高等代數(shù)§75對(duì)角矩陣

§7.5對(duì)角矩陣一、可對(duì)角化的概念二、幾個(gè)引理四、對(duì)角化的一般方法三、可對(duì)角化的條件1定義1：設(shè)是維線性空間V的一個(gè)線性變換，如果存在V的一個(gè)基，使在這組基下的矩陣為對(duì)角矩陣，則稱線性變換可對(duì)角化.矩陣，則稱矩陣A可對(duì)角化.定義2：矩陣A是數(shù)域上的一個(gè)級(jí)方陣.如果存在一個(gè)上的級(jí)可逆矩陣，使為對(duì)角一、可對(duì)角化的概念2即幾何重?cái)?shù)不超過(guò)代數(shù)重?cái)?shù).證明.二、幾個(gè)引理1.設(shè)是的特征值,則的重?cái)?shù)2.(Th.8)設(shè)為n維線性空間V的一個(gè)線性變換,如果分別是的屬于互不相同的特征值的特征向量，則線性無(wú)關(guān).證明.3證明.二、幾個(gè)引理特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量，則向量線性無(wú)關(guān).3.(Th.9)

設(shè)為線性空間V的一個(gè)線性變換，是的不同特征值，而是屬于4在域中有個(gè)不同的特征值.則可對(duì)角化若2.(Cor.1)設(shè)為維線性空間V的一個(gè)線性變換，則可對(duì)角化有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.三、可對(duì)角化的條件

1.(Th.7)設(shè)為維線性空間V的一個(gè)線性變換，證明.證明.53.(Cor.2)在復(fù)數(shù)域C上的線性空間中，如果線性變換的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根，則可對(duì)角化.證明.4.可對(duì)角化6三、對(duì)角化的一般方法1°

求出矩陣A的全部特征值

2°對(duì)每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組

設(shè)為維線性空間V的一個(gè)線性變換，為V的一組基，在這組基下的矩陣為A.

步驟:的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即的屬于的全部線性無(wú)關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo)）.

73°若全部基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)之和等于n，則（或矩陣A）可對(duì)角化.以這些解向量為列，作一個(gè)n階方陣T，則T可逆，是對(duì)角矩陣.而且有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量從而

T就是基到基的過(guò)渡矩陣.8下的矩陣為

基變換的過(guò)渡矩陣.問(wèn)是否可對(duì)角化.在可對(duì)角化的情況下，寫(xiě)出例1.設(shè)復(fù)數(shù)域上線性空間V的線性變換在某組基9解：A的特征多項(xiàng)式為

得A的特征值是1、1、－1.解齊次線性方程組得故其基礎(chǔ)解系為：

所以，是的屬于特征值1的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.10再解齊次線性方程組得

故其基礎(chǔ)解系為：

所以，是的屬于特征值－1的線性無(wú)關(guān)的特征向量.線性無(wú)關(guān)，故可對(duì)角化，且在基下的矩陣為對(duì)角矩陣

11即基到的過(guò)渡矩陣為12例2.

問(wèn)A是否可對(duì)角化？若可，求可逆矩陣T，使為以角矩陣.這里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多項(xiàng)式為

13對(duì)于特征值2，求出齊次線性方程組

對(duì)于特征值－4，求出齊次方程組

的一個(gè)基礎(chǔ)解系:（－2、1、0），（1、0、1）

的一個(gè)基礎(chǔ)解系:

14令

則

所以A可對(duì)角化.15是對(duì)角矩陣（即D不可對(duì)角化）.

項(xiàng)式.并證明：D在任何一組基下的矩陣都不可能例子：在中,求微分變換D的特征多解：在中取一組基：則D在這組基下的矩陣為16于是∴D的特征值為0（n重）.的系數(shù)矩陣的秩為n－1，從而方程組的基礎(chǔ)解系故D不可對(duì)角化.又由于對(duì)應(yīng)特征值0的齊次線性方程組只含有一個(gè)向量，它小于的維數(shù)n（＞1）.17Thanks18Proof:設(shè)為的基,.擴(kuò)充基:則故的重?cái)?shù).返回19定理7設(shè)為維線性空間V的一個(gè)線性變換，則可對(duì)角化有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.證：設(shè)在基下的矩陣為對(duì)角矩陣

則有

就是的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.20反之，若有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量

那么就取為基，則在這組基下的矩陣是對(duì)角矩陣.返回21

定理8設(shè)為n維線性空間V的一個(gè)線性變換,如果分別是的屬于互不相同的特征值的特征向量，則線性無(wú)關(guān).證：對(duì)k作數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)時(shí)，線性無(wú)關(guān).命題成立.

22假設(shè)對(duì)于來(lái)說(shuō)，結(jié)論成立.現(xiàn)設(shè)為

的互不相同的特征值，是屬于的特征向量，即以乘①式的兩端，得

②

設(shè)

①又對(duì)①式兩端施行線性變換，得

③

23③式減②式得

由歸納假設(shè)，線性無(wú)關(guān)，所以

但互不相同，所以將之代入①，得故線性無(wú)關(guān).

返回24證明：首先，的屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是的屬于特征值的一個(gè)特征向量.25令

由④有，

設(shè)

④若有某個(gè)則是的屬于特征值的特征向量.而是互不相同的，由定理8，必有所有的26即而線性無(wú)關(guān)，所以有

故線性無(wú)關(guān).