高級(jí)風(fēng)險(xiǎn)模型：多元情形

第十六章高級(jí)風(fēng)險(xiǎn)模型：多元情形1主要內(nèi)容：

16.1投資組合頭寸系統(tǒng)映射

解析分部正態(tài)聯(lián)合分布風(fēng)16.2風(fēng)險(xiǎn)因子建模系統(tǒng)險(xiǎn)copula系統(tǒng)delta-正態(tài)方法16.3風(fēng)險(xiǎn)加總系統(tǒng)歷史模擬法蒙特卡洛模擬法

16.4VAR系統(tǒng)的局限性216.1風(fēng)險(xiǎn)映射風(fēng)險(xiǎn)簡(jiǎn)化

投資工具

#1#2#3#4#5#6

風(fēng)險(xiǎn)因子#1#2#3

風(fēng)險(xiǎn)加總

圖16.1

映射的方法3因子模型的映射

將股票i的收益率分解成三部分：一個(gè)常數(shù)，一個(gè)基于市場(chǎng)收益率RM的成分和一個(gè)殘差項(xiàng)：

稱(chēng)為股票i的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)考慮一個(gè)各種資產(chǎn)權(quán)重為的投資組合

加權(quán)平均的為：投資組合方差為：這個(gè)映射的方法用市場(chǎng)指數(shù)代替了股票i的美元價(jià)值4相關(guān)性分析：

國(guó)際金融市場(chǎng)快速發(fā)展——市場(chǎng)間相互依存性加強(qiáng)。

金融創(chuàng)新不斷涌現(xiàn)——金融風(fēng)險(xiǎn)越發(fā)集中和隱蔽。

相關(guān)性分析是多變量金融分析中的一個(gè)中心問(wèn)題，資產(chǎn)定價(jià)、投資組合、波動(dòng)的傳導(dǎo)和溢出、風(fēng)險(xiǎn)管理等問(wèn)題都涉及相關(guān)性分析。而常用的線性相關(guān)系數(shù)有具有一定的局限性。如它要求變量間是線性的，且方差存在，但是金融市場(chǎng)中出現(xiàn)的不少數(shù)據(jù)往往是厚尾分布，它們的方差有時(shí)并不存在。

舉個(gè)例子：5我們知道，對(duì)于兩個(gè)變量之間的相關(guān)性關(guān)系，我們可以利用相關(guān)系數(shù)來(lái)度量，但是，我們看下面的問(wèn)題：

若（x，y顯然關(guān)系密切）

則

即x，y的相關(guān)系數(shù)為0。因此，當(dāng)變量間的關(guān)系是非線性時(shí)，用相關(guān)系數(shù)來(lái)度量其關(guān)系是不可靠的。而Copula函數(shù)在一定的范圍內(nèi)就可以避免這個(gè)問(wèn)題。6copula函數(shù)的精髓在于沒(méi)有直接定義變量的相關(guān)性，而是采取一種間接的的方式來(lái)定義其相關(guān)性716.2Copula函數(shù)

形象地說(shuō)，我們可以把Copula函數(shù)叫做“連接函數(shù)或“相依函數(shù)”，它是把多個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布與它們各自的邊緣分布相連接起來(lái)的函數(shù)。

邊緣分布多元聯(lián)合分布函數(shù)copula函數(shù)8Sklar定理

對(duì)任意的聯(lián)合密度函數(shù)，總存在一個(gè)copula函數(shù)，滿(mǎn)足：

若連續(xù)，則唯一確定。反

之，若為一元分布，那么由上式確定的函數(shù)F是邊緣分布的聯(lián)合分布

9尾部相關(guān)性

尾部相關(guān)性是指二維分布中尾數(shù)數(shù)據(jù)的相關(guān)，他是一個(gè)與極值理論聯(lián)系在一起的概念。在金融風(fēng)險(xiǎn)的分析中，更有意義的是尋找隨機(jī)變量的尾部相關(guān)性，這一特性用copula函數(shù)來(lái)處理非常方便。引入條件概率來(lái)反映股票市場(chǎng)中一種股票價(jià)格高漲后，是否會(huì)引起其他股票價(jià)格的攀升，從而對(duì)股市有較大的影響。當(dāng)x,y趨于無(wú)窮大或足夠大時(shí)，即反映了隨機(jī)變量X與Y的尾部相關(guān)性。定義：(上尾相關(guān)與獨(dú)立、下尾相關(guān)與獨(dú)立)令為連續(xù)隨機(jī)變量的向量，邊緣分布分別為F,G，則的上尾相關(guān)系數(shù)為10下尾相關(guān)系數(shù)為：若，X,Y稱(chēng)為上尾相關(guān)；若，X,Y稱(chēng)為上尾獨(dú)立。

