多元函數(shù)微分法及其應用習題課

第九章習題課2011-03-28機動目錄上頁下頁返回結束一、基本概念

二、多元函數(shù)微分法三、多元函數(shù)微分法的應用多元函數(shù)微分法一、基本概念連續(xù)性

偏導數(shù)存在

方向?qū)?shù)存在可微性1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)

定義域及對應規(guī)律

判斷極限不存在及求極限的方法

函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì)2.幾個基本概念的關系機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習機動目錄上頁下頁返回結束1.

討論二重極限解法1解法2

令時,下列算法是否正確?分析:解法1解法2令機動目錄上頁下頁返回結束此法第一步排除了沿坐標軸趨于原點的情況,此法排除了沿曲線趨于原點的情況.此時極限為1.第二步未考慮分母變化的所有情況,由以上分析可見,兩種解法都不對,因為都不能保證自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點.同時還可看到,本題極限實際上不存在.提示:

利用故f

在(0,0)連續(xù);知在點(0,0)處連續(xù)且偏導數(shù)存在,但不可微.2.證明:機動目錄上頁下頁返回結束而所以f

在點(0,0)不可微!機動目錄上頁下頁返回結束例1.

已知求出的表達式.解法1

令即解法2

以下與解法1相同.則且機動目錄上頁下頁返回結束二、多元函數(shù)微分法顯示結構隱式結構1.分析復合結構(畫變量關系圖)自變量與因變量由所求對象判定2.正確使用求導法則“分段用乘,分叉用加,單路全導,叉路偏導”注意正確使用求導符號3.利用一階微分形式不變性機動目錄上頁下頁返回結束例2.

設其中f與F分別具解法1

方程兩邊對x

求導,得有一階導數(shù)或偏導數(shù),

求(99考研)機動目錄上頁下頁返回結束解法2方程兩邊求微分,得化簡消去即可得機動目錄上頁下頁返回結束練習題1.設函數(shù)f二階連續(xù)可微,求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束解答提示:第1題機動目錄上頁下頁返回結束機動目錄上頁下頁返回結束求提示:機動目錄上頁下頁返回結束①②利用行列式解出du,dv

：2.機動目錄上頁下頁返回結束代入①即得代入②即得有連續(xù)的一階偏導數(shù),及分別由下兩式確定求又函數(shù)答案:(2001考研）機動目錄上頁下頁返回結束3.設三、多元函數(shù)微分法的應用1.在幾何中的應用求曲線在切線及法平面(關鍵:抓住切向量)求曲面的切平面及法線(關鍵:抓住法向量)2.極值與最值問題

極值的必要條件與充分條件

求條件極值的方法(拉格朗日乘數(shù)法)

求解最值問題機動目錄上頁下頁返回結束例4.在第一卦限作橢球面的切平面,使其在三坐標軸上的截距的平方和最小,并求切點.解:

設切點為則切平面的法向量為即切平面方程機動目錄上頁下頁返回結束問題歸結為求在條件下的條件極值問題.設拉格朗日函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束切平面在三坐標軸上的截距為令由實際意義可知為所求切點.機動目錄上頁下頁返回結束唯一駐點例5.求旋轉拋物面與平面之間的最短距離.解：設為拋物面上任一點，則P

的距離為問題歸結為約束條件:目標函數(shù):作拉氏函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結束到平面令解此方程組得唯一駐點由實際意義最小值存在,故機動目錄上頁下頁返回結束上求一點,使該點處的法線垂直于1.

在曲面并寫出該法線方程.提示:

設所求點為則法線方程為利用得平面法線垂