中考數(shù)學(xué)-整式及因式分解詳解

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中考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)-整式及因式分解詳解

考點(diǎn)02整式及因式分解

一、代數(shù)式

代數(shù)式的書寫要注意規(guī)范，如乘號(hào)“X”用“?”表示或省略不寫：分?jǐn)?shù)不要用帶

分?jǐn)?shù)；除號(hào)用分?jǐn)?shù)線表示等.

f同底數(shù)寨相乘＞

單項(xiàng)式-幕的乘方

整式《積的負(fù)方

同底數(shù)塞相除

1多項(xiàng)是I多項(xiàng)式

L多項(xiàng)式-

乘法公式卜加、減、柒、除法法則

分式】狗分運(yùn)算、混合運(yùn)算

1通分

最簡二次根式

二次根式J

同類二次根式

提取公因式法

\因式分斛一

?平方差公式

公式法〔完全平方公式

二、整式

1.單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，所有

字母指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)，數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).

2.多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最

高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).

3.整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.

4.同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中所含字母相同并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做

同類項(xiàng).

5.整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后

再合并同類項(xiàng).

6.累的運(yùn)算：am-an=am+n；(。加)"=型"；(ab)"=a"〃；am^-an=am".

7.整式的乘法：

(1)單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只

在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：曰(a+b+c)=ma+mb+mc.

(3)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(w+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.

8.乘法公式：

(1)平方差公式：(a+h)(a-b)=a2-h2.

(2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.

9.整式的除法：

(1)單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把系數(shù)、同底數(shù)的幕分別相除，作為商的因式：

對(duì)于只在被除式含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的因式.

(2)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式，再把所得

的商相加.

三、因式分解

1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)因式積的形式，叫做因式分解，因式分解與整式

乘法是互逆運(yùn)算.

2.因式分解的基本方法：(1)提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+h+c),

(2)公式法：

運(yùn)用平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b),

運(yùn)用完全平方公式：a2+2ab+h'=(a+b)~.

2

3.分解因式的一般步驟：

(1)如果多項(xiàng)式各項(xiàng)有公因式，應(yīng)先提取公因式;

(2)如果各項(xiàng)沒有公因式，可以嘗試使用公式法:

為兩項(xiàng)時(shí)，考慮平方差公式；

為三項(xiàng)時(shí)，考慮完全平方公式；

為四項(xiàng)時(shí)，考慮利用分組的方法進(jìn)行分解；

(3)檢查分解因式是否徹底，必須分解到每一個(gè)多項(xiàng)式都不能再分解為止.

以上步驟可以概括為“一提二套三檢查

猛重點(diǎn)考向,

考向一代數(shù)式及相關(guān)問題

1.用運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而

成的式子叫做代數(shù)式.

2.用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式里的運(yùn)算關(guān)系，計(jì)算后所得的結(jié)

果叫做代數(shù)式的值.

典例引領(lǐng)

典例1某商品進(jìn)價(jià)為每件X元，銷售商先以高出進(jìn)價(jià)5。％銷售，因庫存積壓又

降價(jià)20%出售，則現(xiàn)在的售價(jià)為元.

A.(l+50%)(l+20%)xB.(1+50%)-20%X

C.(1+50%)(1-20%)XD.(1+50%-20%)X

【答案】C

3

【解析】根據(jù)題意：銷售商先以高出進(jìn)價(jià)50%銷售后的售價(jià)為：（l+50%）x,然

后又降價(jià)20%出售，此時(shí)的售價(jià)為：（1+50%）（1-20%）X.故選C.

【名師點(diǎn)睛】此題考查的是列代數(shù)式，解決此題的關(guān)鍵是找到各個(gè)量之間的

關(guān)系，列代數(shù)式.

變式拓展

1.（2019?海南）當(dāng)〃尸-1時(shí)，代數(shù)式2m+3的值是

A.-1B.0

C.1D.2

2.下列式子中，符合代數(shù)式書寫格式的是

A."cB.ax5

C.~

mD.2

考向二整式及其相關(guān)概念

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.

觀察判斷法:要準(zhǔn)確理解和辨認(rèn)單項(xiàng)式的次數(shù)、系數(shù)；判斷是否為同類項(xiàng)時(shí)，

關(guān)鍵要看所含的字母是否相同，相同字母的指數(shù)是否相同.

多項(xiàng)式的次數(shù)是指次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù).同類項(xiàng)一定要先看所含字母是否相

同，然后再看相同字母的指數(shù)是否相同.

考慮特殊性:單獨(dú)一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式;單項(xiàng)式的次數(shù)是指單項(xiàng)式中所有

字母指數(shù)的和，單獨(dú)的一個(gè)常數(shù)的次數(shù)是0.