若，X,Y稱(chēng)為下尾相關(guān)；若，X,Y稱(chēng)為下尾獨(dú)立。111216.3VAR方法

在險(xiǎn)價(jià)值（Valueatrisk）指在一段時(shí)期內(nèi)，一定置信水平下，當(dāng)市場(chǎng)發(fā)生最壞狀況時(shí)，投資組合的最大可能損失金額。通俗地說(shuō)，VaR是要在給定的置信度（典型的置信度為95％、97.5％、99％）下衡量給定的資產(chǎn)或負(fù)債（投資組合）在給定的時(shí)間內(nèi)（可能選取為一天）可能發(fā)生的最大損失。13例：一個(gè)基金經(jīng)理希望在接下來(lái)的10天時(shí)間內(nèi)存在95%概率其所管理的基金價(jià)值損失不超過(guò)$1,000,000。則我們可以將其寫(xiě)作：

其中95%為置信水平（1-a%)。

實(shí)際上，在VaR中詢(xún)問(wèn)簡(jiǎn)單的問(wèn)題:“情況究竟有多糟糕”！14以正態(tài)分布為例，假設(shè)我們已知總體均值μ和樣本標(biāo)準(zhǔn)差σ將以概率α落在哪個(gè)區(qū)間？

風(fēng)險(xiǎn)值概念的圖形描述

15delta-正態(tài)法

VaR計(jì)算（正態(tài)法）-假設(shè)投資組合收益率呈現(xiàn)正態(tài)分布：

Z1-a為常數(shù)，它是置信水平相對(duì)應(yīng)的Z值，從正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表中查出。

是在給定時(shí)間范圍內(nèi)資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差

t是VaR計(jì)算時(shí)間

V是資產(chǎn)（投資組合）價(jià)值

最常用的置信水平為95%、97%和99%分別對(duì)應(yīng)的位數(shù)為：

Z95%=1.644854、Z97%=1.880794、Z99%=2.326348

16

例：假定由價(jià)值為500萬(wàn)美元的AT&T股票和1000萬(wàn)美元的微軟股票組成的交易組合變化服從二元正態(tài)分布，分布系數(shù)為0.3。AT&T股票每天波動(dòng)率為1%，微軟股票每天波動(dòng)率為2%。求該投資組合在10天內(nèi)置信水平99%之下的VaR值。

17歷史模擬法

.........18歷史模擬法19

將數(shù)據(jù)進(jìn)行排序，若我們?nèi)?9%的分位數(shù)，則選取第五個(gè)低值，就是99%的VAR值。

20蒙特卡洛模擬法

歷史模擬法的VaR計(jì)算，是基于市場(chǎng)因子的歷史實(shí)際價(jià)格變化得到組合損益的n個(gè)可能結(jié)果，從而在觀測(cè)到的損益分布基礎(chǔ)上通過(guò)分位數(shù)計(jì)算VaR?；诿商乜_模擬的VaR計(jì)算，原理與此類(lèi)似，不同之處在于市場(chǎng)因子的變化不是來(lái)自于歷史觀測(cè)值，而是通過(guò)隨機(jī)數(shù)模擬得到。其基本思路是重復(fù)模擬金融變量的隨機(jī)過(guò)程，使模擬值包括大部分可能情況，這樣通過(guò)模擬就可以得到組合價(jià)值的整體分布情況，在此基礎(chǔ)上就可以求出VaR.

利用蒙特卡羅模擬法計(jì)算VaR的具體步驟如下:第一、選擇一個(gè)隨機(jī)模型:在蒙特卡羅模擬中，首先選擇反映價(jià)格變化的隨機(jī)模型和分布，并估計(jì)相關(guān)參數(shù)。幾何布朗運(yùn)動(dòng)(GBM)是股票價(jià)格變化中最為常用的模型之一，它假定資產(chǎn)價(jià)值的變化在時(shí)間上是不相關(guān)的，其離散形式可表示為:

其中：21其中：

表示t時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格

表示t+1時(shí)刻的資產(chǎn)價(jià)格

表示資產(chǎn)收益率的均值

表示資產(chǎn)收益率的波動(dòng)率

表示隨機(jī)變量

第二、隨機(jī)模擬價(jià)格走勢(shì):

根據(jù)隨機(jī)模型，依次產(chǎn)生相應(yīng)的隨機(jī)序列(i=1