高射炮射程控制

實(shí)驗(yàn)一高射炮的控制區(qū)域?qū)嶒?yàn)?zāi)康摹?．了解計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)與算法在實(shí)際領(lǐng)域的應(yīng)用。2．介紹了曲線簇的包絡(luò)問(wèn)題、分形曲線問(wèn)題及其相應(yīng)的繪圖算法。3．初步掌握使用MATLAB軟件設(shè)計(jì)繪圖算法?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】高射炮發(fā)射的炮彈在空中呼嘯而過(guò)劃出一條拋射線，拋射的彈道曲線的參數(shù)方程為{X—vcosaxt0i12y—vsinaxtgt202其中v為炮彈出膛時(shí)初始速度，a高射炮的發(fā)射角度，g是重力加速度，其近似值為09.8m/s2。由不同的發(fā)射角發(fā)射的炮彈具有不同的彈道曲線，當(dāng)炮彈出膛速度v確定時(shí)，0我們希望知道它的最遠(yuǎn)射程是多少？當(dāng)炮擊目標(biāo)確定后，如何調(diào)整發(fā)射角度使炮彈能準(zhǔn)確地落在目標(biāo)位置處爆炸？而一門(mén)高射炮可以控制什么樣的空間區(qū)域，這就是所有可能的彈道曲線以及對(duì)應(yīng)的曲線包絡(luò)確定的?！緦?shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】信息的圖形表示是人們便于理解和接受的最自然的形式。計(jì)算機(jī)圖形技術(shù)的發(fā)展使得圖形的輸入、圖形的構(gòu)造和表示、圖形的管理和操作，以及圖形的數(shù)據(jù)分析、數(shù)據(jù)與圖形之間的相互轉(zhuǎn)換，都非常方便。人們常常從外部文件或程序等信息源獲取數(shù)據(jù)，以圖形的形式輸出處理結(jié)果。例如自動(dòng)將科學(xué)計(jì)算的結(jié)果以圖形形式輸出，繪制地形地貌圖、等高線圖、勘探圖、天氣預(yù)報(bào)圖等等。本章從計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的角度介紹了曲線簇的包絡(luò)和分形曲線問(wèn)題。1．曲線簇的包絡(luò)曲線在平面上，方程F(x,y,c)—0 (1)常常表示一族曲線，當(dāng)c取確定值時(shí)可以畫(huà)出這族曲線中的一條曲線。有時(shí)，曲線簇也可寫(xiě)成參數(shù)方程的形式，如引例問(wèn)題中彈道曲線的參數(shù)方程，這里t是常說(shuō)的參數(shù)，而v與a是0可變常數(shù)參數(shù)。于是，當(dāng)固定v,而a變化時(shí)形成一個(gè)單參數(shù)曲線簇；固定a，而v變化00時(shí)形成另一個(gè)單參數(shù)曲線簇。二兀函數(shù)z—f(x,y)的等咼線簇f(x,y)—c，微分方程的積分曲線簇f(x,y,c)=0是平面曲線簇的常見(jiàn)的例子。如果一條曲線上的每一點(diǎn)都與曲線簇中某一曲線相切，則稱這條曲線為該曲線簇的包絡(luò)。曲線簇F(x,y,c)=0對(duì)參數(shù)c求導(dǎo)后與它自己聯(lián)立得到方程組F(x,y,c)=0F'(x,y,c)—0 (2)c由這個(gè)方程組確定的曲線：x—x(c)，y—y(c) (3)稱為單參數(shù)曲線簇F(x,y,c)=0的包絡(luò)。

當(dāng)曲線簇的方程是參數(shù)方程時(shí)，該曲線簇的包絡(luò)曲線由^x—x(t,a)Wy—y(t,a) ⑷dxdy dydx_、 —0'dtdadtda消去參變量a而得到。2．分形曲線分形(fractal)應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物學(xué)。把形態(tài)、功能和信息方面具有自相似性的對(duì)象稱為分形。在分形曲線中Koch分形曲線是最簡(jiǎn)單的一種。Koch分形從一條直線段開(kāi)始，將線段中間的三分之一部分用一個(gè)等邊三角形的另兩條邊代替，形成具有5個(gè)結(jié)點(diǎn)的新的圖形，如圖1.1所示：圖1.1有5個(gè)結(jié)點(diǎn)的Koch分形曲線