典例引領(lǐng)

典例2下列說法中正確的是

A.-竽的系數(shù)是-5B.單項(xiàng)式x的系數(shù)為1,次數(shù)為0

C.".2的次數(shù)是6D.孫+x-1是二次三項(xiàng)式

【答案】D

【解析】A.-1的系數(shù)是-卜則A錯(cuò)誤：

B.單項(xiàng)式x的系數(shù)為】，次數(shù)為1,則B錯(cuò)誤；

C.-2?*2的次數(shù)是1+1+2=4,則C錯(cuò)誤；

D刁z+x-1是二次三項(xiàng)式，正確，故選D.

變式拓展

3.按某種標(biāo)準(zhǔn)把多項(xiàng)式分類，31-4與1+2加_［屬于同一類，則下列多項(xiàng)式

中也屬于這一類的是

A.abc-\B.一x'+V

C.2.r2+xD.a2-2ab+b2

4.下列說法正確的是

A.2層人與-262〃的和為0

B.|兀。》的系數(shù)是：兀，次數(shù)是4次

C.2x2y-3/-1是三次三項(xiàng)式

5

D.石43與夕是同類項(xiàng)

考向三規(guī)律探索題

解決規(guī)律探索型問題的策略是：通過對(duì)所給的一組（或一串）式子及結(jié)論,

進(jìn)行全面細(xì)致地觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一

般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應(yīng)用.

典例引領(lǐng)

典例3（2019?十堰）一列數(shù)按某規(guī)律排列如下：rrrrlTrM'T

若第〃個(gè)數(shù)為1則片

A.50B.60

C.62D.71

【答案】B

121231234—一,，、i1/2、/23、,1234、

【解析】T5W5〒屋屋于丁…，可寫為:?。?予勺57）勺葭5中，…，

，分母為11開頭到分母為1的數(shù)有11個(gè)，分別為

123456678910II

，，一，一，一，一，—，一，一，一，，.

11109877554321

.?.第〃個(gè)數(shù)為則〃=1+2+3+4+…+10+5=60,故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)

題目中數(shù)字的變化規(guī)律.

變式拓展

6

5.(2019?武漢)觀察等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+23+24-25-2,…，

已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：25。、25、252、…、299、2'00,若25。=小

用含a的式子表示這組數(shù)的和是

A.2a2-2。B.2a2-2a~2

C.2a2-aD.2a2+a

6.(2019?濱州)觀察下列一組數(shù)：a\=\,42=(a3=4,。4=1,，…,

?zJyA/JJ

它們是按一定規(guī)律排列的，請(qǐng)利用其中規(guī)律，寫出第n個(gè)數(shù)

a”=.(用含〃的式子表示)

典例引領(lǐng)

典例4如圖，用棋子擺成的“上”字：

第一個(gè)“上,，字第二個(gè)“上,，字第三個(gè)“上,，字

如果按照以上規(guī)律繼續(xù)擺下去，那么通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)：

(1)第四、第五個(gè)"上''字分別需用—和一枚棋子.

(2)第〃個(gè)“上”字需用一枚棋子.

(3)如果某一圖形共有102枚棋子，你知道它是第幾個(gè)“上”字嗎?

【答案】(1)18,22；(2)4//+2；(3)102.

【解析】(1)二?第一個(gè)“上”字需用棋子4xl+2=6枚;

第二個(gè)“上”字需用棋子4x2+2=10枚；

第三個(gè)“上,，字需用棋子4x3+2=14枚；

第四個(gè)"上''字需用棋子4x4+2=18枚，第五個(gè)"上”字需用棋子4x5+2=22

枚，

故答案為：18,22：

(2)由(1)中規(guī)律可知，第〃個(gè)"上''字需用棋子4〃+2枚，

故答案為：4/7+2；

(3)根據(jù)題意,得：4〃+2=102,

解得77=25,

答：第25個(gè)“上”字共有102枚棋子.

變式拓展

7.如圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加1的規(guī)律拼

C.674D.675

8.如圖，圖案均是用長度相等的小木棒，按一定規(guī)律拼搭而成，第一個(gè)圖

案需4根小木棒，則第6個(gè)圖案需小木棒的根數(shù)是

□出rF^

第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)

A.54B.63

8

C.74D.84

考向四鬲的運(yùn)算

幕的運(yùn)算法則是進(jìn)行整式乘除法的基礎(chǔ)，要熟練掌握，解題時(shí)要明確運(yùn)算的

類型，正確運(yùn)用法則；在運(yùn)算的過程中，一定要注意指數(shù)、系數(shù)和符號(hào)的處

理.

典例引領(lǐng)

典例5下列運(yùn)算錯(cuò)誤的是

A.（團(tuán)2）s=mB.af=a

C.-x5=xsD.a'+（r=cr

【答案】D

【解析】A、Cm2)J=w6,故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、a'^a^a,故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、x5x5=x8,故此選項(xiàng)正確，不符合題意；

D、a’和人不是同類項(xiàng)不能合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意.

故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了事的乘方、同底數(shù)塞的乘法和除法法則，熟記法則

是解決此題的關(guān)鍵，注意此題是選擇錯(cuò)誤的，不用誤選.

