2024屆浙江省麗水學院附屬高級中學數(shù)學高二下期末達標檢測試題含解析

2024屆浙江省麗水學院附屬高級中學數(shù)學高二下期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是定義域為的奇函數(shù),滿足.若，則（）A． B． C． D．2．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，，，，則（）A．2 B． C． D．43．已知，則展開式中，項的系數(shù)為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．5．將點的直角坐標化成極坐標為（）A． B． C． D．6．已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（）（附：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布，則，．）A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%7．已知的展開式中，含項的系數(shù)為70，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．-1 C．2 D．-28．—個物體的運動方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在5秒末的瞬時速度是（）A．6米秒 B．7米秒 C．8米秒 D．9米秒9．若圓錐的高等于底面直徑，側(cè)面積為,則該圓錐的體積為A． B． C． D．10．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則（）A． B． C． D．11．下列命題中，真命題是（）A． B．C．的充要條件是 D．是的充分條件12．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝（）A． B．C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與雙曲線的一條漸近線平行，則這兩條平行直線之間的距離是．14．運行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為_____.15．若的展開式的第項的二項式系數(shù)為，則其展開式中的常數(shù)項為________.16．用數(shù)學歸納法證明，則當時左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上的項為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在有陽光時，一根長為3米的旗軒垂直于水平地面，它的影長為米，同時將一個半徑為3米的球放在這塊水平地面上，如圖所示，求球的陰影部分的面積(結(jié)果用無理數(shù)表示)．18．（12分）已知橢圓的長軸長為，且橢圓與圓的公共弦長為（1）求橢圓的方程.（2）過點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，試判斷在軸上是否存在點，使得為以為底邊的等腰三角形.若存在，求出點的橫坐標的取值范圍，若不存在，請說明理由.19．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ=2(sinθ+cosθ)，直線l的參數(shù)方程為：（Ⅰ）寫出圓C和直線l的普通方程；（Ⅱ）點P為圓C上動點，求點P到直線l的距離的最小值．20．（12分）（1）當時，求證：；（2）當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)fx（1）當a=2，求函數(shù)fx（2）若函數(shù)fx22．（10分）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，1，1．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因為是定義域為的奇函數(shù)，且，所以,因此，因為，所以，，從而，選C.點睛：函數(shù)的奇偶性與周期性相結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．2、C【解題分析】

先利用正弦定理解出c，再利用的余弦定理解出b【題目詳解】所以【題目點撥】本題考查正余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】

==﹣1，則二項式的展開式的通項公式為Tr+1=﹣?，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展開式中x3項的系數(shù)為﹣?=﹣，故選B【題目點撥】本題考查集合的混合運算.4、A【解題分析】

求導，判斷導函數(shù)函數(shù)值的正負，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過單調(diào)性判斷選項.【題目詳解】解：當時，，則，若，，，若，，，則恒成立，即當時，恒成立，則在上單調(diào)遞減，

故選：A.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象，可以通過函數(shù)的性質(zhì)進行排除，屬于中檔題.5、B【解題分析】分析：求出，且在第三象限，由此能將點M的直角坐標化成極坐標.詳解：點M的直角坐標，，在第三象限，.將點M的直角坐標化成極坐標.故選B.點睛：極坐標與直角坐標的互化，常用方法有代入法、平方法等，還經(jīng)常會用到同乘(同除以)ρ等技巧．6、B【解題分析】試題分析：由題意故選B．考點：正態(tài)分布7、A【解題分析】

分析：由題意結(jié)合二項式展開式的通項公式得到關(guān)于a的方程，解方程即可求得實數(shù)a的值.詳解：展開式的通項公式為：，由于，據(jù)此可知含項的系數(shù)為：,結(jié)合題意可知：，解得：.本題選擇A選項.點睛：(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項．(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解．8、D【解題分析】分析：求出運動方程的導數(shù)，據(jù)對位移求導即得到物體的瞬時速度，求出導函數(shù)在t=3時的值，即為物體在3秒末的瞬時速度詳解：∵物體的運動方程為s=1﹣t+t2s′=﹣1+2ts′|t=5=9.故答案為：D.點睛：求物體的瞬時速度，只要對位移求導數(shù)即可．9、B【解題分析】

先設(shè)底面半徑，然后根據(jù)側(cè)面積計算出半徑，即可求解圓錐體積.【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，則高為，母線長；又側(cè)面積，所以，所以，故選：B.【題目點撥】本題考查圓錐的側(cè)面積公式應(yīng)用以及體積的求解，難度一般.圓錐的側(cè)面積公式：，其中是底面圓的半徑，是圓錐的母線長.10、B【解題分析】試題分析：設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點．即有正根，當有成立時，顯然有，此時．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．11、D【解題分析】A：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知恒成立，所以A錯誤．

B：當時，，所以B錯誤．

C：若時，滿足，但不成立，所以C錯誤．D：則，由充分必要條件的定義，，是的充分條件，則D正確．

故選D．12、C【解題分析】

先求出的表達式，然后對其化簡，求出復(fù)數(shù)的模即可.【題目詳解】由題意，，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查復(fù)數(shù)的模的計算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因為直線ax+y+2=0與雙曲線的一條漸近線y=x平行，所以-a=2，(或者-a=-2),則a=-2,(a=2,)假設(shè)a=2,則利用平行線間距離公式解得為14、【解題分析】

