江西省吉安市新干中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

江西省吉安市新干中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足(1－i)·z＝2i，是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的說法正確的是()A．z＝1－i B．C． D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第四象限2．設(shè)，若，則的值為（）A． B． C． D．3．設(shè)F是橢圓=1的右焦點(diǎn)，橢圓上至少有21個(gè)不同的點(diǎn)（i=1,2,3,···），，，···組成公差為d（d>0）的等差數(shù)列，則d的最大值為A． B． C． D．4．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，則（）A． B． C． D．5．已知直線傾斜角是，在軸上截距是，則直線的參數(shù)方程可以是（）A． B． C． D．6．已知，則（）A．0.6 B．3.6 C．2.16 D．0.2167．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．8．為了研究經(jīng)常使用手機(jī)是否對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響，某校高二數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取高二年級(jí)50名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)單元測(cè)試成績(jī)，并制成下面的2×2列聯(lián)表：及格不及格合計(jì)很少使用手機(jī)20525經(jīng)常使用手機(jī)101525合計(jì)302050則有（）的把握認(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響．參考公式:，其中0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A．97.5% B．99% C．99.5% D．99.9%9．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則()A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直D．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直10．6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A．144 B．120 C．72 D．2411．若向量，滿足，與的夾角為，則等于（）A． B． C．4 D．1212．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積（單位：）是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題“，”為假命題，則的取值范圍是__________.14．已知函數(shù).為的導(dǎo)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為__________.15．半徑為的圓形鐵片剪去一個(gè)扇形，用剩下的部分卷一個(gè)圓錐．圓錐的體積最大值為______16．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8.高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6.高為4的等腰三角形，則該幾何體的體積為______；側(cè)面積為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的最大值；（2）令，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，正實(shí)數(shù)滿足，證明.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝3x，f(a＋2)＝81，g(x)＝.(1)求g(x)的解析式并判斷g(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)g(x)的值域.19．（12分）已如變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣是，變換對(duì)應(yīng)的變換矩陣是.（Ⅰ）若直線先經(jīng)過變換，再經(jīng)過變換后所得曲線為，求曲線的方程；（Ⅱ）求矩陣的特征值與特征向量.20．（12分）在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足.，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若，直線交曲線于、兩點(diǎn)（點(diǎn)、與點(diǎn)不重合），且滿足.為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)滿足，證明直線過定點(diǎn)，并求直線的斜率的取值范圍.21．（12分）盒中裝有7個(gè)零件，其中2個(gè)是使用過的，另外5個(gè)未經(jīng)使用.（1）從盒中每次隨機(jī)抽取1個(gè)零件，每次觀察后都將零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率；（2）從盒中隨機(jī)抽取2個(gè)零件，使用后放回盒中，記此時(shí)盒中使用過的零件個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與圓相切，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求出z，然后逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得答案．【題目詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第二象限，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

分別取代入式子，相加計(jì)算得到答案.【題目詳解】取得：取得：兩式相加得到故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，取特殊值是解題的關(guān)鍵.3、B【解題分析】

求出橢圓點(diǎn)到的距離的最大值和最小值，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得結(jié)論．【題目詳解】橢圓中，而的最大值為，最小值為，∴，．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，難度不大．4、D【解題分析】分析：通過計(jì)算前幾項(xiàng)，可得n=3，4，…，2018，數(shù)列以3為周期的數(shù)列，計(jì)算可得所求和．詳解：定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x），可得f（﹣x）=﹣f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，滿足，可得x＞時(shí)，f（x）=f（x﹣3），則f（1）=﹣log25，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（3）=f（0）=0，f（4）=f（1）=﹣log25，f（5）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（6）=f（3）=f（0）=0，f（7）=f（4）=f（1）=﹣log25，f（8）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，…f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=﹣log25+log25+（0﹣log25+log25）×672=0，故選：D．點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.5、D【解題分析】

