duì)于A：若命題p，￢q均為真命題，則q是假命題，所以命題p∧q為假命題，所以A不正確；

對(duì)于B：“若，則”的否命題是“若，則”，所以B不正確；

對(duì)于C：在△ABC中，“”?“A+B=”?“A=-B”?sinA=cosB，

反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，

∴C=是sinA=cosB成立的充分不必要條件，所以C不正確；

對(duì)于D：命題p：“?x0∈R，x02-x0-5＞0”的否定為￢p：“?x∈R，x2-x-5≤0”，所以D正確．

故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及充要條件，四種命題的逆否關(guān)系，命題的否定等知識(shí)，是基本知識(shí)的考查．4、D【解題分析】

整理得：，由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)列方程即可得解．【題目詳解】因?yàn)橛炙羌兲摂?shù)，所以，解得：故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，還考查了復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得y＝（）x在R上為減函數(shù)，y＝2x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數(shù)，據(jù)此分析可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，f（x）＝（）x﹣2x，有f（﹣x）＝2x﹣（）x＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，又由y＝（）x在R上為減函數(shù)，y＝2x在R上為增函數(shù)，則函數(shù)f（x）＝（）x﹣2x在R上為減函數(shù)，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，關(guān)鍵是掌握函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

本題考查期望與方差的公式，利用期望及方差的公式，建立方程，即可求得結(jié)論．【題目詳解】∵E(X)=∴2∴x1=1x∴x故選C.考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望方差.7、D【解題分析】

由二項(xiàng)分布的期望公式，可計(jì)算得，由，即得解.【題目詳解】由題意隨機(jī)變量，由二項(xiàng)分布的期望公式，可得故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)分布的期望公式及概率公式，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8、D【解題分析】分析：根據(jù)題意求各項(xiàng)系數(shù)和，直接賦值法令x=-1代入即可得到.詳解：已知，根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)得到第r+1項(xiàng)是，故當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，該項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，故原式令x=-1代入即可得到.故答案為D.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了二項(xiàng)式中系數(shù)和的問(wèn)題，二項(xiàng)式主要考查兩種題型，一是考查系數(shù)和問(wèn)題；二是考查特定項(xiàng)系數(shù)問(wèn)題；在做二項(xiàng)式的問(wèn)題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類問(wèn)題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等.9、C【解題分析】

幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，代入體積公式計(jì)算即可.【題目詳解】解：幾何體上部分為圓柱，下部分為圓錐，

其中圓柱的底面半徑為1，高為2，圓錐的底面半徑為1，高為1，所以幾何體的體積.

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了常見(jiàn)幾何體的三視圖與體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】試題分析：A中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件；B中，函數(shù)為奇函數(shù)，不滿足條件；C中，函數(shù)為偶函數(shù)且，滿足條件；D中，函數(shù)為偶函數(shù)，但，不滿足條件，故選C．考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、函數(shù)的值域．11、B【解題分析】

結(jié)合圖形，利用異面直線所成的角的概念，把與A1B成60°角的異面直線一一列出，即得答案．【題目詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線A1B異面且?jiàn)A角成60°的直線有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4條．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線的定義及判斷方法，異面直線成的角的定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為的形式，利用復(fù)數(shù)相等求出即可詳解：解得故選點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，令其實(shí)部與虛部分別相等即可求出答案．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以不等式，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得.考點(diǎn)：本小題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查絕對(duì)值不等式的解法，熟練基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵.14、13【解題分析】

由拋物線的定義可知：，從而得到，同理，分類討論，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可求得的最小值.【題目詳解】因?yàn)椋越裹c(diǎn)，準(zhǔn)線，由圓：，可知其圓心為，半徑為，由拋物線的定義得：，又因?yàn)?，所以，同理，?dāng)軸時(shí)，則，所以，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時(shí)，設(shè)時(shí)，代入拋物線方程，得：，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上所述，的最小值為13，故答案是：13.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，直線與拋物線相交的問(wèn)題，基本不等式求最值問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意認(rèn)真審題是正確解題的關(guān)鍵.15、1【解題分析】

作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得如圖的△ABC及其內(nèi)部，再將目標(biāo)函數(shù)z＝x﹣y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移并觀察z的變化，即可得到z＝x﹣y的最大值．【題目詳解】作出實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，1），B（3，1），C（1，1）將直線l：z＝x﹣y進(jìn)行平移，當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值；∴z最大值＝1；故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題給出二元一次不等式組，求目標(biāo)函數(shù)z＝x﹣y的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．16、【解題分析】

畫出圖形,利用折疊與展開法則使和在同一個(gè)平面,轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小,即可求得的最小值．【題目詳解】當(dāng)?shù)淖钚≈?即到底面的距離的最小值與的最小值之和.為底面上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)是在底面上的射影,即是最小值.展開三角形與三角形在同一個(gè)平面上,如圖:長(zhǎng)方體中，，長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)為:在中:故故過(guò)點(diǎn)作,即為最小值.在,故答案為:.【題目點(diǎn)撥】解答折疊問(wèn)題的關(guān)鍵在于畫好折疊前后的平面圖形與立體圖形，并弄清折疊前后哪些條件發(fā)生了變化,哪些條件沒(méi)有發(fā)生變化.這些未變化的已知條件都是我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的依據(jù).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）1【解題分析】

（1）由題意可得，設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性、極值和最值，即可得到所求范圍；（2）設(shè)的圖象與相切于點(diǎn)，求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)滿足曲線方程，解方程即可得到所求值．【題目詳解】（1）由得.，從而，即．設(shè).，則，（）所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，故的取值范圍是．（2）設(shè)的圖像與相切于點(diǎn)，依題意可得因?yàn)?，所以消去可得．令，則，顯然在上單調(diào)遞減，且，所以時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)．故．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義即函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在改點(diǎn)處切線的斜率，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值和最值的關(guān)系，由，得函數(shù)單調(diào)遞增，得函數(shù)單調(diào)遞減，考查方程思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．18、（1）見(jiàn)解析；（2）．【解題分析】試題分析：（1）已知的向量的數(shù)量積，要證明的是角的關(guān)系，故我們首先運(yùn)用數(shù)量積定義把已知轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，由已知可得，即，考慮到求證式只是角的關(guān)系，因此我們?cè)賾?yīng)用正弦定理把式子中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，即有，而這時(shí)兩邊同除以即得待證式（要說(shuō)明均不為零）.（2）要求解的大小，一般是求出這個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值，本題應(yīng)該求，因?yàn)椋?）中有可利用，思路是.試題解析：(1)∵,∴,即.2分由正弦定理,得,∴.4分又∵,∴.∴即.6分(2)∵,∴.∴.8分∴,即.∴.10分由(1),得,解得.12分∵,∴.∴.14分考點(diǎn)：（1）向量的數(shù)量積的定義與正弦定理；（2）已知三角函數(shù)值，求角.19、(1)不能；(2)①；②分布列見(jiàn)解析，.【解題分析】

（1）根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求2×2列聯(lián)表即可；計(jì)算K的觀測(cè)值K2，對(duì)照題目中的表格，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論．（2）由相互獨(dú)立事件的概率可得男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率：P＝1﹣（）3﹣（）3，解出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）即可；【題目詳解】(1)由圖中表格可得列聯(lián)表如下:非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”合計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得K”的觀測(cè)值，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下，不能認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān).(2)視頻率為概率,用戶為男“環(huán)保達(dá)人”的概率為.為女“環(huán)保達(dá)人”的概率為，①抽取的3名用戶中既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率為；②的取值為10，