2021新教材數(shù)學(xué)人教B版必修第二冊教師用書：6.3.1-平面向量基本定理含解析

PAGE16.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理課標(biāo)解讀課標(biāo)要求核心素養(yǎng)1.了解基底的含義.(一般)2.理解平面向量基本定理及其意義.(重點(diǎn))3.會(huì)用基底表示平面內(nèi)任一向量.(難點(diǎn))1.通過平面向量基本定理的探究,用基底表示平面內(nèi)任一向量,逐步形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.借助向量解決幾何問題培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).問題1:在物理中,我們學(xué)習(xí)了力的分解,即一個(gè)力可以分解為兩個(gè)不同方向的力,試想平面內(nèi)的任一向量是否可以分解為其他兩個(gè)向量的和.答案可以.問題2:如果e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,那么與e1,e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1,e2表示?依據(jù)是什么?答案能.依據(jù)數(shù)乘向量和平行四邊形法則.平面向量基本定理?xiàng)l件e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)①不共線向量結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a,②有且只有一對實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2基底若e1,e2③不共線,我們把{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底思考1:0能與另外一個(gè)向量a構(gòu)成基底嗎?提示不能,基底是不共線的,0與任意向量都是共線的.思考2:同一平面內(nèi)向量的基底是唯一的嗎?提示不唯一,但基底一旦確定,平面內(nèi)任一向量都可以用這一基底唯一表示.探究一基底的概念例1(多選題)設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點(diǎn),則下列向量組中,可作為這個(gè)平行四邊形所在平面內(nèi)一個(gè)基底的是()A.{AD,AB} B.{DA,BC}C.{CA,DC} D.{OD,OB}答案AC解析A中,AD與AB不共線;B中,DA=-BC,則DA與BC共線;C中,CA與DC不共線;D中,OD=-OB,則OD與OB共線.由平面向量基底的概念知,只有不共線的兩個(gè)向量才能構(gòu)成一個(gè)基底.故選AC.思維突破能作為向量基底的條件(1)兩個(gè)向量不共線,基底的選擇是不唯一的.(2)零向量與任意向量共線,不能作為基底.1-1設(shè){e1,e2}是平面內(nèi)一個(gè)基底,則下面四組向量中,不能作為基底的是()A.{e1+e2,e1-e2} B.{3e1-2e2,4e2-6e1}C.{e1+2e2,e2+2e1} D.{e2,e2+e1}答案B∵4e2-6e1=-2(3e1-2e2),∴兩個(gè)向量共線,不能作為基底.1-2已知e1、e2不共線,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為.