這就是Koch分形曲線的生成元。在新的圖形中，又將圖中每一直線段中間的三分之一部分

都用一個(gè)等邊三角形的另兩條邊代替，再次形成新的圖形，這時(shí)，圖形中共有17個(gè)結(jié)點(diǎn)。二維分形圖形不同于一般的平面曲線，它們的維數(shù)通常介于1到2之間。例如Koch分形曲線，每次迭代時(shí)，每一條線被分成4份，線段的比例為1/3。按照維數(shù)計(jì)算公式D—InN/In(—) (5)S其中N表示線段的份數(shù)，S表示取線段的比例，計(jì)算得Koch分形曲線的維數(shù)是In4/In3宀1.2619，而且每迭代一次曲線長(zhǎng)度增加4/3倍。Koch分形曲線迭代算法繼續(xù)進(jìn)行下去可以形成復(fù)雜的分形曲線。在迭代過(guò)程中，圖形中的點(diǎn)將越來(lái)越多，而曲線最終顯示細(xì)節(jié)的多少將取決于所進(jìn)行的迭代次數(shù)和顯示系統(tǒng)的分辯率。Koch分形曲線的繪圖歸結(jié)于算法的設(shè)計(jì)和計(jì)算機(jī)系統(tǒng)性能?！緦?shí)驗(yàn)方法與步驟】1．引例中炮彈的包絡(luò)曲線由引例知高射炮彈的彈道曲線的參數(shù)方程為x—vcosx—vcosaxt，0—vsin01axt 2gt2固定v，固定v，0a為可變常數(shù)參數(shù)，則有dx ——vcosa，at0ax_=—vsinaxtaa 0at—v0sina－gt，aa—vat—v0sina－gt，aa—v0cosaxt為簡(jiǎn)化計(jì)算取v0—1，利用(4)求炮彈彈道曲線的包絡(luò)曲線為i 1—.'t2— R2112-gt2g26)gg由此參數(shù)方程所繪制的曲線稱為案例拋物線。2．曲線簇及其包絡(luò)曲線的繪制根據(jù)高射炮的彈道曲線簇及其包絡(luò)曲線（6），設(shè)計(jì)MATLAB程序來(lái)繪圖，編輯M腳本文件baoluo.m,運(yùn)行下面程序：n=input('inputn:');alpha=(2:n-1)*pi/(2*n);fork=1:n-2a=alpha(k);v1=cos(a);v2=sin(a);t0=v2/4.9;t=(0:16)*t0/16;x(k,:)=v1*t;y(k,:)=v2*t-4.9*t42;%輸入數(shù)據(jù)n確定所繪曲線簇的曲線數(shù)，在命令窗口輸入20%確定不同曲線所對(duì)應(yīng)的發(fā)射角%開(kāi)始計(jì)算n-2條曲線上散點(diǎn)數(shù)據(jù)%選取發(fā)射角的值%取初始速度在水平和垂直方向上分量%確定時(shí)間參數(shù)t的值%計(jì)算曲線上散點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)endplot(x',y')holdon%同時(shí)繪出彈道曲線簇中的n-2條曲線%在上面曲線簇的圖形里繼續(xù)繪圖g=9.8;t=1/g:0.001:sqrt(2)/g;x=sqrt(t.A2-1/gA2);y=1/g-0.5*g*t.A2;plot(x,y)%確定時(shí)間參數(shù)t的值%對(duì)應(yīng)參數(shù)t的值計(jì)算曲線上散點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)%在彈道曲線簇的圖形里繪出其包絡(luò)曲線由上面的程序可繪出彈道曲線簇及其包絡(luò)曲線，如圖1.2所示0.060.040.010.040.061120.050.030.02由上面的程序可繪出彈道曲線簇及其包絡(luò)曲線，如圖1.2所示0.060.040.010.040.061120.050.030.020.020.08圖1.2固定v=1時(shí)，彈道曲線簇及其包絡(luò)曲線0由圖1.2我們可以看到，當(dāng)固定v=1,a為可變常數(shù)參數(shù)時(shí)，彈道曲線簇的包絡(luò)為一0拋物線。一門(mén)高射炮的控制區(qū)域就是以此包絡(luò)的旋轉(zhuǎn)曲面為邊界的空間區(qū)域；當(dāng)固定a,v0