由傾斜角求得斜率,由斜截式得直線方程,再將四個(gè)選項(xiàng)中的參數(shù)方程化為普通方程,比較可得答案.【題目詳解】因?yàn)橹本€傾斜角是,所以直線的斜率,所以直線的斜截式方程為:,由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故不正確;由消去得,故正確;故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線方程的斜截式,參數(shù)方程化普通方程,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)分布的期望的計(jì)算公式求解即可得到結(jié)果．【題目詳解】∵，∴．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布的期望，解題的關(guān)鍵是熟記此類分布期望的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】

先求出直線和圓相交時(shí)的取值范圍，然后根據(jù)線型的幾何概型概率公式求解即可．【題目詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，直線方程即為，所以圓心到直線的距離，又直線與圓相交，所以，解得．所以在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題以直線和圓的位置關(guān)系為載體考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是由直線和圓相交求出參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)公式求解，考查轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】

根據(jù)2×2列聯(lián)表，求出的觀測(cè)值，結(jié)合題中表格數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論.【題目詳解】由題意，可得：，所以有99.5%的把握認(rèn)為經(jīng)常使用手機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)有影響.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】

可在正方體中選擇兩個(gè)相交平面，再選擇由頂點(diǎn)構(gòu)成且與其中一個(gè)面垂直的直線，通過變化直線的位置可得正確的選項(xiàng)．【題目詳解】

如圖，平面平面，平面，但平面內(nèi)無直線與平行，故A錯(cuò)．又設(shè)平面平面，則，因，故，故B、C錯(cuò)，綜上，選D．【題目點(diǎn)撥】本題考察線、面的位置關(guān)系，此種類型問題是易錯(cuò)題，可選擇合適的幾何體去構(gòu)造符合條件的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系或不符合條件的反例．10、D【解題分析】試題分析：先排三個(gè)空位，形成4個(gè)間隔，然后插入3個(gè)同學(xué)，故有種考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題11、B【解題分析】

將平方后再開方去計(jì)算模長(zhǎng)，注意使用數(shù)量積公式.【題目詳解】因?yàn)椋?，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的模長(zhǎng)計(jì)算，難度一般.對(duì)于計(jì)算這種形式的模長(zhǎng)，可通過先平方再開方的方法去計(jì)算模長(zhǎng).12、A【解題分析】由三視圖可知，該幾何體是半個(gè)圓柱和以圓柱軸截面為底面的四棱錐組成的組合體，其中半圓柱底面半徑為，高為，體積為，四棱錐體積為，所以該幾何體體積為，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先根據(jù)命題真假得恒成立，即得的最大值.詳解：因?yàn)槊}為假命題，所以恒成立，所以的最大值.點(diǎn)睛：根據(jù)命題與命題否定的真假性關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即特稱命題為假命題，則對(duì)應(yīng)全稱命題為真命題，再根據(jù)恒成立知識(shí)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題.14、【解題分析】

通過對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，代入1即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，，所以，故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的運(yùn)算法則，難度不大.15、【解題分析】

設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，可得，構(gòu)造關(guān)于圓錐體積的函數(shù)，可得，利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值.【題目詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為則，即圓錐的體積：則，令，解得：則時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐體積最值的求解，關(guān)鍵是能夠利用圓錐體積公式將所求體積構(gòu)造為關(guān)于圓錐的高的函數(shù)，從而可利用導(dǎo)數(shù)求解得到函數(shù)的最值.16、64【解題分析】

