2024屆山西省孝義市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測試題含解析

2024屆山西省孝義市實(shí)驗(yàn)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，當(dāng)時，，則a的取值范圍是A． B． C． D．2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，過且斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑為()A． B． C． D．3．命題“任意”為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．4．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積是（）A． B． C．19 D．5．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為（）A．n＋1 B．2n C． D．n2＋n＋16．已知為等差數(shù)列,,則（）A．42 B．40 C．38 D．367．命題“對任意的，”的否定是A．不存在， B．存在，C．存在， D．對任意的，8．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．定義1分的地球球心角所對的地球大圓弧長為1海里．在北緯45°圈上有甲、乙兩地，甲地位于東經(jīng)120°，乙位于西經(jīng)150°，則甲乙兩地在球面上的最短距離為（）A．5400海里 B．2700海里 C．4800海里 D．3600海里10．定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（）A． B． C． D．11．內(nèi)接于半徑為的半圓且周長最大的矩形的邊長為（）．A．和 B．和 C．和 D．和12．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有編號分別為1，2，3，4，5的5個黑色小球和編號分別為1，2，3，4，5的5個白色小球，若選取的4個小球中既有1號球又有白色小球，則有______種不同的選法.14．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若對于任意，，?dāng)時，恒有，則稱點(diǎn)為函數(shù)圖象的對稱中心.研究函數(shù)的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到的值為_______________.15．向量與之間的夾角的大小為__________.16．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上,且球的表面積為,,平面,,則三棱錐的體積為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，求：（1）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）的單調(diào)遞減區(qū)間．18．（12分）在2018年高校自主招生期間，某校把學(xué)生的平時成績按“百分制”折算，選出前名學(xué)生，并對這名學(xué)生按成績分組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組.如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60.（1）請寫出第一、二、三、五組的人數(shù)，并在圖中補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）若大學(xué)決定在成績高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)行面試.①若大學(xué)本次面試中有，，三位考官，規(guī)定獲得至少兩位考官的認(rèn)可即為面試成功，且各考官面試結(jié)果相互獨(dú)立.已知甲同學(xué)已經(jīng)被抽中，并且通過這三位考官面試的概率依次為，，，求甲同學(xué)面試成功的概率；②若大學(xué)決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生接受考官的面試，第3組有名學(xué)生被考官面試，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）．以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出直線的極坐標(biāo)方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知與直線平行的直線過點(diǎn)，且與曲線交于兩點(diǎn)，試求．20．（12分）已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）求證：.21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，求的面積的最大值.22．（10分）已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且函數(shù)在上為減函數(shù)．（1）證明：當(dāng)時，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】∵當(dāng)x1≠x2時，＜0，∴f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故選A．2、C【解題分析】分析：根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式求出的面積，利用橢圓的定義求出三角形的周長，代入內(nèi)切圓半徑，從而可得結(jié)果.詳解：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，則的坐標(biāo)為，過且斜率為的直線為，即，代入，得，則，故的面積，的周長，故的內(nèi)切圓半徑，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查利用橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓定義的應(yīng)用，屬于中檔題.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸、橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.3、C【解題分析】試題分析：對此任意性問題轉(zhuǎn)化為恒成立，當(dāng)，即，，若是原命題為真命題的一個充分不必要條件，那應(yīng)是的真子集，故選C.考點(diǎn)：1.集合；2.充分必要條件.4、B【解題分析】

判斷幾何體的形狀幾何體是正方體與一個四棱柱的組合體，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何體的表面積即可．【題目詳解】由題意可知幾何體是正方體與一個四棱柱的組合體，如圖：幾何體的表面積為：．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5、C【解題分析】1條直線將平面分成1＋1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區(qū)域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝個區(qū)域，選C.6、B【解題分析】分析：由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求，然后由即可求解.詳解：，，，，故選：B.點(diǎn)睛：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．7、C【解題分析】

注意兩點(diǎn)：1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2）只對結(jié)論進(jìn)行否定．“對任意的，”的否定是:存在，選C.8、A【解題分析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【題目詳解】解：由，得．∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

求出甲乙兩地的球心角，根據(jù)比例關(guān)系即可得出答案?！绢}目詳解】地球表面上從甲地（北緯45°東經(jīng)120°）到乙地（北緯45°西經(jīng)150°），乙兩地對應(yīng)的AB的緯圓半徑是,經(jīng)度差緯90°，所以AB=R,球心角為60°，最短距離為【題目點(diǎn)撥】求出甲乙兩地的球心角，根據(jù)比例關(guān)系即可得出答案。10、C【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出函數(shù)為上的增函數(shù)，并將所求不等式化為，利用單調(diào)性可解出該不等式.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由，則，，可得，即，，因此，不等式的解集為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)不等式的求解，通過導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.11、D【解題分析】

作出圖像,設(shè)矩形,圓心為,,再根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系表達(dá)矩形的長寬,進(jìn)而列出周長的表達(dá)式,根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【題目詳解】如圖所示：設(shè)矩形,,由題意可得矩形的長為,寬為,故矩形的周長為,其中,.故矩形的周長的最大值等于,此時,.即,再由可得,故矩形的長為,寬為,故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)角度表達(dá)幾何中長度的關(guān)系再求最值的問題,需要根據(jù)題意設(shè)角度,結(jié)合三角函數(shù)與圖形的關(guān)系求出邊長,再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.屬于中檔題.12、D【解題分析】