9

變式拓展

9.下列計(jì)算中，結(jié)果是涼的是

A.a'-。'B.a'd

C.D.優(yōu)?優(yōu)

10.閱讀下面的材料，并回答后面的問題

材料：由乘方的意義，我們可以得到

102xl03=(10xl0)x(10xl0xl0)=10xl0xl0xl0xl0=105,

(-2)}x(-2)4=(-2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2)=(-2)7.

于是，就得到同底數(shù)累乘法的運(yùn)算性質(zhì)：

“"?。""吁"(加，〃都是正整數(shù))

問題：⑴計(jì)算：①(-?(_霜②3X-W.

(2)將23+2'+2、23寫成底數(shù)是2的募的形式；

(3)若(x-y>?(x-yy?(x-y)5=(x-_y嚴(yán)二求。的值.

考向五整式的運(yùn)算

整式的加減，實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)，有括號(hào)的，先去括號(hào)，只要算式中沒

有同類項(xiàng)，就是最后的結(jié)果；多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算中要做到不重不漏，應(yīng)

用乘法公式進(jìn)行簡便計(jì)算，另外去括號(hào)時(shí)，要注意符號(hào)的變化，最后把所得

式子化簡，即合并同類項(xiàng).

10

典例引領(lǐng)

典例6已知a-6=5,c+d--3,則(b+c)-(a-d)的值為

A.2B.-2

C.8D.-8

【答案】D

【解析】根據(jù)題意可得：（b+c）-(a-d)=(c+d)-(a-/?)=-3-5=

-8,故選D.

變式拓展

11.一個(gè)長方形的周長為命+8/,,相鄰的兩邊中一邊長為2a+33則另一邊長

為

A.4。+56B.a+b

C?a+2bD.a+lb

12.已知*方與卜〃.的和是2aE,則x-y等于

A.-1B.1

C.-2D.2

典例引領(lǐng)

典例7若（x+2）（x-1）^x2+mx-2,則加的值為

A.3B.-3

II

C.1D.-1

【答案】C

【解析】因?yàn)?x+2)(x-1)=x2-x+2x-2=x2+x-2=x2+mx-2,所以m=\,

故選C.

變式拓展

13.已知（x+3）Cx2+ax+b）的積中不含有x的二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，求a,6

的值.

考向六因式分解

因式分解的概念與方法步驟

①看清形式：因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算.符合因式分解的等式左邊是

多項(xiàng)式，右邊是整式乘積的形式.

②方法：（1）提取公因式法；（2）運(yùn)用公式法.

③因式分解的步驟為：一提公因式；二看公式.公式包括平方差公式與完全

平方公式，要能用公式法分解必須有平方項(xiàng)，如果是平方差就用平方差公式

來分解，如果是平方和需要看還有沒有兩數(shù)乘積的2倍，如果沒有兩數(shù)乘積

的2倍還不能分解.

一“提”（取公因式），二“用''（公式）.要熟記公式的特點(diǎn)，兩項(xiàng)式時(shí)考慮

12

平方差公式，三項(xiàng)式時(shí)考慮完全平方公式.

典例引領(lǐng)

典例8下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是

A.(x+1)(x-1)=x2-lB.x2-2x+l=x(x-2)+1

C.x2-4y2=(x-2y)D.x2+2x+l=(x+1)

【答案】D

【解析】A、右邊不是積的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B、右邊不是積的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、x2-4)^=(x+2y)(x-2y),故本項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、是因式分解，故本選項(xiàng)正確.

故選D.

變式拓展

14.下列因式分解正確的是

A.x2-9=(x+9)(x-9)B.9x2—(9x+4y)(9x-4y)

D.^-Axy-Ay2-(,x+2y)

典例引領(lǐng)

典例9把多項(xiàng)式》2-6x+9分解因式，結(jié)果正確的是

A.(x-3)2B.(x-9)2

C.(x+3)(x-3)D.(x+9)(x-9)

【答案】A

【解析】x2-6x+9=(x-3)2,故選A.

變式拓展

15.分解因式：a2+2(a-2)-4=.

16.已知a-b=l,貝(Ja3-a2b+b2-2ab的值為

A.-2B.-1

C.1D.2

一點(diǎn)沖關(guān)充

1.已知長方形周長為20cm,設(shè)長為'em,則寬為

C.20-2xD.10-x

2.已知3a-2b=1,則代數(shù)式5-6a+46的值是

A.4B.3

C.-1D.-3

3.在0,-1,-X,,3-X,二土，,中，是單項(xiàng)式的有

32x

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

4.若多項(xiàng)式+是三次三項(xiàng)式，則加等于

A.-1B.0

C.1D.2

5.如果2/y?與_3分2"是同類項(xiàng)，那么〃7、〃的值分別為

A.m—3,〃=2B.772=3,n=2

C.m—2,〃=3D.m=2,n=3

6.下列算式的運(yùn)算結(jié)果正確的是

A.m3*m2-m6B.m5^m3-m2（〃/0）

C.（加3=加-5D.m4-m2=m2

7.計(jì)算（-/2）3的結(jié)果是

A.-3abiB.a3b6

C.-a3b§D.-a3a

8.已知x+產(chǎn)-1,則代數(shù)式2019T寸的值是

A.2018B.2019

C.2020D.2021

9.三種不同類型的紙板的長寬如圖所示，其中4類和。類是正方形，8類

是長方形，現(xiàn)/類有1塊，8類有4塊，C類有5塊.如果用這些紙板拼

成一個(gè)正方形，發(fā)現(xiàn)多出其中1塊紙板，那么拼成的正方形的邊長是

“PHHi"臼“

mmn

A.加+〃B.2m+2n

C.2〃?+〃D."?+2〃

10.把多項(xiàng)式"3_2ax2+QX分解因式，結(jié)果正確的是

15

A.ax(x2-2x)B.ax2(x-2)

