全等三角形知識點演練(5大核心考點,91題)講練2023年中考數(shù)學(xué)一輪大單元復(fù)習(xí)

專題4.3全等三角形考點1：全等形和全等三角形性質(zhì)例1．（1）（2022秋·江蘇連云港·八年級校考階段練習(xí)）下列圖標中，不是由全等圖形組合成的是（）A． B． C． D．（2）（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC≌△DEF，且∠A=55°，∠B=75°，則∠F=______°．（3）（2022秋·湖南岳陽·八年級校考期中）如圖，△ABC≌△DEC，點B、C、D在同一直線上，且BD=12，AC=7，則CE長為____________．知識點訓(xùn)練1．（2023秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）與下圖全等的圖形是（

）A． B． C． D．2．（2020秋·江蘇常州·八年級常州市清潭中學(xué)?？计谥校┱页鱿铝懈鹘M圖中的全等圖形（）A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦3．（2022秋·福建龍巖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△DBC≌△ECB，且BE與CD相交于點A，下列結(jié)論錯誤的是（A．BE=CD B．AB=ACC．∠D=∠E D．BD=AE4．（2023秋·四川自貢·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，△ABC≌△AEF，∠B=∠E，有以下結(jié)論：①AC=AE；②EF=BC；③∠EAB=∠FAC；④∠EFA=∠AFC．其中正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．15．（河北省唐山市2022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）如圖，△ABC≌△DEC，點B，C，D在同一條直線上，且CE=1，CD=3，則BD的長是（

）A．1.5 B．2 C．3.5 D．46．（2023秋·四川南充·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點A，E，C在同一直線上，△ABC≌△DEC，AE=3，CD=8，則A．3 B．5 C．8 D．117．（2023秋·天津·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，DF與BC交于點G．若∠A=26°，∠CGF=83°，則∠E的度數(shù)是（A．34° B．36° C．38° D．40°8．（2022秋·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的圖案是由全等的圖形拼成的，其中AD=0.8，BC=1.6，則AF=（

）A．10.8 B．9.6 C．7.2 D．4.89．（2022秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．形狀相同的兩個三角形全等 B．三個角都分別相等的兩個三角形全等C．完全重合的兩個三角形全等 D．所有的等邊三角形全等10．（2022秋·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）下列說法：①角是軸對稱圖形；②等腰三角形有三條對稱軸；③關(guān)于某直線成軸對稱的兩個三角形全等；④兩個全等三角形一定關(guān)于某條直線成軸對稱．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個11．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖所示的網(wǎng)格是由9個相同的小正方形拼成的，圖形的各個頂點均為格點，則∠1?∠2?∠3的度數(shù)為（

）．A．30° B．45° C．55° D．60°12．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠BAC=135°，將△ABC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點A，B的對應(yīng)點分別為D，E．當點A、D、E在同一條直線上時，下列結(jié)論不正確的是（

）A．△ABC≌△DEC B．AE=AB+CDC．AD=2AC D．13．（2021秋·陜西商洛·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系內(nèi)，點O為坐標原點，A(?4,0)，B(0,3)．若在該坐標平面內(nèi)有一點P（不與點A、B、O重合）為一個頂點的直角三角形與Rt△ABO全等，且這個以點P為頂點的直角三角形與Rt△ABO有一條公共邊，則所有符合條件的三角形個數(shù)為（A．3個 B．4個 C．6個 D．7個14．（2023秋·云南曲靖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為3,0，點B的坐標為0,6，點C在x軸上運動（不與點A重合），點D在y軸上運動（不與點B重合），當以點C、O、D為頂點的三角形與△AOB全等時，則點D的坐標為______．15．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△AOD≌△BOC，∠A=30°，∠C=50°，∠AOC=150°，則∠COD=______°．16．（2023秋·四川南充·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點E在邊AB上，若∠B=75°，則∠ACD的度數(shù)是_________．考點2：全等三角形的判定及應(yīng)用例2．（1）（2023秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）為了測量湖的寬度AB，小明同學(xué)先從A點走到點O處，再繼續(xù)向前走相同的距離到達點C（即OC=OA），然后從點C沿與AB平行的方向，走到與點O，B共線的點D處，測量C，D間的距離就是湖的寬度．下列可以判斷△OCD≌△OAB的是（