為可變常數(shù)參數(shù)時(shí)，彈道曲線簇沒(méi)有包絡(luò)。3.Koch分形曲線算法設(shè)計(jì)考慮由直線段(2個(gè)點(diǎn))產(chǎn)生第一個(gè)圖形(5個(gè)點(diǎn))的過(guò)程：設(shè)P和P分別為原始直12線段的兩個(gè)端點(diǎn)?，F(xiàn)在需要在直線段的中間依次插入三個(gè)點(diǎn)Q，Q，Q，產(chǎn)生第一次迭123代的圖形。顯然，Q點(diǎn)位于P點(diǎn)右端直線段的三分之一處，Q位于P點(diǎn)右端直線段的三1131TOC\o"1-5"\h\z分之二處；而Q的位置可以認(rèn)為是，由Q點(diǎn)繞Q點(diǎn)60度(逆時(shí)針?lè)较?而得到的，故可2 . 3 1以處理為向量QQ'經(jīng)正交變換而得到向量QQ。形成的算法如下：1 3 1 2Q=P+(P—P)/3；1121Q=P+2(P—P)/3；3 1 2 1Q=Q+(Q—Q)Xa'；2 1 3 1P—P；P—Q；P—Q；P—Q。5 2 2 1 3 2 4 3在算法中，符號(hào)“—”表示右邊的數(shù)據(jù)表達(dá)式賦值給左邊的變量，在算法第三步中，A為正交矩陣：COS—3一COS—3一sin兀sin—COs本文件本文件baoluo.m,運(yùn)行下面程序：p=[00;100];a=[cos(pi/3)-sin(pi/3);sin(pi/3)cos(pi/3)];fork=1:5n=max(size(p));d=diff(p)/3;q=p(1:n-1,:);p(5:4:4*n-3,:)=p(2:n,:);p(2:4:4*n-6,:)=q+d;p(3:4:4*n-5,:)=p(2:4:4*n-6,:)+d*a';p(4:4:4*n-4,:)=q+2*d;這一算法的結(jié)果將由初始數(shù)據(jù)點(diǎn)p和點(diǎn)p的坐標(biāo)，產(chǎn)生5個(gè)結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；這5個(gè)結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)12數(shù)組，組成一個(gè)5X2矩陣；這一矩陣的第一行為p的坐標(biāo)，第二行為p的坐標(biāo)，??，12第五行為P的坐標(biāo)；矩陣的第一列元素分別為5個(gè)結(jié)點(diǎn)的x坐標(biāo)，第二列元素分別為5個(gè)5結(jié)點(diǎn)的y坐標(biāo)。首先考慮在Koch分形曲線的形成過(guò)程中結(jié)點(diǎn)數(shù)目的變化規(guī)律。設(shè)第k次迭代產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)數(shù)為n，第k+1次迭代產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)數(shù)為n，n和n之間的遞推關(guān)系式如下k k+1 k k+1—4n—3k由第k次迭代的n個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組，產(chǎn)生第k+1次迭代的n個(gè)結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)坐k k+1標(biāo)數(shù)組的算法，可參考上面兩點(diǎn)到五點(diǎn)的算法進(jìn)行設(shè)計(jì)。4.Koch分形曲線的繪制根據(jù)上述算法編寫(xiě)迭代五次的Koch分形曲線，并設(shè)計(jì)MATLAB程序繪圖，編輯M腳%給出初始數(shù)據(jù)兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)%設(shè)置正交變換的矩陣%執(zhí)行第一到第五次迭代%統(tǒng)計(jì)前一輪的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組及形成結(jié)點(diǎn)向量%保護(hù)前一輪的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)組%插入第一組新結(jié)點(diǎn)%用正交變換計(jì)算第二組新結(jié)點(diǎn)%插入第三組新結(jié)點(diǎn)endplot(p(:,1),p(:,2))運(yùn)行上面程序，MATLAB圖形窗口將顯示Koch分形曲線，如圖1.3所示32.5210.5A0456101.5.血fI"832.5210.5A0456101.5.血fI"8Alft9t-FWd3圖1.3迭代5次的Koch分形曲線練習(xí)與思考】1.給定n，例如取n=20，在x軸上取點(diǎn)P(-,0),i=0,1,2,…，n，在y軸上取點(diǎn)inQ(0,丄)。連接PQ形成直線段，i=0,1,2，?，n。試寫(xiě)出直線