C.ax(x+1)(x-1)D.ax(x-1)2

H.觀察下圖“&)”形中各數(shù)之間的規(guī)律，根據(jù)觀察到的規(guī)律得出〃的值為

A.241B.113

C.143D.271

12.如圖，從左到右在每個(gè)小格子中填入一個(gè)整數(shù)，使得其中任意三個(gè)相鄰

格子中所填整數(shù)之和都相等.若前m個(gè)格子中所填整數(shù)之和是1684,

則m的值可以是

A.1015B.1010

C.1012D.1018

13.若胡是完全平方式，則常數(shù)％的值為

A.±6B.12

C.±2D.6

14.若有理數(shù)a,b滿足/+〃=5,(“+6)2=9,則的值為

A.2B.-2

C.8D.-8

15.下列說法中，正確的個(gè)數(shù)為

①倒數(shù)等于它本身的數(shù)有0,±1：②絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是正數(shù)；③~|

a2b3c是五次單項(xiàng)式：④2”的系數(shù)是2,次數(shù)是2；⑤/62_2。+3是四次

三項(xiàng)式；⑥2M2與是同類項(xiàng).

16

A.4B.3

C.2D.1

16.按照如圖所示的計(jì)算機(jī)程序計(jì)算，若開始輸入的工值為2,第一次得到

的結(jié)果為1,第二次得到的結(jié)果為4,…第2017次得到的結(jié)果為

A.1B.2

C.3D.4

17.已知單項(xiàng)式4產(chǎn)V與死產(chǎn)是同類項(xiàng)，那么"人的值是.

18.分解因式：3x3-27尸.

19.某種商品的票價(jià)為x元，如果按標(biāo)價(jià)的六折出售還可以盈利20元，那

么這種商品的進(jìn)價(jià)為元（用含x的代數(shù)式表示）.

20.下面是按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：次、3a久5a6、7a'、…，則第10個(gè)

代數(shù)式是.

21.如圖，每一圖中有若干個(gè)大小不同的菱形，第1幅圖中有1個(gè)菱形，第

2幅圖中有3個(gè)菱形，第3幅圖中有5個(gè)菱形，如果第“幅圖中有2019

個(gè)菱形，那么〃=.

?畛<380-<3€>-O

第1幅第丁幅第3幅第，:幅

22.觀察下列等式：

第1個(gè)等式：所右《“-J

17

第2個(gè)等式:

第3個(gè)等式:￡=??。鸌；

請(qǐng)按以上規(guī)律解答下列問題：

(1)列出第5個(gè)等式：。5=;

4.Q

(2)求a[+42+43+…+a==—,那么〃的值為

23.已知a=0+l,求代數(shù)式/-20+3的值.

24.已知一+2》-1=0,求2x"+4/+4x-l的值.

25.如圖，在一塊長為a,寬為26的長方形鐵皮中，以26為直徑分別剪掉

兩個(gè)半圓.

(1)求剩下的鐵皮的面積(用含m6的式子表示)；

(2)當(dāng)a=4,b=\時(shí),求剩下的鐵皮的面積是多少(兀取3).

26.已知：A-2B=la1-lab,且B=-4/+6?/)+7.

(1)求才等于多少；

(2)若|°+1|+3-2)2=0,求4的值.

27.定義新運(yùn)算：對(duì)于任意數(shù)a,b,都有。十b=(a-b)(a2+ab+b2)+b3,

等式右邊是通常的加法、減法、乘法及乘方運(yùn)算，比如5十2=(5-2)

(52+5x2+22)+23=3x39+8=

117+8=125.

(1)求3十(-2)的值;

19

(2)化簡(a-b)(a2+ab+b2)+b3.

28.閱讀材料：把形如af+bx+c的二次三項(xiàng)式(或其一部分)配成完全平

方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆寫，即

a2±2ab+b2=(a土b)2.請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解決下列問題：

(1)填空：a2-4a+4=..

(2)若a2+2a+b2-6b+\0=0,求a+b的值.

(3)若a、b、c分別是A/BC的三邊，且a2+^b2+c2-2ab-6b-2c+4=0,

試判斷△ABC的形狀，并說明理由.

20

直通中考.

