新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2隨機(jī)變量4.2.3二項(xiàng)分布與超幾何分布學(xué)生用書新人教B版選擇性必修第二冊

4．2.3二項(xiàng)分布與超幾何分布[課標(biāo)解讀]1.通過具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布，并能解決簡單的實(shí)際問題.2.通過具體實(shí)例，了解超幾何分布，并能解決簡單的實(shí)際問題.3.掌握兩個基本概率模型及其應(yīng)用，進(jìn)一步深入理解隨機(jī)思想在解決實(shí)際問題中的作用．【教材要點(diǎn)】知識點(diǎn)一n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同的條件下，__________試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果________，那么一般就稱它們?yōu)閚次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．知識點(diǎn)二二項(xiàng)分布若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X，發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率q＝1－p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(X＝k)＝____________(k＝0，1，2，…，n)，于是得到X的分布列X01…k…nPCn0p0Cn1p1qn…Cnkpkqn…Cnnpn由于表中的第二行恰好是二項(xiàng)式展開式(q＋p)n＝Cn0p0qn＋Cn1p1qn－1＋…＋Cnkpkqn－k＋…＋Cnnpnq0各對應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量知識點(diǎn)三超幾何分布設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件(M<N)，從所有物品中任取n件(n≤N)，則這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機(jī)變量，它取值為m時的概率為________________(0≤m≤l，l為n和M中較小的一個)，則稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布．【基礎(chǔ)自測】1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)滿足的條件是________．(填序號)①每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有發(fā)生和不發(fā)生兩種情況；③每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是相等的；④每次試驗(yàn)發(fā)生的條件是相同的．2．一枚硬幣連擲三次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為________．3．設(shè)10件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中抽取5件，則C32C7A．5件產(chǎn)品中有3件次品的概率B．5件產(chǎn)品中有2件次品的概率C．5件產(chǎn)品中有2件正品的概率D．5件產(chǎn)品中至少有2件次品的概率4．下列隨機(jī)變量X不服從二項(xiàng)分布的是()A．投擲一枚均勻的骰子5次，X表示點(diǎn)數(shù)為6出現(xiàn)的次數(shù)B．某射手射中目標(biāo)的概率為p，設(shè)每次射擊是相互獨(dú)立的，X為從開始射擊到擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)C．實(shí)力相等的甲、乙兩選手進(jìn)行了5局乒乓球比賽，X表示甲獲勝的次數(shù)D．某星期內(nèi)，每次下載某網(wǎng)站數(shù)據(jù)被病毒感染的概率為0.3，X表示下載n次數(shù)據(jù)電腦被病毒感染的次數(shù)題型1獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的概率問題例1(1)某射手射擊一次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊三次，且他每次射擊是否擊中目標(biāo)之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他三次都擊中目標(biāo)的概率是0.93；②他第三次擊中目標(biāo)的概率是0.9；③他恰好2次擊中目標(biāo)的概率是2×0.92×0.1；④他恰好2次未擊中目標(biāo)的概率是3×0.9×0.12.其中正確結(jié)論的序號是________．(把正確結(jié)論的序號都填上)(2)某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第2位)：①5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率；②5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；③5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率．方法歸納獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率求法的三個步驟1．判斷：依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特征，判斷所給試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．2．分拆：判斷所求事件是否需要分拆．3．計(jì)算：就每個事件依據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練1甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊(duì)勝的概率為23，沒有平局．若進(jìn)行三局兩勝制比賽，先勝兩局者為勝，甲獲勝的概率為題型2二項(xiàng)分布例2一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué)，從家到學(xué)校的途中有5個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是13求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列．狀元隨筆首先判斷ξ是否服從二項(xiàng)分布，再求分布列．方法歸納1．本例屬于二項(xiàng)分布，當(dāng)X服從二項(xiàng)分布時，應(yīng)弄清X～B(n，p)中的試驗(yàn)次數(shù)n與成功概率p.2．