模擬程序的運行過程，即可得出程序運行后輸出的S值．【題目詳解】運行該程序框圖,，滿足執(zhí)行程序滿足執(zhí)行程序滿足執(zhí)行程序不滿足,故輸出.故答案為【題目點撥】本題考查了程序框圖的運行問題，準確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

根據(jù)第項的二項式系數(shù)可知，求出，進而得到展開式的通項公式；令的冪指數(shù)為零可知；代入通項公式可求得常數(shù)項.【題目詳解】由二項式定理可知，第項的二項式系數(shù)：，解得：展開式通項公式為：令，解得：常數(shù)項為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)的問題，關(guān)鍵是能夠明確二項式系數(shù)的定義、二項展開式的通項公式的形式.16、【解題分析】

分n=k和n=k+1寫出等式左邊的項，對比可得增加的項。【題目詳解】當n=k時，左邊是，當時左邊是,所以增加的項為，填?！绢}目點撥】運用數(shù)學歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))證明當n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))假設(shè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時命題成立，證明當n＝k＋1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、6π(米2)【解題分析】

先求出射影角，再由射影比例求球的陰影部分的面積。【題目詳解】解：由題意知，光線與地面成60°角，設(shè)球的陰影部分面積為S，垂直于光線的大圓面積為S′，則Scos30°＝S′,并且S′＝9π，所以S＝6π(米2)【題目點撥】先求出射影角，再由射影比例求球的陰影部分的面積。18、（1）（2）【解題分析】試題分析：（1）由長軸長可得值，公共弦長恰為圓直徑，可知橢圓經(jīng)過點，利用待定系數(shù)法可得橢圓方程；（2）可令直線的解析式為，設(shè)，的中點為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，由等腰三角形中，可得，得出中．由此可得點的橫坐標的范圍．試題解析：（1）由題意可得，所以.由橢圓與圓：的公共弦長為，恰為圓的直徑，可得橢圓經(jīng)過點，所以，解得.所以橢圓的方程為.（2）直線的解析式為，設(shè)，的中點為.假設(shè)存在點，使得為以為底邊的等腰三角形，則.由得，故，所以，.因為，所以，即，所以.當時，，所以；當時，，所以.綜上所述，在軸上存在滿足題目條件的點，且點的橫坐標的取值范圍為.點睛：本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,基本不等式,及韋達定理的應(yīng)用.解析幾何大題的第一問一般都是確定曲線的方程,常見的有求參數(shù)確定方程和求軌跡確定方程,第二問一般為直線與橢圓的位置關(guān)系,解決此類問題一般需要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想轉(zhuǎn)化給出的條件,可將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系,從而建立方程或者不等式來解決.19、（Ⅰ）(x-1)2+(y-1)2【解題分析】試題分析：（Ⅰ）由ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ試題解析：（Ⅰ）由已知ρ=2(sinθ+cos所以x2+y2=2y+2x由x=2+t,y=-1+t,得y=-1+(x-2)，所以直線l的普通方程為x-y-3=0（Ⅱ）由圓的幾何性質(zhì)知點P到直線l的距離的最小值為圓心C到直線l的距離減去圓的半徑，令圓心C到直線l的距離為d，則d=|-1+1-3|所以最小值為32考點：極坐標方程化為直角坐標方程，參數(shù)方程化為普通方程，直線與圓位置關(guān)系20、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）根據(jù)不等式的特征，分，，，構(gòu)造，研究其單調(diào)性即可.（2）將當時，恒成立，轉(zhuǎn)化為時，恒成立，當時，顯然成立，當且時，轉(zhuǎn)化為，，利用（1）的結(jié)論求解.【題目詳解】（1）當時，原不等式左邊與右邊相等，當時，原不等式，等價于，令，所以，所以在上遞增，，所以，當時，原不等式，等價于，令，所以，所以在上遞增，，所以，綜上：當時，；（2）因為當時，恒成立，所以當時，恒成立，當時，顯然成立，當且時，恒成立，由（1）知當且時，，所以，所以.實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)于函數(shù)的單調(diào)性研究不等式恒成立問題，還考查了分類討論的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）見解析；(2)0,2【解題分析】

（1）代入a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù)確定a的范圍即可．【題目詳解】（1）當a=2時，f'x=2x-列表：x011f—0+f↘極小值f↗所以，當x=1時，fx有極小值f1=（2）①因為fx=x2-a當a≤0時，f'所以fx在0，+∞當a>0時，由f'x>0得x>a2，由所以fx在0，a2上單調(diào)遞減，所以fx在x1°當a=2時，fx在0，1上單調(diào)遞減，fx2°當0<a<2時，a2<1，故fa注意到fx=x取x0=e-1設(shè)gx=xlnx,g列表x011g—0+g↘極小值g↗所以，當x=1e，gx所以xlnx>-1e>-1因此，根據(jù)零點存在性定理知，在e-1a又x=1也是fx的一個零點，則f3°當a>2時，a2>1，故fa注意到lnx<x，取x則f>a+1因此，根據(jù)零點存在性定理知，在a2,a+1上又x=1也是fx的一個零點，則f綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是0,2∪【題目點撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值及零點問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．22、（1）3人，2人，2人；（2）分布列見解析，.【解題分析】

(1)由甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為，利用分層抽樣的方法，即可求得從甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)；(2)由題意，隨機變量的所有可能取值為，求