_____/_

1.（2019?錦州）下列運(yùn)算正確的是

A.x6-?x3=x2B.(-x3)2=x6

C.4X3+3X3=7X6D.(x+y)2=/+產(chǎn)

2.（2019?上海）下列運(yùn)算正確的是

A.3x+2x=5x2B.3x-2x^x

2

C.3x?2x=6xD.3x^-2x=-

3.（2019?濱州）若8邛y與6/了，的和是單項(xiàng)式，則（〃什〃）3的平方根為

A.4B.8

C.±4D.±8

4.（2019?畢節(jié)市）如果3ab2ml與9a護(hù)可是同類項(xiàng)，那么用等于

A.2B.1

C.-1D.0

5.（2019?海南）當(dāng)"z=T時(shí)，代數(shù)式2加+3的值是

A.-1B.0

C.ID.2

6.(2019?臺(tái)州)計(jì)算2a-3a,結(jié)果正確的是

A.-1B.1

C.~aD.a

21

7.（2019?懷化）單項(xiàng)式-5"的系數(shù)是

A.5B.-5

C.2D.-2

8.(2019?黃石)化簡;(9x-3)-2(x+1)的結(jié)果是

A.2x-2B.x+1

C.5x+3D.x-3

9.(2019?連云港)計(jì)算下列代數(shù)式，結(jié)果為x5的是

A.x2+x3B.x?x5

C.x6-xD.2x5-x5

10.(2019?眉山)下列運(yùn)算正確的是

A.2x2y+3xy^5x3y2B.(-2ab2)3=-66f3/76

C.(3a+b)2=9a2+b2D.(3a+6)(3a-b)=9a2~b2

11.(2019?綏化)下列因式分解正確的是

A.x2-x=x(x+1)B.a2~3a-4=(tz+4)(a-1)

C.a2+2ab-b2=(a-b)2D.x2-y2=(x+y)(x-y)

12.（2019?湘西州）因式分解：ab-7a=.

13.（2019?常德）若N+x=l,則3/+3x3+3x+l的值為

14.（2019?南京）分解因式（a-b）2+4M的結(jié)果是.

15.（2019?赤峰）因式分解：x3-2x2y+xy2^

16.（2019?綏化）計(jì)算：（-加3）2+加4=

17.（2019?湘潭）若a+b=5,a-b=3,則足一加二

18.(2019?樂山)若3加=9"=2.則3'"+2"=

19.(2019?懷化)合并同類項(xiàng)：4a2+6a2-a2=

22

20.（2019?綿陽）單項(xiàng)式x川，與2%病少是同類項(xiàng)，則.

21.（2019?蘭州）化簡：a（12）+2（a+1）（a-1）.

22.（2019?涼山州）先化簡，再求值:（a+3）2-（a+1）（所1）-2（2。+4）,

其中a=-1.

23.（2019?安徽）觀察以!下等式:

211

-=-

第1個(gè)等式:11+,

21

1_

-=-6

第2個(gè)等式:32+,

21>

-=-

第3個(gè)等式:53

21+?+15>

-=-

第4個(gè)等式:74>

21+

-=28'

第5個(gè)等式:9-5

45

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

（1）寫出第6個(gè)等式：；

（2）寫出你猜想的第〃個(gè)等式：（用含〃的等式表示），并

證明.

23

24.(2019?自貢)閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22017+2238的值,

采用以下方法：

設(shè)S=1+2+22+???+22017+22018①,

貝IJ2s=2+22+…+22018+22019②，

②-①得25'-5=5=220|9-1,

.,.S=l+2+22+-+220l7+22018=220l9-l.

請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：

(1)1+2+22+…+29=；

(2)3+32+…+31°=；

(3)求l+a+層+…+廢的和(。＞0,〃是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過程).

24

能參考答案.

變式拓展

------

1.【答案】c

【解析】把加=-1代入代數(shù)式2加+3中，得2m+3=2X(-1)+3=1.故

選C.

2.【答案】C

【解析】A.正確的格式為：即A項(xiàng)不合題意，

B.正確的格式為：5a,即B項(xiàng)不合題意，

C.符合代數(shù)式的書寫格式，即C項(xiàng)符合題意，

D.正確的格式為：|x,即D項(xiàng)不合題意，

故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式，正確掌握代數(shù)式的書寫格式是解題的關(guān)

鍵.

3.【答案】A

【解析】3/-4與a%+2加-1都是三次多項(xiàng)式，只有-4是三次多項(xiàng)式，故選

A.

4.【答案】C

【解析】A、2//,與-2〃。不是同類項(xiàng)，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、：兀/6的系數(shù)是|兀，次數(shù)是3次，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、^-3/-1是三次三項(xiàng)式，此選項(xiàng)正確；

D、x/Jx2/與不是同類項(xiàng)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選C.

5.【答案】C

【解析】＜2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+23+23+24=25-2；???

，2+22+23+???+2"=2"+'-2,

.,.250+25,+252+—+2"+2|00=(2+22+234—-+2100)-(2+22+23+—+249)=(2,0,-2)

-(250-2)=2,0,-250,

V250=a,；.2⑼=(250)2,2=2a2,.二原式=2涼-4.故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納

發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.解決本題的難點(diǎn)在于得出

規(guī)律:2+22+23+-+2?=2"+,-2.