答案(-∞,4)∪(4,+∞)解析若a,b能作為平面內(nèi)的一組基底,則a與b不共線,則a≠kb(k∈R),又a=e1+2e2,b=2e1+λe2,∴λ≠4.探究二用基底表示向量例2(2020江蘇南京高一期中)如圖所示,在△OAB中,OA=a,OB=b,點(diǎn)M是AB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)N是OA上靠近點(diǎn)A的一個(gè)四等分點(diǎn).若OM與BN相交于點(diǎn)P,求OP.解析∵OA=a,OB=b,∴OM=OA+AM=OA+23AB=OA+23(OB-OA)=13a∵OP與OM共線,可設(shè)OP=tOM=t3a+2t又NP與NB共線,可設(shè)NP=sNB,則OP=ON+sNB=34OA+s(OB-ON)=34(1-s)a∴34(∴OP=310a+35思維突破用基底表示向量的方法(1)選基底:選取兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量.(2)依據(jù):①向量加法的三角形法則和平行四邊形法則;②向量減法的幾何意義;③數(shù)乘向量的幾何意義.(3)方法:①運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對所求向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化;②通過列方程(組)求解.2-1(多選題)(2020山東青島高一期末)D,E,F分別為△ABC的邊BC,CA,AB上的中點(diǎn),且BC=a,CA=b,則下列結(jié)論正確的有()A.AD=-12a-b B.BE=a+1C.CF=-12a+12b D.EF=答案ABC如圖所示,AD=AC+CD=-b+12CB=-12a-b,A正確;BE=BC+CE=a+12b,B正確;AB=AC+CB=-b-a,CF=CA+12AB=b+12(-b-a)=12b-12a,C正確;2-2如圖所示,已知在?ABCD中,E,F分別是BC,DC邊上的中點(diǎn).若AB=a,AD=b,試用a,b表示向量DE,BF.解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,E,F分別是BC,DC邊上的中點(diǎn),∴AD=BC=2BE,CD=BA=2CF,∴BE=12AD=12b,CF=12CD=12∴DE=DA+AB+BE=-AD+AB+BE=-b+a+12b=a-12BF=BC+CF=AD+CF=b-12a探究三利用平面向量基本定理解決平面幾何問題例3(易錯(cuò)題)如圖所示,L,M,N分別為△ABC的邊BC,CA,AB上的點(diǎn),且BLBC=l,CMCA=m,ANAB=n,若AL+BM+CN證明令BC=a,CA=b,{a,b}為一個(gè)基底,根據(jù)已知有BL=la,CM=mb.∵AB=AC+CB=-a-b,則有AN=nAB=-na-nb,∴AL=AB+BL=(l-1)a-b,BM=BC+CM=a+mb,CN=CA+AN=-na+(1-n)b,又AL+BM+CN=0,∴(l-n)a+(m-n)b=0.根據(jù)平面向量基本定理,有l(wèi)-n=m-n=0,即l=m=n.易錯(cuò)點(diǎn)撥常因不能恰當(dāng)選擇基底而找不到突破口,導(dǎo)致無從下手,造成失分.平面向量基本定理在解決幾何問題中的作用(1)平面向量基本定理提供了向量的幾何表示方法.(2)由平面向量基本定理可知,任意向量都可以用一個(gè)與它共線的非零向量線性表示,而且這種表示是唯一的.因此,恰當(dāng)選擇基底是解決問題的關(guān)鍵.3-1用向量法證明三角形的三條中線交于一點(diǎn).證明如圖,設(shè)D,E,F分別是△ABC的三邊BC,AC,AB的中點(diǎn),令A(yù)C=a,BC=b,則AB=a-b,AD=a-12b,BE=-12a+設(shè)AD與BE交于點(diǎn)G,且AG=λAD,BG=μBE,則有AG=λa-λ2b,BG=-μ2a+μ又有AG=AB+BG=1-μ2a∴λ=1-μ2∴AG=23a-13b,CG=CA+AG=-a+23a-13b=-13a-13b=23而CF=12(-a-b),∴CG=2∴點(diǎn)G是CF上一點(diǎn),∴三角形的三條中線交于一點(diǎn).1.{e1,e2}是平面內(nèi)一個(gè)基底,下面說法正確的是()A.若實(shí)數(shù)λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0B.空間內(nèi)任一向量a可以表示為a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2為實(shí)數(shù))C.對實(shí)數(shù)λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在該平面內(nèi)D.對平面內(nèi)任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ1,λ2有無數(shù)對答案A由基底的定義可以知道,e1和e2是平面上不共線的兩個(gè)向量,所以若實(shí)數(shù)λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,則λ1=λ2=0,不是空間任一向量都可以表示為a=λ1e1+λ2e2,而是平面中的任一向量a,可以表示為a=λ1e1+λ2e2的形式,此時(shí)實(shí)數(shù)λ1,λ2有且只有一對,而對實(shí)數(shù)λ1,λ2,λ1e1+λ2e2一定在平面內(nèi),所以A正確.2.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若BC=3CD,則()A.AD=-13AB+43AC B.ADC.AD=43AB+13AC D.AD答案A因?yàn)锽C=3CD,所以AC-AB=3(AD-AC)=3AD-3AC,所以3AD=4AC-AB,所以AD=43AC-13AB=-3.已知向量a,b不共線,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是()A.A,B,D B.A,B,CC.B,C,D D.A,C,D答案A∵BC=-5a+6b,CD=7a-2b,∴BD=BC+CD=2a+4b,又AB=a+2b,∴2AB=BD,∴AB∥BD.又∵AB與BD有公共點(diǎn)B,∴A,B,D三點(diǎn)共線.4.已知向量a,b是一組基底,實(shí)數(shù)x,y滿足(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,則x-y的值為.