解決二項(xiàng)分布問題的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)對于公式P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)必須在滿足“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(2)判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是對立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否兩者必有其一；二是重復(fù)性，即試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行了n次．跟蹤訓(xùn)練2在一次數(shù)學(xué)考試中，第14題和第15題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設(shè)4名考生選做每道題的可能性均為12，且各人的選擇相互之間沒有影響．設(shè)這4名考生中選做第15題的人數(shù)為ξ名，求ξ題型3超幾何分布的分布列例3在8個大小相同的球中，有2個黑球，6個白球，現(xiàn)從中取3個，求取出的球中白球個數(shù)X的分布列．eq\a\vs4\al(狀元隨筆)eq\x(\a\al(寫出X的,可能值))→eq\x(\a\al(求出每個X,對應(yīng)的概率))→eq\x(\a\al(寫出分,布列))方法歸納求超幾何分布的分布列時，關(guān)鍵是分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相應(yīng)取值的概率，最后寫出分布列．跟蹤訓(xùn)練3袋中有4個紅球，3個黑球，這些球除顏色外完全相同，從袋中隨機(jī)抽取球，設(shè)取到一個紅球得2分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．題型4獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布綜合應(yīng)用【思考探究】1．王明在做一道單選題時，從A，B，C，D四個選項(xiàng)中隨機(jī)選一個答案，他做對的結(jié)果數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布有何關(guān)系？[提示]做一道題就是做一次試驗(yàn)，做對的次數(shù)可以為0次、1次，它服從二項(xiàng)分布．兩點(diǎn)分布就是一種特殊的二項(xiàng)分布，即是n＝1的二項(xiàng)分布．2．王明做5道單選題，每道題都隨機(jī)選一個答案，那么他做對的道數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？為什么？[提示]服從二項(xiàng)分布．因?yàn)槊康李}都是隨機(jī)選一個答案，結(jié)果只有兩個：對與錯，并且每道題做對的概率均相等，故做5道題可以看成“一道題”重復(fù)做了5次，做對的道數(shù)就是5次試驗(yàn)中“做對”這一事件發(fā)生的次數(shù)，故他做對的“道數(shù)”服從二項(xiàng)分布．3．王明做5道單選題，其中2道會做，其余3道均隨機(jī)選一個答案，他做對的道數(shù)服從二項(xiàng)分布嗎？如何判斷一隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布？[提示]不服從二項(xiàng)分布．因?yàn)闀龅膬傻李}做對的概率與隨機(jī)選取一個答案做對的概率不同，不符合二項(xiàng)分布的特點(diǎn)．判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布關(guān)鍵是看它是否是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，否則就不服從二項(xiàng)分布．例4甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個問題，答對者為本隊(duì)贏得一分，答錯得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為23，乙隊(duì)中3人答對的概率分別為23，23，12，且各人回答正確與否相互之間(1)求隨機(jī)變量ξ的分布列；(2)用A表示“甲、乙兩個隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P(AB).狀元隨筆(1)由于甲隊(duì)中每人答對的概率相同，且正確與否沒有影響，所以ξ服從二項(xiàng)分布，其中n＝3，p＝23(2)AB表示事件A，B同時發(fā)生，即甲、乙兩隊(duì)總得分之和為3且甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分．方法歸納對于概率問題的綜合題，首先，要準(zhǔn)確地確定事件的性質(zhì)，把問題化歸為古典概型、互斥事件、獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)四類事件中的某一種；其次，要判斷事件是A＋B還是AB，確定事件至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件公式；最后，選用相應(yīng)的求古典概型、互斥事件、條件概率、獨(dú)立事件、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求解．跟蹤訓(xùn)練4已知某種從太空飛船中帶回來的植物種子每粒成功發(fā)芽的概率都為13(1)第一小組做了3次試驗(yàn)，記該小組試驗(yàn)成功的次數(shù)為X，求X的分布列；(2)第二小組進(jìn)行試驗(yàn)，直到成功了4次為止，求在第4次成功之前共有3次失敗的概率．題型5二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用例5在一次購物抽獎活動中，假設(shè)抽獎箱中10張獎券，其中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品，有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品，其余6張沒有獎品．(1)顧客甲從10張獎券中任意抽取1張，看完結(jié)果后放回抽獎箱，①若只允許抽獎一次，求中獎次數(shù)X的分布列；②若只允許抽獎二次，求中獎次數(shù)X的分布列．(2)顧客乙從10張獎券中任意抽取2張，求顧客乙中獎的概率．狀元隨筆(1)從10張獎券中抽取1張，其結(jié)果有中獎和不中獎兩種，故X～B(1，P).從10張獎券中有放回的抽取2張，每次有中獎和不中獎兩種，故X～B(2，p)；(2)從10張獎券中任意抽取2張，其中含有中獎的獎券的張數(shù)X(X＝1,2)服從超幾何分布．方法歸納區(qū)別超幾何分布與二項(xiàng)分布問題的兩個關(guān)鍵點(diǎn)1．判斷一個隨機(jī)變量是否服從超幾何分布時，關(guān)鍵是從總數(shù)為N件的甲乙兩類元素，其中甲類元素數(shù)目M件，從所有元素中一次任取n件，這n件中含甲類元素數(shù)目X服從超幾何分布．