6.【答案】瞿2

【解析】觀察分母，3,5,9,17,33,…，可知規(guī)律為2〃+1,

觀察分子的，1,3,6,10,15,可知規(guī)律為吆羅，

n(n+1).［、

~/(〃+1),故答案為：繆?.

2"+12+2.|

【名師點(diǎn)睛】此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解

本題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】當(dāng)有1個(gè)黑色紙片時(shí)，有4個(gè)白色紙片；

當(dāng)有2個(gè)黑色紙片時(shí)，有4+3=7個(gè)白色紙片；

當(dāng)有3個(gè)黑色紙片時(shí)，有4+3+3=10個(gè)白色紙片；

以此類推，當(dāng)有〃個(gè)黑色紙片時(shí)，有4+3(〃-1)個(gè)白色紙片.

當(dāng)4+3(〃-1)=2017時(shí),化簡得3"=2016,解得"=672.故選A.

26

故選c.

8.【答案】A

【解析】拼搭第1個(gè)圖案需4=lx(i+3)根小木棒，

拼搭第2個(gè)圖案需10=2x(2+3)根小木棒，

拼搭第3個(gè)圖案需18=3x(3+3)根小木棒，

拼搭第4個(gè)圖案需28=4x(4+3)根小木棒，

拼搭第〃個(gè)圖案需小木棒〃(〃+3)=〃2+3〃根.

當(dāng)〃=6時(shí)，/?2+3n=62+3x6=54.

故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的關(guān)系，得出數(shù)

字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

9.【答案】B

【解析】A、不是同類項(xiàng)不能合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、八a4^ai+4=ay,故此選項(xiàng)正確；

C、不是同類項(xiàng)不能合并，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)基的乘法和除法法則，熟記法則是解決此

題的關(guān)鍵.

io.【解析】⑴①《)鼠(_夕=(彳嚴(yán)=(十。=(夕。；

②3?x(-3)3=-32X33=-32+3=-35；

(2)23+25+23+23=23x4=23x22=25;

27

—a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3+b3

=a3.

【名師點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

28.【解析】(1)va2-4?+4=(a-2);,故答案為：(”2了；

(2)■.■a2+2a+h2-6b+\0=0,

.-.(a+l)2+(6-3)2=0,

/.a=—1,b=3,

:.a+b=2;

(3)"BC為等邊三角形.理由如下：

,：a2+4〃+/-2"-66-2。+4=0,

???(a-b)2+(c—1)2+3(6—=0,

a—h=09c—1=0,b—\=0

:.a=b=c=\,

???△45C為等邊三角形.

【名師點(diǎn)睛】本題考查配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式，

等邊三角形的判定.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建完全平方式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解

題.

直通中考

-----

1.【答案】B

【解析】??"6口3三口.?.選項(xiàng)A不符合題意；

V(-x3)2=/,.,.選項(xiàng)B符合題意；

?.,4/+3X3=7/,...選項(xiàng)C不符合題意；

V(x+y)2=/+2切+爐，.?.選項(xiàng)D不符合題意.故選B.

36

(3)*/(x-y)2-(x-yY-(x-y)5=(x-^)2018,

.?.2+p+5=2018,

解得：p=20U.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查的是同底數(shù)累的乘法，正確理解材料中同底

數(shù)暴乘法的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】B

【解析】???長方形的周長為6“+8K

，相鄰的兩邊的和是九+4b,

*/一■邊長為2a+36,

/,另一■邊長為3。+4/)-(2。+36)=3。+46-2。-36=。+6,

故選B.

【名師點(diǎn)睛】由長方形的周長=(長+寬)x2,可求出相鄰的兩邊的和是

3a+46,再用3a+4b減去2a+36,即可求出另一邊的長.

12.【答案】A

【解析卜/與卜〃的和是卜力與卜〃是同類項(xiàng)，,x=ij=2,

x-V=l-2=-l.故選A.

13.【解析】原式rS+arZ+bx+SN+Bax+B/)

=x3+ax2+3x2+3ax+bx+3b

=x3+(a+3)x2+(3a+b)x+3b,

由題意可知：。+3=0,3a+6=0,

解得a=-3,b=9.

14.【答案】D

【解析】A.原式=(x+3)(x-3),選項(xiàng)錯(cuò)誤；

28

B.原式=(3x+2y)(3x-2y),選項(xiàng)錯(cuò)誤：

C.原式=(x-；)2,選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.原式=-(/+4鏟4爐)=_(x+2y)2,選項(xiàng)正確.

故選D.

15.【答案】(a+4)g-2)

22

【解析】a+2(a-2)-4=a+2a-8=(a+4)(a-2).

16.【答案】C

【解析】蘇-a2b+b2-2ab=a2(a-b)+b2-2ab=a2+b2-lab-(a-b)2=1.

故選C.