）A．SSS B．SSA C．SAS D．ASA（2）（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知∠CAE=∠DAB，AC=AD（3）（2023秋·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期末）根據(jù)下列條件，能確定△ABC（存在且唯一）的是（

）A．AB=2，BC=3，AC=6 B．AC=4，BC=3，∠A=60°C．AB=5，BC=3，∠B=30° D．∠A=45°，∠B=45°，∠C=90°（4）（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=65°，∠BAC=70°，AD⊥BC于點D，BM⊥AC于點M，AD與BM交于點P，則∠BPC=______．例3（2022秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC于點O，P是OC的中點，D是BC延長線上一點，滿足PB=PD(1)求證∠1=∠2；(2)探究CD與AP之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．例4．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖（1），△ABC中，AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍，經(jīng)過組內(nèi)合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE=AD請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖得到△ADC≌A．SSS

B．SAS

C．AAS

D．HL(2)求得AD的取值范圍是___________．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】(3)如圖（2），AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求證：AC=BF．知識點訓(xùn)練1．（2022秋·浙江溫州·八年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=25°，O為斜邊中點，將線段OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)a0°<α<A．80° B．65° C．50°2．（2023秋·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，△ABC和△BDE都是等邊三角形，點A，D，E在同一條直線上，BE=2，CE=4，則A．6 B．5 C．8 D．73．（海南省?？谑校ú糠中＃?022-2023學(xué)年八年級上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題（A））如圖，直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，等腰直角△ABC的三個頂點A、B、C分別在直線l2、l1A．10 B．12 C．252 4．（2022秋·黑龍江雙鴨山·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示的網(wǎng)格是由9個相同的小正方形拼成的，圖形的各個頂點均為格點，則∠2+∠3的度數(shù)為（

）A．30° B．45° C．55° D．60°5．（2022秋·安徽黃山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊△ABC和等邊△BPE，點P在BC的延長線上，EC的延長線交AP于點M，連接BM，有下列結(jié)論：①AP=CE；

②∠PME=60°；

③MB平分∠AME；

④AM+MC=BM，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④6．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點E，F(xiàn)在線段AC上，AE=CF，AD⊥DF，CB⊥BE，要根據(jù)“HL”證明Rt△ADF≌Rt△CBEA．AF=CE B．∠A=∠C C．AD=CB D．AD∥BC7．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點O為△ABC的內(nèi)心，∠B=60°，BM≠BN，點M，N分別為AB，BC上的點，且OM=ON．甲、乙、丙三人有如下判斷：甲：∠MON=120°；乙：四邊形OMBN的面積為定值；丙：當MN⊥BC時，△MON的周長有最小值．則下列說法正確的是（）A．只有甲正確 B．只有乙錯誤C．乙、丙都正確 D．只有丙錯誤8．（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB與CD相交于點O，且OA=OB，添加下列選項中的一個條件，不能判定△AOC和△BOD全等的是（

）A．OC=ODB．∠C．AC=BDD．AC9．（2023秋·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，射線OC為∠AOB的平分線，點M，N分別是邊OA，OB上的兩個定點，且OM<ON，點P在OC上，滿足PM=PN的點P的個數(shù)有（