2．判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布關(guān)鍵是看它是否是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量是否為在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)，滿足這兩點(diǎn)的隨機(jī)變量才服從二項(xiàng)分布，否則就不服從二項(xiàng)分布．本題有放回的抽獎就屬于二項(xiàng)分布．跟蹤訓(xùn)練5盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個．若從中隨機(jī)依次取出2個球，則有放回抽取時所取出的2個球顏色不同的概率等于________，不放回抽取時所取出的2個球顏色不同的概率等于________．教材反思4．2.3二項(xiàng)分布與超幾何分布新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識點(diǎn)一重復(fù)地做n次相互獨(dú)立知識點(diǎn)二Cnkpkqn－kX～B(n，知識點(diǎn)三P(X＝m)＝C[基礎(chǔ)自測]1．解析：由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的定義知①②③④正確．答案：①②③④2．解析：拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為12，由于每次試驗(yàn)的結(jié)果不受影響，故由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)可知，所求概率為P＝C31答案：33．解析：根據(jù)超幾何分布的定義可知C32表示從3件次品中任選2件，C73表示從答案：B4．解析：選項(xiàng)A：試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果只有兩個，點(diǎn)數(shù)為6和點(diǎn)數(shù)不為6，且點(diǎn)數(shù)為6的概率在每一次試驗(yàn)中都為16，每一次試驗(yàn)都是獨(dú)立的，故隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布；選項(xiàng)B：雖然每一次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個，且每一次試驗(yàn)都是相互獨(dú)立的，且概率不發(fā)生變化，但隨機(jī)變量X的取值不確定，故隨機(jī)變量X不服從二項(xiàng)分布；選項(xiàng)C：甲、乙獲勝的概率一定，且和為1，進(jìn)行5次比賽，相當(dāng)于進(jìn)行了5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故X服從二項(xiàng)分布；選項(xiàng)D：由二項(xiàng)分布的定義可知，X～B(n，0.3)答案：B課堂探究·素養(yǎng)提升例1解析：(1)三次射擊是三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故正確結(jié)論的序號是①②④.(2)①記預(yù)報一次準(zhǔn)確為事件A，則P(A)＝0.8.5次預(yù)報相當(dāng)于5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，2次準(zhǔn)確的概率為P＝C52×0.82×0.23＝因此5次預(yù)報中恰有2次準(zhǔn)確的概率約為0.05.②“5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確”的對立事件為“5次預(yù)報全部不準(zhǔn)確或只有1次準(zhǔn)確”，其概率為P＝C50×(0.2)5＋C51×0.8×0.24所以所求概率為1－P＝1－0.01＝0.99.所以5次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率約為0.99.③說明第1，2，4，5次中恰有1次準(zhǔn)確．所以概率為P＝C41×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈所以恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報準(zhǔn)確的概率約為0.02.答案：(1)①②④(2)見解析跟蹤訓(xùn)練1解析：“甲獲勝”分兩類：①甲連勝兩局；②前兩局中甲勝一局，并勝最后一局．即P＝232+答案：20例2解析：ξ～B5，13，ξ的分布列為P(ξ＝C5k13k235-k，k＝0故ξ的分布列為ξ012345P32808040101跟蹤訓(xùn)練2解析：隨機(jī)變量ξ的可能取值為0，1，2，3，4，且ξ～B4，∴P(ξ＝k)＝C＝C4k124(k＝0，1，2∴隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ01234P11311例3解析：X的可能取值是1，2，3.P(X＝1)＝C61·P(X＝2)＝C62·P(X＝3)＝C63·故X的分布列為X123P3155跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)從袋中任取4個球的情況為：1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅，共四種情況，得分分別為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為5，6，7，8.P(X＝5)＝C41CP(X＝6)＝C42CP(X＝7)＝C43CP(X＝8)＝C44C故所求分布列為：X5678P418121(2)根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列可以得到大于6分的概率為P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235+1例4解析：(1)由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且P(ξ＝0)＝C301P(ξ＝1)＝C312P(ξ＝2)＝C322P(ξ＝3)＝C332所以ξ的分布列為ξ0123P1248(2)用C表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，又P(C)＝C3223P(D)＝C332由互斥事件的概率公式得P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1034+43跟蹤訓(xùn)練4解析：(1)由題意，隨機(jī)變量X可能取值為0，1，2，3，則X～B(3，13)．即P(X＝0)＝C30130(1－P(X＝1)＝C31131(1－1P(X＝2)＝C32132(1－1P(X＝3)＝C33133(1－1所以X的分布列為X0123P8421(2)第二小組第7次試驗(yàn)成功，前面6次試驗(yàn)中有3次失敗，3次成功，每次試驗(yàn)又是相互獨(dú)立的，因此所求概率為P＝C63133(1－13)例5解析：(1)①抽獎一次，只有中獎和不