考點(diǎn)沖關(guān)

1.【答案】D

【解析】???矩形的寬=誓主-長，，寬為：(10-x)cm.故選D.

2.【答案】B

【解析】,：3a-2b=\,

：.5-6a+46=5-2(3a-2b)=5-2*1=3,

故選：B.

3.【答案】D

【解析】根據(jù)單項(xiàng)式的定義可知，只有代數(shù)式0,-I,-x,ga,是單項(xiàng)式,

一共有4個(gè).故選D.

4.【答案】C

29

【解析】由題意可得，2+|同=3，T，”+1)WO,解得加=±1且

則加等于1,故選C.

5.【答案】B

【解析】???2x3~4與一3x9產(chǎn)是同類項(xiàng)，

...3/w=9,4=2〃，

W=3,77=2.

故選：B.

6.【答案】B

【解析】A、〃/?加2=〃/，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、m5^-m3=m2(w#)),故此選項(xiàng)正確；

C、(〃廠2)3=團(tuán)-6,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、m4-m2,無法計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

7.【答案】D

【解析】(-ab2)-a3b6,故選：D.

8.【答案】C

(M-t/fl,：-x-y=^(x+y),.,.2019-x-^=2019-(x+y)=2019-(-1)=2020,

故選C.

【名師點(diǎn)睛】此題考查代數(shù)式求值，難度不大.

9.【答案】D

【解析】???所求的正方形的面積等于一張正方形4類卡片、4張正方形8

類卡片和4張長方形C類卡片的和，

.二所求正方形的面積=m2+4"?〃+4〃2=(m+2n)2,

30

.?.所求正方形的邊長為〃?+2〃.

故選：D.

10.【答案】D

【解析】原式=or(x2-2x+l)=ax(x-1)2,故選：D.

11.【答案】A

【解析】V15=2x8-1,??.“=28=256,則〃=256-15=241,故選A.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是得出第〃個(gè)圖

形中最上方的數(shù)字為2〃-1,左下數(shù)字為2",右下數(shù)字為2〃-(2〃-1).

12.【答案】B

【解析】由題意可知：9+a+b=a+b+c,/.c=9.

V9-5+1=5,1684+5=336…4,

且9-5=4,J〃?=336x3+2=10I0.故選：B.

13.【答案】A

【解析】由完全平方公式可得：-*"=±2"3瓦左=±6.故選慶.

【名師點(diǎn)睛】做此類問題的重點(diǎn)在于判斷完全平方式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).

14.【答案】D

【解析】由(。+，尸=9,得出+〃+2以=9,又出+〃=5,則2"=9-5=4,所以

4力=4、(-2)=-8.故選D.

15.【答案】D

【解析】①倒數(shù)等于它本身的數(shù)有±1，故①錯(cuò)誤，

②絕對(duì)值等于它本身的數(shù)是非負(fù)數(shù)，故②錯(cuò)誤，

③-|/比是六次單項(xiàng)式，故③錯(cuò)誤，

④2”的系數(shù)是加次數(shù)是1,故④錯(cuò)誤，

31

⑤a*-2a+3是四次；3項(xiàng)式，故⑤正確，

⑥2a〃與36/不是同類項(xiàng)，故⑥錯(cuò)誤.

故選D.

【名師點(diǎn)睛】單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)就是單項(xiàng)式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)

的和就是多項(xiàng)式的次數(shù).

16.【答案】A

【解析】當(dāng)x=2時(shí)，第一次輸出結(jié)果X2=1；

第二次輸出結(jié)果=1+3=4；

第三次輸出結(jié)果=4x|=2,；

第四次輸出結(jié)果=畀2=1,

2017-3=672-1.

所以第2017次得到的結(jié)果為I.

故選A.

17.【答案】3

【解析】與五產(chǎn)）是同類項(xiàng)，

??13=25

解得仁J

a-b=3.

故答案為3.

18.【答案】3x(x+3)(x-3)

32

【解析】3》3-27X=3X(x2-9)=3x(x+3)(x-3).

【名師點(diǎn)睛】本題考查用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解的能力.一

個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，

同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止.

19.【答案】0.6X-20

【解析】根據(jù)題意進(jìn)價(jià)為：0.6X-20.故答案為0.6x-20.

【名師點(diǎn)睛】此題考查列代數(shù)式，難度不大.

20.【答案】19a2。

【解析】3a35a6,7a8,...

.??單項(xiàng)式的次數(shù)是連續(xù)的偶數(shù)，系數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，

.?.第10個(gè)代數(shù)式是：(2*10-1)戶419a20.

故答案為：19/。.

【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了單項(xiàng)式，正確得出單項(xiàng)式次數(shù)與系數(shù)的變

化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

21.【答案】1010

【解析】根據(jù)題意分析可得：第1幅圖中有1個(gè).

第2幅圖中有2x2-1=3個(gè).

第3幅圖中有2x3-1=5個(gè).

第4幅圖中有2x4-1=7個(gè).

可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖形都比前一個(gè)圖形多2個(gè).

故第〃幅圖中共有(2〃-1)個(gè).

