新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)課件新人教A版選擇性必修第二冊

第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透【課標(biāo)解讀】1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)簡化運算．2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．新知初探·課前預(yù)習(xí)要點等差數(shù)列的性質(zhì)1．在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則____________．特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則__________.2．等差數(shù)列的項的對稱性：在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….3．在等差數(shù)列中每隔相同的項選出一項，按原來的順序排成一列，仍然是一個等差數(shù)列．

批注熟練運用性質(zhì)解題，往往能起到事半功倍的效果．a(chǎn)m＋an＝ap＋aqam＋an＝2ap【夯

實

雙

基】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)在等差數(shù)列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q.(

)(2)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則數(shù)列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…也成等差數(shù)列．(

)(3)在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＋p＝3t，則am＋an＋ap＝3at.(

)×√×

答案：C解析：{a3n}為等差數(shù)列，公差為原來的3倍．故選C.3．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a8＝3，則a4＋a6＝(

)A．6 B．3C．2 D．1答案：B解析：因為{an}是等差數(shù)列，所以a4＋a6＝a2＋a8＝3，故選B.4．已知等差數(shù)列{an}，a1＝3，a5＝7，則a3＝________．5解析：由題意2a3＝a1＋a5＝10，a3＝5.題型探究·課堂解透題型1等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例1

(1)等差數(shù)列{an}中，若a3＝6，a1＋a11＝6，則a9＝(

)A．－1 B．0C．－2 D．1答案：B解析：因為1＋11＝3＋9，所以a1＋a11＝a3＋a9，所以a9＋6＝6，所以a9＝0；故選B.(2){an}是等差數(shù)列，且a1＋a4＋a7＝15，a2＋a5＋a8＝21，則a3＋a6＋a9的值為(

)A．24 B．27C．30 D．33答案：B解析：因為{an}是等差數(shù)列，所以a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9也成等差數(shù)列，所以a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×21－15＝27.故選B.【方法總結(jié)】觀察等差數(shù)列中項的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.

答案：D

(2)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________．35解析：因為數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以數(shù)列{an＋bn}也構(gòu)成等差數(shù)列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.題型2等差數(shù)列的實際應(yīng)用例2某公司經(jīng)銷一種產(chǎn)品，第1年可獲利200萬元．從第2年起，由于市場競爭等方面的原因，其利潤每年比上一年減少20萬元．按照這一規(guī)律，如果公司不引進新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營策略，那么從哪一年起，該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損？解析：設(shè)第n年的利潤為an萬元，則a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，∴每年的利潤可構(gòu)成一個等差數(shù)列{an}，且公差d＝－20，∴an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)(－20)＝220－20n.若an<0，則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損．由an＝220－20n<0，得n>11.故從第12年起，該公司經(jīng)銷此產(chǎn)品將虧損．【方法總結(jié)】解答數(shù)列實際應(yīng)用問題的基本步驟鞏固訓(xùn)練2

[2022·山東泰安高二期末]中國古代有一道數(shù)學(xué)題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個人分錢，所分得的錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是(

)A．戊分得34文，己分得31文

B．戊分得31文，己分得34文C．戊分得28文，己分得25文

D．戊分得25文，己分得28文答案：C

題型3等差數(shù)列的綜合問題例3

(1)已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項的積為40，求這四個數(shù)．(2)在兩個等差數(shù)列2，5，8，…，197與2，7，12，…，197中，求它們的相同項構(gòu)成數(shù)列的通項公式及相同項的個數(shù)．

【方法總結(jié)】(1)等差數(shù)列的設(shè)項技巧：已知三個數(shù)成等差數(shù)列時，設(shè)為a－d，a，a＋d；已知四個數(shù)成等差數(shù)列時，設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.(2)兩個等差數(shù)列的相同的項按原