A．0個 B．1個 C．2個 D．無數(shù)個10．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期末）在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，下列條件：①AC=DF；②∠B=∠E；③∠C=∠F；④BC=EF．其中一定能判定△ABC≌△DEF的個數(shù)為（A．1 B．2 C．3 D．411．（2022秋·四川廣安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，AB=DC，若要用“SSS”證明△ABC≌12．（2022秋·福建莆田·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)社團活動課上，甲乙兩位同學(xué)玩數(shù)學(xué)游戲．游戲規(guī)則是：兩人輪流對△ABC及△A'B'C'的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角添加一組等量條件（點A'，B'，C'分別是點A輪次行動者添加條件1甲AB=2乙∠A=∠3甲…上表記錄了兩人游戲的部分過程，則下列說法正確的是___________．（填寫所有正確結(jié)論的序號）①若第3輪甲添加∠C=∠C②若第3輪甲添加BC=B③若第2輪乙添加條件修改為∠A=∠A④若第2輪乙添加條件修改為BC=B13．（2023秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點C，E，B，F(xiàn)在同一條直線上，AB=DE，AC=DF，14．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖AB=AD,CB=CD,AC,BD相交于點E．(1)求證△ABC?△ADC；(2)求證BE=DE．15．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC，CA的延長線上，且CD=AE．求證：∠D=∠E．16．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點O在等邊△ABC的內(nèi)部，∠AOB=105°，∠BOC=α，以O(shè)C為邊作等邊△COD，連接AD．(1)求證：AD=BO；(2)當α=150°時，試判斷17．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，連接BD，AB∥CD，且(1)求證：△ABD?△CDB；(2)若AB=BD，∠ABD=48°，求∠C的度數(shù)．18．（2023秋·浙江寧波·八年級?？计谀┤鐖D，在四邊形ABCD中，P為CD邊上的一點，BC∥AD．AP、BP分別是∠BAD、∠ABC的角平分線．(1)若∠BAD=70°，則∠ABP的度數(shù)為_______，∠APB的度數(shù)為____________；(2)求證：AB=BC+AD；(3)設(shè)BP=3a，AP=4a，過點P作一條直線，分別與AD，BC所在直線交于點E、F，若AB=EF，直接寫出AE的長（用含a的代數(shù)式表示）考點3：角平分線性質(zhì)定理和逆定理例5.（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，若BD=CD,BE=CF．(1)求證：AD平分∠BAC；(2)請猜想AB+AC與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．例6.（2022秋·湖北武漢·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，E是BC中垂線上一點，EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，BM=CN．求證：AE平分∠BAC．知識點訓(xùn)練1．（2022秋·貴州銅仁·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點B的坐標為6,0，OC平分∠AOB交AB于點C，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過點A，C．若S△AOC:A．5716 B．45716 C．2．（2023秋·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，以頂點B為圓心、適當長為半徑作弧，在邊BC、BA上截取BE、BD；然后分別以點D、E為圓心、以大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠CBA內(nèi)交于點F；作射線BF交AC于點G．若AC=6，P為邊AB上一動點，則GP的最小值為（

A．3 B．2 C．1 D．無法確定3．（2023秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分線MD交AC于點D，AB于點M，以下結(jié)論：①△BCD是等腰三角形；②BD是△ACB的角平分線；③△BCD的周長C△BCD=AC+BC；④△ADM≌△BCD．正確的有（A．①③ B．①② C．①②③ D．③④4．（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，BD，CE交于點F，連接AF，下列結(jié)論：①BD=CE；②∠AEF=∠ADF；③BD⊥CE；④AF平分∠CAD；⑤∠AFE=45°，其中結(jié)論正確的序號是（

）A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③⑤5．（2022秋·福建泉州·八年級統(tǒng)考期末）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點P，小明說：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上．B．角平分線上的點到角兩邊的距離相等．C．三角形三個內(nèi)角的平分線交于同一個點．D．三角形三個內(nèi)角的平分線的交點到三條邊的距離相等．6．（2023秋·河北邢臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，角平分線BE，CD相交于點P，若AP=4，AC=6，則S△APC=（A．4 B．6 C．12 D．247．（2023秋·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）已知，如圖，△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，點D、E分別在BA、BC延長線上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，連接AP，則∠PAC的度數(shù)為（

）A．45° B．48° C．60° D．66°8．（2023秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△AOB和△COD中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=108°，連接AC，BD交于點M，連接OM．甲、乙、丙三人的說法如下，下列判斷正確的是（甲：AC=BD；乙：∠CMD>∠COD；丙：MO平分∠BMCA．乙錯，丙對 B．甲和乙都對 C．甲對，丙錯 D．甲錯，丙對9．（2023秋·重慶大足·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC的三邊AC、BC、AB的長分別是8、12、16，點O是△ABC三條角平分線的交點，則S△OABA．4:3:2 B．5:3:2 C．2:3:4 D．3:4:510．（2022秋·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期中）慶陽市是傳統(tǒng)的中藥材生產(chǎn)區(qū)，優(yōu)越的地理氣候條件形成了較獨特的資源稟賦，孕育了豐富的中藥植物資源和優(yōu)良品種，素有“天然藥庫”“中藥之鄉(xiāng)”的美稱．如圖，三條公路把A、B、C三個盛產(chǎn)中藥材的村莊連成一個三角形區(qū)域，此地區(qū)決定在這個三角形區(qū)域內(nèi)修建一個中藥材批發(fā)市場，要使批發(fā)市場到三條公路的距離相等，則這個批發(fā)市場應(yīng)建在（