根據(jù)三視圖可得該幾何體表示一個(gè)四棱錐，且四棱錐的底面是一個(gè)長(zhǎng)為8，寬為6的矩形，其中高為4，即可利用體積公式和表面積公式求解，得到答案.【題目詳解】由題意可知，這個(gè)幾何體是一個(gè)四棱錐，且四棱錐的底面是一個(gè)長(zhǎng)為8，寬為6的矩形，四棱錐高為4，所以四棱錐的體積為，四棱錐的側(cè)面為等腰三角形，底邊長(zhǎng)分別為，斜高分別為，所以側(cè)面積為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間幾何體的三視圖的應(yīng)用，以及四棱錐的體積與側(cè)面積的計(jì)算，其中解答中根據(jù)幾何體的三視圖得到幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f（x）的最大值為f（1）=1．（2）見解析（3）見解析【解題分析】試題分析：（Ⅰ）代入求出值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，進(jìn)而判斷最值；（Ⅱ）求出，求出導(dǎo)函數(shù)，分別對(duì)參數(shù)分類討論，確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）整理方程，觀察題的特點(diǎn)，變形得，故只需求解右式的范圍即可，利用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)的方法求出右式的最小值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以a=-2，此時(shí)f（x）=lnx-x2+x，f'（x）=-2x+1，由f'（x）=1，得x=1，∴f（x）在（1，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，故當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極大值，也是最大值，所以f（x）的最大值為f（1）=1．

（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2-ax+1，∴g（x）=lnx-ax2-ax+x+1，當(dāng)a=1時(shí)，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（1，）時(shí)，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；x∈（，+∞）時(shí)，g'（x）＜1，g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)a＜1時(shí)，g'（x）＞1，g（x）單調(diào)遞增；（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=lnx+x2+x，x＞1，．由f（x1）+f（x2）+x1x2=1，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x2x1=1．從而（x1+x2）2+（x1+x2）=x1x2-ln（x1x2），．令t=x2x1，則由φ（t）=t-lnt得，φ'（t）=．可知，φ（t）在區(qū)間（1，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．所以φ（t）≥1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，正實(shí)數(shù)x1，x2，∴．18、（1）,為奇函數(shù);（2）.【解題分析】試題分析：(1)先求出,即可得的解析式，然后利用奇偶性的定義判斷的奇偶性;

(2)根據(jù)分式的特點(diǎn)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解值域.試題解析：（1）由，得，故，所以.因?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù).（2），，所以，即函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?19、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）先求出變換矩陣，然后設(shè)曲線上一點(diǎn)，列出方程即可得到方程；（Ⅱ）先利用多項(xiàng)式求出特征根，然后求出特征向量.【題目詳解】解：（Ⅰ），在曲線上任取一點(diǎn)，在變換的作用下得到點(diǎn)，則即，整理得，則即代入中得.（Ⅱ）矩陣的特征多項(xiàng)式為，令得或，①當(dāng)時(shí)，由，得即令，則.所以矩陣的一個(gè)特征向量為；②當(dāng)時(shí)，由，得，即令，則.所以矩陣的一個(gè)特征向量.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查矩陣變換，特征值和特征向量的相關(guān)運(yùn)算.意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力，難度中等.20、(1).(2).【解題分析】試題分析：（1）由相關(guān)點(diǎn)法得到M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=（2）聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程，根據(jù)條件結(jié)合韋達(dá)定理得到，，，進(jìn)而求得范圍.解析：(1)設(shè)M(x0,y0),N（x,y），則x=x0,y=y0,代入圓方程有.即為N點(diǎn)的軌跡方程.(2)當(dāng)直線垂直于軸時(shí),由消去整理得,解得或,此時(shí),直線的斜率為；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí),設(shè),直線:(),由,消去整理得,依題意,即(*),且,,又,所以,所以,即,解得滿足(*),所以,故,故直線的斜率,當(dāng)時(shí),,此時(shí)；當(dāng)時(shí),,此時(shí)；綜上,直線的斜率的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長(zhǎng)問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．21、（1）3次抽取中恰有1次抽到使用過的零件的概率p=150（2）隨機(jī)變量X的分布列為:X

2

3

4

P

12110211021EX=24【解題分析】試題分析：（1）這是一個(gè)有放回地抽取的問題，可以看作獨(dú)立重