答案3解析因?yàn)閍,b是一組基底,所以a與b不共線.因?yàn)?3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,所以3x-4y5.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量OA、OB、OC,其中OA與OB的夾角為120°,OA與OC的夾角為30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),求λ+μ的值.解析如圖,以O(shè)C為對角線作?OMCN,使得M在直線OA上,N在直線OB上,則存在λ,μ,使OM=λOA,ON=μOB,即OC=OM+ON=λOA+μOB.∵∠MON=120°,∠MOC=30°,∴∠OCM=90°,∴在Rt△COM中,|OC|=23,∴|OM|=4,|MC|=2,∴OM=4OA,又|ON|=|MC|=2,∴ON=2OB,∴OC=4OA+2OB,即λ=4,μ=2,∴λ+μ=6.數(shù)學(xué)運(yùn)算——利用方程思想求向量等式中的參數(shù)在△ABC中,點(diǎn)P是AB上一點(diǎn),且CP=23CA+13CB,Q是BC的中點(diǎn),AQ與CP的交點(diǎn)為M,又CM=tCP,審:條件中CP用基底{CA,CB}表示,而CM=tCP,要求t的值,需CM也用基底{CA,CB}表示,利用方程思想求解.聯(lián):三點(diǎn)共線的向量問題,把向量用基底表示,建立方程組.解:∵CP=23CA+13CB,∴3CP=2即2CP-2CA=CB-CP,∴①,

即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn),如圖所示.設(shè)CM=xCQ+(1-x)CA=②,

而CB=AB-AC,∴CM=③.

又CP=CA-PA=-AC+13AB,由已知CM=t可得x2AB+x2又AB,AC不共線,∴④,解得t=34思:平面內(nèi)任一向量利用平面向量基本定理都可以表示為同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量e1,e2的線性組合λ1e1+λ2e2.具體求λ1,λ2時(shí)的兩種方法:(1)直接利用三角形法則、平行四邊形法則及向量共線定理.(2)利用待定系數(shù)法,即利用定理中λ1,λ2的唯一性列方程組求解.答案①2AP=PB②x2CB+(x-1)③x2AB+x2(變結(jié)論)本例中,試問點(diǎn)M在AQ的什么位置?解析由例題知CM=x2AB+x-22·AC及x=12,CB=2CQ知,CM=12x(CB-CA)+2-x2CA=x2CB+(1-x)CA=xCQ+(1-x)在△ABC中,M是AB邊所在直線上任意一點(diǎn),若CM=-2CA+λCB,則λ=()A.1 B.2 C.3 D.4答案C∵M(jìn)是△ABC中AB邊所在直線上任意一點(diǎn),∴存在實(shí)數(shù)μ,使得AM=μMB,即CM-CA=μ(CB-CM),化簡,得CM=11+μCA∵CM=-2CA+λCB,∴11+μ=-1.(多選題)(2019北京高一期末)如果e1,e2是平面α內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中,可以作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A.e1與e1+e2 B.e1-2e2與e1+2e2C.e1+e2與e1-e2 D.e1+3e2與6e2+2e1答案ABC選項(xiàng)A中,設(shè)e1+e2=λe1,則λ=1,1=0無解;選項(xiàng)B中,設(shè)e1-2e2=λ(e1+2e2),則1=λ,-2=2λ無解;選項(xiàng)C中,設(shè)e1+e2=λ(e1-e2),則λ=1,1=-λ無解;選項(xiàng)D中,e1+3e2.如圖,在△OAB中,P為線段AB上的一點(diǎn),OP=xOA+yOB,且BP=2PA,則()A.x=23,y=13 B.x=1C.x=14,y=34 D.x=3答案A由題意知OP=OB+BP,又BP=2PA,所以O(shè)P=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,3.A,B,O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn),且OA=a,OB=b,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為Q,點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為R,則PR等于()A.a-b B.2(b-a)C.2(a-b) D.b-a答案B如圖所示,a=12(OP+OQ),b=12(OQ+則b-a=12(OR-OP)=1∴PR=2(b-a).4.如圖,在四邊形ABCD中,DC=13AB,E為BC的中點(diǎn),且AE=xAB+yAD,A.12 B.3C.1 D.2答案C由題意,得AE=AB+BE=AB+12=AB+12(-AB+AD+DC=AB+12-AB+AD∵AE=xAB+yAD,∴xAB+yAD=23AB+∵AB與AD不共線,∴由平面向量基本定理,得x∴3x-2y=3×23-2×15.已知a,b不共線,且c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若c與b共線,則λ1=.