）A．三角形的三條中線的交點處 B．三角形的三條角平分線的交點處C．三角形的三條高的交點處 D．以上位置都不對11．（2022秋·海南?？凇ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，BC=12，AD=4，則△DBC的面積為__________．12．（2023·湖南衡陽·校考一模）如圖所示，點O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC=30°），OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，若OM=ON，則∠ABO=_______度．13．（2023秋·湖北省直轄縣級單位·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC與△BDE都為等邊三角形，連接AE與CD，延長AE交CD于點F，連接FB．給出下面四個結(jié)論：①AE=CD；②∠AFC=60°；③BF平分∠EBD；④FB平分∠EFD.其中所有正確結(jié)論的序號是__________．14．（2023春·浙江金華·八年級浙江省義烏市后宅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知：OP平分∠MON，點A，B分別在邊OM，ON上，且∠(1)如圖1，當∠OAP=90°時，求證：OA=OB(2)如圖2，當∠OAP<90°時，作PC⊥OM于點C①PA=PB；②請直接寫出OA，OB，AC之間的數(shù)量關(guān)系．15．（2022春·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，CM平分∠ACB交AB于點M，過點M作MN∥BC交AC于點N，若AN=1，求BC考點4：線段垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理例7.(1)（2023秋·浙江寧波·八年級寧波市第七中學(xué)校考期末）如圖，△ABC中，AB<AC<BC，如果要使用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點P，使PA＋A． B．C． D．(2)（2023秋·云南曲靖·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=110°，EF是邊AB的垂直平分線，垂足為E，交BC于F．MN是邊AC的垂直平分線，垂足為M，交BC于N．連接AF、AN則∠FAN的度數(shù)是（A．70 B．55 C．40 D．30(3)（2022秋·新疆烏魯木齊·八年級校考期末）電信部門要再S區(qū)修建一座手機信號發(fā)射塔，按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條高速公路OC，OD的距離也必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)建在（

）A．∠COD的平分線上任意某點處 B．線段AB的垂直平分線上任意某點處C．∠COD的平分線和線段AB的交點處 D．∠COD的平分線和線段AB垂直平分線的交點處例8.（2023春·重慶沙坪壩·八年級重慶南開中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在△ABC中，EF是AB的垂直平分線，AD⊥BC于點D，且D為CE的中點．(1)求證：BE=AC；(2)若∠C=70°，求∠BAC的度數(shù)．知識點訓(xùn)練1．（2022秋·海南海口·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，若AB=6，AC=8，則△ABD的周長等于（）A．11 B．13 C．14 D．162．（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰△ABC的底邊BC長為6，面積是24，E為腰AB的垂直平分線MN上一動點．點D為BC的中點，則△BDE的周長的最小值為（