當(dāng)圖中有2019個(gè)菱形時(shí),In-1=2019,解得〃=1010,

33

故答案為：1010.

【名師點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型中的圖形變化問題，難度適中，要求學(xué)生

通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

22.【答案】蘇十(1),49

【解析】⑴觀察等式，可得以下規(guī)律一廣畫^島而中止r/)，

(2)q+a2+%+…+

)=竺，

解得：〃=49.

故答案為(1)±=3］焉；(2)49.

222

23.【解析】a-2a+3=a-2a+\+2=(a-l)+2

當(dāng)a=V5+i時(shí)，原式=(V2+1-1)?+2=(71)2+2=2+2=4.

24.【解析】由已知，得x?+2x=l,

則2X'+4X3+4X-1

=2X2(X2+2X)+4X-1

=2X2+4X-1

=2(x?+2)-1

=2-1

=1.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用：利用因式分解解決證明問

34

題.用因式分解的方法將式子變形時(shí)，根據(jù)已知條件，變形的可以是整

個(gè)代數(shù)式，也可以是其中的一部分.

25.【解析】(1)長方形的面積為：ax2b=2",

兩個(gè)半圓的面積為：n~xb2^nb2,

???陰影部分面積為：2ab-nb2.

(2)當(dāng)a=4,b=\時(shí)，

2ab-nb2=2^4^1—3x1=5.

【名師點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式，涉及代入求值，有理數(shù)運(yùn)算等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出代數(shù)式.

26.【解析】(1)：4-28=7/-7",8=7/+6。6+7,

/.A-2B=A-2^a2+6ab+l)=la2-lab,

；.4=(7/-7ab)+2㈠/+6ab+7)=7/-7"-8a2+\2ab+\4

=-a2+5〃。+14.

(2)依題意得：a+l=0,6-2=0,

?*.a=-lf6=2.

/.A=-a2+5?/>+14=-(-1)2+5x(-l)x2+14=3.

【名師點(diǎn)睛】考查了整式的化簡求值、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、絕對(duì)值、平方根

的知識(shí).整式的加減運(yùn)算實(shí)際上就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng).

27.【解析】(1)3?(-2)

=(3+2)X[32+3X(-2)+(-2)2]+(-2)3

=5x7-8

=27.

(2)(a-b)(az+ah+b2')+b3

35

—a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3+b3

=a3.

【名師點(diǎn)睛】此題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

28.【解析】(1)va2-4?+4=(a-2);,故答案為：(”2了；

(2)■.■a2+2a+h2-6b+\0=0,

.-.(a+l)2+(6-3)2=0,

/.a=—1,b=3,

:.a+b=2;

(3)"BC為等邊三角形.理由如下：

,：a2+4〃+/-2"-66-2。+4=0,

???(a-b)2+(c—1)2+3(6—=0,

a—h=09c—1=0,b—\=0

:.a=b=c=\,

???△45C為等邊三角形.

【名師點(diǎn)睛】本題考查配方法的運(yùn)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，完全平方公式，

等邊三角形的判定.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建完全平方式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解

題.

直通中考

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1.【答案】B

【解析】??"6口3三口.?.選項(xiàng)A不符合題意；

V(-x3)2=/,.,.選項(xiàng)B符合題意；

?.,4/+3X3=7/,...選項(xiàng)C不符合題意；

V(x+y)2=/+2切+爐，.?.選項(xiàng)D不符合題意.故選B.

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【名師點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)靠的除法的運(yùn)算方法，易的乘方與積

的乘方的運(yùn)算方法，合并同類項(xiàng)的方法，以及完全平方公式的應(yīng)用，要熟

練掌握.

2.【答案】B

【解析】A.原式=5x,故A錯(cuò)誤；C.原式=6/，故c錯(cuò)誤；D.原式4，

故D錯(cuò)誤，故選B.

【名師點(diǎn)睛】本題考杳整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用整式的運(yùn)算法

貝U,本題屬于基礎(chǔ)題型.

3.【答案】D

［解析］由與6%3歹的和是單項(xiàng)式，得〃?=3,〃=1.

(/〃+〃)3=(3+1)3=64,64的平方根為±8.故選D.

【名師點(diǎn)睛】本題考查了同類項(xiàng)，同類項(xiàng)定義中的兩個(gè)“相同”：相同字

母的指數(shù)相同，是易混點(diǎn)，因此成了中考的?？键c(diǎn).

4.【答案】A

【解析】根據(jù)題意可得：2m-\=m+\,解得〃尸2,故選A.

【名師點(diǎn)睛】此題考查同類項(xiàng)問題，關(guān)鍵是根據(jù)同類項(xiàng)的定義得出m的

方程.

5.【答案】C

【解析】將加=T代入2m+3=2x(-1)+3=1,故選C.

【名師點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值；熟練掌握代入法求代數(shù)式的值是解題

的關(guān)鍵.

6.【答案】C

（解析］2a-3a=~a,故選C.

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【名師點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)法則的應(yīng)用，能熟記合并同類項(xiàng)