2024屆遼寧省丹東市通遠(yuǎn)堡高中高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2024屆遼寧省丹東市通遠(yuǎn)堡高中高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會(huì)面，已知這三人都不會(huì)違約且無兩人同時(shí)到達(dá)，則甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若，則的值等于（）A． B． C． D．3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若，則的解集是（）A． B．C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，則輸出屬于（）A． B． C． D．5．設(shè)i為數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A． B． C． D．6．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．7．設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．若直線與圓相交所得弦長為，則（）A．1 B．2 C． D．39．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向左平移個(gè)單位長度 B．向右平移個(gè)單位長度C．向左平移個(gè)單位長度 D．向右平移個(gè)單位長度10．已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．2 B．3 C．5 D．811．已知函數(shù)，若，，,則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線上與不重合的動(dòng)點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C．4 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若，則___________.14．已知集合，則_______．15．已知，則展開式的系數(shù)為__________．16．已知向量，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，是邊長為的正方形的中心，平面，為的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，是上的點(diǎn).（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.19．（12分）如圖，在三棱錐中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，平面，平面平面，為銳角三角形，求證：（1）是的中點(diǎn)；（2）平面平面.20．（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E，拋物線C在點(diǎn)A，B處的切線相交于點(diǎn)G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；（2）當(dāng)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.21．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，為等邊三角形，平面平面ABCD，M，N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).（1）求直線CM與平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系，并給出證明.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，圓C的參數(shù)方程（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）直線l的極坐標(biāo)方程是，射線與圓C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

先判斷是一個(gè)古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達(dá)的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個(gè)到、丙第三個(gè)到的概率是.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，【詳解】∵其中為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)∴也為奇函數(shù)∴故選：B【點(diǎn)睛】函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱時(shí)有：①奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；③奇函數(shù)÷奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函數(shù)÷偶函數(shù)=奇函數(shù)3、B【解析】

利用函數(shù)奇偶性可求得在時(shí)的解析式和，進(jìn)而構(gòu)造出不等式求得結(jié)果.【詳解】為定義在上的奇函數(shù)，.當(dāng)時(shí)，，，為奇函數(shù)，，由得：或；綜上所述：若，則的解集為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，涉及到利用函數(shù)奇偶性求解對稱區(qū)間的解析式；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略奇函數(shù)在處有意義時(shí)，的情況.4、B【解析】

由題意，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，求解即得解.【詳解】由題意可知，框圖的作用是求分段函數(shù)的值域，當(dāng)；當(dāng)綜上：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了條件分支的程序框圖，考查了學(xué)生邏輯推理，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出，然后計(jì)算．【詳解】，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．6、C【解析】

由，,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因?yàn)?

所以

,

，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.7、A【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗(yàn)證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和推斷能力.8、A【解析】

將圓的方程化簡成標(biāo)準(zhǔn)方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓心坐標(biāo)為,半徑為,因?yàn)橹本€與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.10、D【解析】

畫出函數(shù)的圖象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用數(shù)形結(jié)合即可得出.【詳解】解：函數(shù)，如圖所示當(dāng)時(shí)，，由于關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解因此其整數(shù)解為3，又∴，，則當(dāng)時(shí)，，則不滿足題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，沒有整數(shù)解當(dāng)時(shí)，，至少有兩個(gè)整數(shù)解綜上，實(shí)數(shù)的最大值為故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，屬于較難題.11、D【解析】

根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系分析可得在上為增函數(shù)，又由，分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)函數(shù)，則有在上恒成立，則在上為增函數(shù)；又由，則；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

設(shè)，，，根據(jù)可得①，再根據(jù)又②，由①②可得，化簡可得，即可求出離心率．【詳解】解：設(shè)，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查了斜率的計(jì)算，離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)題意，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，其定義域?yàn)椋云涠x域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因?yàn)?，所?故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判斷及其性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握函數(shù)奇偶性的判斷方法是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.14、【解析】

由可得集合是奇數(shù)集，由此可以得出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)樗约现械脑貫槠鏀?shù)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.15、【解析】

先根據(jù)定積分求出的值，再用二項(xiàng)展開式公式即可求解.【詳解】因?yàn)樗缘耐?xiàng)公式為當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故展開式中的系數(shù)為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查定積分公式，二項(xiàng)展開式公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于簡單題目.16、【解析】

由向量平行的坐標(biāo)表示得出，求解即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，解?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方形的性質(zhì)得出，由平面得出，進(jìn)而可推導(dǎo)出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，以、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法能求出二面角的余弦值.【詳解】（Ⅰ）是正方形，，平面，平面，、平面，且，平面，又平面，平面平面；（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連接、，是正方形，易知、、兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以、、所在直線分別為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在中，，，，、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，得，令，則，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，由，得，取，得，，得.，二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，同時(shí)也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）因?yàn)椋镁€面平行的判定定理可證出平面，利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系，得出和，由于底面，利用線面垂直的性質(zhì)，得出，且，最后結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.（2）由（1）可知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，標(biāo)出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以可設(shè)平面平面，又因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫妫矫?，所以，從而?因?yàn)榈酌?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以平?綜上，平面.（2）解：由（1）可得，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，則，，，，所以，，，.設(shè)是平面的法向量，由取取，得.設(shè)是平面的法向量，由得取，得，所以，即的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計(jì)算，還運(yùn)用線面平行的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、點(diǎn)線面的位置關(guān)系、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算等，同時(shí)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力.19、（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】

（1）推導(dǎo)出，由是的中點(diǎn)，能證明是有中點(diǎn)．（2）作于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，從而，由，能證明平面，由此能證明平面平面．【詳解】證明：（1）在三棱錐中，平面，平面平面，平面，，在中，是的中點(diǎn)，是有中點(diǎn)．（2）在三棱錐中，是銳角三角形，在中，可作于點(diǎn)，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，平面平面．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．20、（1）（2）當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S不是整數(shù)．【解析】

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點(diǎn)G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點(diǎn)到直線的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】（1）設(shè)，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點(diǎn)A處的切線方程為，在點(diǎn)B處的切線方程為，因?yàn)閮汕芯€均過點(diǎn)G，所以，所以A，B兩點(diǎn)均在直線上，所以直線AB的方程為，又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(0，p)，所以，即G點(diǎn)軌跡方程為；（2）設(shè)點(diǎn)G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，即，將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，，整理得，所以，，解得，因?yàn)橹本€AB的斜率，所以，且，線段AB的中點(diǎn)為M，所以直線EM的方程為：，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)，直線AB的方程整理得，則G到AB的距離，則E到AB的距離，所以，設(shè)，因?yàn)閜是質(zhì)數(shù)，且為整數(shù)，所以或，當(dāng)時(shí)，，是無理數(shù)，不符題意，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即是無理數(shù)，所以不符題意，當(dāng)時(shí)，是無理數(shù)，不符題意，綜上，當(dāng)G點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)時(shí)，S不是整數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線中的切線問題通常借助導(dǎo)數(shù)來求解，四邊形的面積問題一般轉(zhuǎn)化為三角形的面積和問題，表示出面積的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21、（1）（2）（3）直線平面，證明見解析【解析】

取中點(diǎn)，連接，則，再由已知證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量．（1）求出