A．6 B．8 C．10 D．113．（2023秋·福建泉州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算∠α的度數(shù)為（）A．56° B．68° C．28°4．（2023秋·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交AB于點E，∠BCD=60°，AD=12AB，連接OE．下列結(jié)論：①S?ABCD=AD?BC；②DB平分∠CDE；③AO=DE；④OEA．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2022秋·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，尺規(guī)作圖：（1）分別以B，C為圓心，BC長為半徑作弧，兩弧交于點D；（2）連接AD，BD，CD，AD與BC交于點E，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．△ABD≌△ACD B．△DBE≌△DCEC．△BCD是等邊三角形 D．BC垂直平分AD6．（2023秋·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=75°，DE垂直平分AB，交AB于點D，交BC于點E，若BE=8cm，則AC7．（2023秋·重慶萬州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，邊AC的垂直平分線交BC于點D，交AC于點E，連接AD，若AD是∠BAC的角平分線，且AB=AD時，則∠B=___________°．8．（2023秋·山東淄博·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，垂足為點F．E是AB上的一點，∠CEF=30°，CF=2．試求△CED9．（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=BC，EF是AB的垂直平分線，交AB于點E，交BC于點F．(1)按要求作圖：作∠ABC的平分線BD，交AC于點D，交EF于點O，連接OA，(2)求證：點O在BC的垂直平分線上；(3)若∠CBD=20°，求∠COF的度數(shù)．10．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，∠AOB=30°，M，N分別是射線OA,OB上的動點，OP平分∠AOB，OP=9，則△PMN的周長的最小值為（）A．9 B．92 C．6 11．（2022秋·山東臨沂·八年級?？计谀?如圖，電信部門要在S區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔．按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B距離必須相等，到兩條高速公路m和n的距離也必須相等．發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標出它的位置．（保留作圖痕跡）12．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，∠HAB=30°，點B與點C關(guān)于射線AH對稱，連接AC．D點為射線AH上任意一點，連接CD．將線段CD繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段CE，連接BE．(1)求證：直線EB是線段AC的垂直平分線；(2)點D是射線AH上一動點，請你直接寫出∠ADC與∠ECA之間的數(shù)量關(guān)系．13．（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐問題情境：課堂上老師展示了一張直角三角形紙片．請同學(xué)們進行折紙活動，已知在Rt△ABC中．∠ACB=90°，點D、F分別是BC、AB上的一點．連接DF(1)如圖1．小紅將△BDF沿直線DF折疊，點B恰好落在BC上點E處，若S△BDFS四邊形(2)如圖2，小明將△BDF沿直線DF折疊，點B落在AC上點E處，若FE⊥AC，求證：四邊形BDEF是菱形；(3)如圖3．小亮將△BDF沿直線DF折疊，點B落在AC延長線上點E處，且EF平分∠AED，若AC=3，BC=4，求CE的長．14．（2023秋·江蘇南京·八年級統(tǒng)考期末）（1）如圖1，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°．求證BC=1①補全證明過程．證明：如圖2，取AB中點D，連接CD．∴BD=AD=1在△ABC中，∠C=90°，∴______；∴CD=BD．又∠A=30°，∴∠B=90°?∠A=60°．∴△BCD為______三角形．∴BC=BD=1②請用文字概括①所證明的命題：____________．（2）如圖3，某市三個城鎮(zhèn)中心D，E，F(xiàn)恰好分別位于一個等邊三角形的三個頂點處，在三個城鎮(zhèn)中心之間鋪設(shè)通信光纜，以城鎮(zhèn)D為出發(fā)點設(shè)計了三種連接方案：方案1：DE+EF；方案2：DG+EF（G為EF的中點）；方案3：OD+OE+OF（①設(shè)DE=6，通過計算，比較三種連接方案中鋪設(shè)的光纜長度的長短；②不計算，比較三種連接方案中鋪設(shè)的光纜長度的長短，并說明理由．15．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，如圖1，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連接PA、PB，將線段AB沿直線MN對稱，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．解答下列問題：(1)請你結(jié)合圖形把已知和求證補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖1，MN⊥AB，垂足為點C，______，點P是直線MN上的任意一點．求證：______．(2)證明：如圖2，CD是線段AB垂直平分線，則∠CAD與∠CBD有何關(guān)系？請說明理由．考點5：全等三角形的綜合問題例9.（2023秋·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于點E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于點F，DF的延長線交AC于點G．(1)求證：DF∥(2)若AE=6，CE=8，求線段GF的長．例10.（2022秋·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期末）已知OM是∠AOB的平分線，點P是射線OM上一定點，點C、D分別在射線OA、OB上，連接PC、PD(1)如圖①，當PC⊥OA，PD⊥OB時，則PC與PD的數(shù)量關(guān)系是___________；(2)如圖②，點C、D在射線OA、OB上滑動，且∠AOB=90°，當PC⊥PD時，PC與(3)在問題（2）中，若OC+OD=6，則四邊形ODPC的面積S是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由．知識點訓(xùn)練1．（2022秋·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，D,E分別為邊AC,BC上一點，連接BD,DE．已知AB=BE,AD=DE．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)若∠A=55°，求證：∠CDE=12．（2023秋·湖北荊州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，BC=2AB，D是AC上一點，∠ABD=20°，E是BD上一點，EA⊥AB，EB=EC．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)求∠DEC的度數(shù)．3．（2023秋·重慶長壽·九年級統(tǒng)考期末）在圖（1）至圖（2）中，直線MN與線段AB相交于點O，∠1=∠2=45°．(1)如圖（1），若AO=OB，請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；(2)將圖（1）中的MN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得