答案0解析因?yàn)閍,b不共線,所以a,b可以作為一組基底,又c與b共線,所以c=λ2b,所以λ1=0.6.如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=a,AD=b,M是DC的中點(diǎn),以a,b為基底表示向量AM,則AM=.

答案b+12a解析AM=AD+DM=AD+12DC=AD+12AB=b+7.如圖所示,在△ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),過點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于點(diǎn)M,N,若AB=mAM,AC=nAN,則mn的最大值為.

答案1解析∵點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),∴AO=12(AB+AC),又∵AB=mAM,AC=nAN,∴AO=m2AM+又∵M(jìn),O,N三點(diǎn)共線,∴m2+n2=1,∴mn≤m2當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號,故mn的最大值為1.8.在△OAB的邊OA,OB上分別取M,N,使|OM|∶|OA|=1∶3,|ON|∶|OB|=1∶4,設(shè)線段AN與BM的交點(diǎn)為P,OA=a,OB=b,用a,b表示OP.解析如圖所示:設(shè)MP=λMB,NP=kNA,則有MP=λMB=λb-13a,從而OP=OM+MP=13a+λb-1又NP=kNA=ka-OP=ON+NP=ka+14(1-k)b,由平面向量基本定理及a,b不共線可得13(1-λ)=k,λ=19.(多選題)如圖,在平行四邊形ABCD中,O是對角線AC,BD的交點(diǎn),N是線段OD的中點(diǎn),AN的延長線與CD交于點(diǎn)E,則下列說法正確的是()A.AC=AB+AD B.BD=AD-ABC.AO=12AB+12AD D.AE答案ABC由向量減法的三角形法則知,BD=AD-AB;由向量加法的平行四邊形法則知,AC=AB+AD,AO=12AC=12ABAE=AD+DE=AD+12DC=AD+12AB.故ABC10.如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),BC=3EC,F為AE的中點(diǎn),則BF=()A.23AB-13AD C.-23AB+13AD 答案CBF=BA+AF=BA+12=-AB+1=-AB+1=-AB+12AD+14AB+16(CD=-23AB+11.在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn),BE與AC相交于點(diǎn)F,若EF=mAB+nAD(m,n∈R),則mn的值是答案-2解析解法一:根據(jù)題意可知△AFE∽△CFB,所以EFFB=AECB=12,故EF=12FB=13EB=13(AB-AE)=13AB-12AD=1∴m=13,n=-16,∴mn解法二:如圖,AD=2AE,EF=mAB+nAD(m,n∈R),∴AF=AE+EF=mAB+(2n+1)AE,∵F,E,B三點(diǎn)共線,∴m+2n+1=1,∴mn12.在△ABC中,點(diǎn)M,N滿足AM=2MC,BN=NC.若MN=xAB+yAC,則x=,y=.

答案12;-1解析由AM=2MC知M為AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn),由BN=NC知N為BC的中點(diǎn),作圖如下:則有AN=12(AB+AC),所以MN=AN-AM=12(AB+AC)-23AC=12AB-16AC,又因?yàn)镸N=xAB+y13.設(shè)D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點(diǎn),AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2為實(shí)數(shù)),則λ1+λ2的值為答案12解析DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-∵DE=λ1AB+λ2AC,∴λ1=-16,λ2=23,故λ1+λ2=14.如圖,已知△OCB中,A是CB的中點(diǎn),D是將OB分成2∶1的一個(gè)