本題通過討論的不同取值情況，分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和，結(jié)合選項(xiàng)，判斷得出正確結(jié)論.題目不難，注重重要知識、基礎(chǔ)知識、邏輯推理能力的考查.【題目詳解】當(dāng)時，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，則函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，D選項(xiàng)符合；當(dāng)時，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，則函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞減，函數(shù)過定點(diǎn)且單調(diào)遞增，各選項(xiàng)均不符合.綜上，選D.【題目點(diǎn)撥】易出現(xiàn)的錯誤有，一是指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟，導(dǎo)致判斷失誤；二是不能通過討論的不同取值范圍，認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、136【解題分析】分析：分兩種情況：取出的4個小球中有1個是1號白色小球；取出的4個小球中沒有1號白色小球.詳解：由題，黑色小球和白色小球共10個，分兩種情況：取出的4個小球中有1個是1號白色小球的選法有種；取出的4個小球中沒有1號白色小球，則必有1號黑色小球，則滿足題意的選法有種，則滿足題意的選法共有種.即答案為136.點(diǎn)睛：本題考查分步計(jì)數(shù)原理、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意要求取出的“4個小球中既有1號球又有白色小球”．14、.【解題分析】

分析：根據(jù)題意知函數(shù)f（x）圖象的對稱中心坐標(biāo)為（1，﹣1），即x1+x2=2時，總有f（x1）+f（x2）=﹣2，再利用倒序相加，即可得到結(jié)果．詳解：解：函數(shù)，f（1）＝2﹣3＝﹣1，當(dāng)x1+x2＝2時，f（x1）+f（x2）＝2x1+2x2+3cos（x1）+3cos（x2）﹣6＝2×2+0﹣6＝﹣2，∴f（x）的對稱中心為（1，﹣1），∴＝f（）+f（）+f（）+f（）+…+f（）＝﹣2×（2017）﹣1＝﹣1．故答案為﹣1．點(diǎn)睛：這個題目考查了函數(shù)的對稱性，一般函數(shù)的對稱軸為a，函數(shù)的對稱中心為（a,0）；15、120°【解題分析】

首先求得向量的數(shù)量積和向量的模，然后利用夾角公式即可求得向量的夾角.【題目詳解】由題意可得：，，，則.故答案為：120°．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間向量夾角的計(jì)算，空間向量數(shù)量積和向量的模的計(jì)算等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16、1【解題分析】

由題意兩兩垂直，可把三棱錐補(bǔ)成一個長方體，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球．由此計(jì)算即可．【題目詳解】∵平面，∴，又，∴三棱錐可以為棱補(bǔ)成一個長方體，此長方體的外接球就是三棱錐的外接球．由，得，∴，即，，．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查棱錐及其外接球，考查棱錐的體積，解題是把三棱錐補(bǔ)成長方體，則長方體的外接球就是三棱錐的外接球，而長方體的對角線就是球的直徑，這樣計(jì)算方便．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

試題分析:第(1)問,先求導(dǎo)，再求出切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，最后寫出直線的點(diǎn)斜式方程;第(2)問,直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.試題解析:，，，所以切點(diǎn)為（0，-2），∴切線方程為，一般方程為；（2），令，解得或，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為和.18、(1)45，75，90，30，圖見解析.（2）①.②分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）第四組的人數(shù)為60，所以總?cè)藬?shù)為300，再利用直方圖性質(zhì)與等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出；（2）①設(shè)事件為“甲同學(xué)面試成功”，利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出；②由題意可得，，，即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望.詳解：（1）第一、二、三、五組的人數(shù)分別是45，75，90，30，（2）①設(shè)事件為“甲同學(xué)面試成功”.則：.②由題意得：，，，，.0123.點(diǎn)睛：本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、超幾何分布列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.19、（1）直線的極坐標(biāo)方程為，曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）．【解題分析】試題分析：（1）先利用加減消元法將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再利用，得直線的極坐標(biāo)方程，最后根據(jù)，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，（2）先根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及弦長公式求．試題解析：（1）將，代入直線方程得，由可得，曲線的直角坐標(biāo)方程為．（2）直線的傾斜角為，∴直線的傾斜角也為，又直線過點(diǎn)，∴直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將其代入曲線的直角坐標(biāo)方程可得，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為．由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知，，∴．20、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出的范圍即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，則可證當(dāng)時，在上，有，即.將代入上面不等式中即可證明.詳解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點(diǎn)，舍去；則必有，得在上遞減，在上遞增，要使有兩個不同的零點(diǎn)，則須有．（嚴(yán)格來講，還需補(bǔ)充兩處變化趨勢的說明：當(dāng)時，；當(dāng)時，）.（2）構(gòu)造函數(shù)，則.當(dāng)時，，但因式的符號不容易看出，引出輔助函數(shù)，則，得在上，當(dāng)時，，即，則，即，，得在上，有，即.將代入上面不等式中得，又，，在上，故，.點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于難題．2