信息光學(xué)習(xí)題答案

信息光學(xué)習(xí)題答案

第一章線性系統(tǒng)分析

1.1簡(jiǎn)要說明以下系統(tǒng)是否有線性與平移不變性.

〔1〕〔2〕g(x)=J/(x)公；

〔3〕g(x)=|/(x];〔4〕=j-a)]2da;

-00

00

〔5〕j/(a)exp(-j2^a)da

-00

解：〔1〕線性、平移不變；〔2〕線性、平移不變；〔3〕

非線性、平移不變；

〔4〕線性、平移不變；〔5〕線性、非平移不變。

1.2證明conib\—=comb{x)w(JTZX)+conib(x)

證明：左邊=coml?[-\=ZC-=E5—(x-2n)=2￡b(x-2〃)

I2y/”=-00l2)/J=-CO2?=-oo

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，右邊=0,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，右邊=

所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，左右兩邊相等。

1.3證明芯(sin;zx)=comb(x)

證明：根據(jù)復(fù)合函數(shù)形式的6函數(shù)公式

式中七是h(x)=0的根，"(七)表示人(x)在x=x,處的導(dǎo)數(shù)。于是

1.4計(jì)算圖題L1所示的兩函數(shù)的一維卷積。

解：設(shè)卷積為g(x)。當(dāng)-14XW0時(shí)，如圖題1.1(a)所示,

當(dāng)0<xW1時(shí)，如圖題1.1(b)所示，

111

-+—x——X3,-l<x<0

326

1113

即g(x)='------XH-----X,0<x<1

326

0,其它

1.5計(jì)算以下一維卷積。

〔1〕

〔3〕comb{x)*rect(x)

解：〔1〕8(2x-?))*rect

⑵設(shè)卷積為g(x),當(dāng)X&0時(shí),如圖題1.2(a)所示,

當(dāng)0<x時(shí),如圖題1.2(b)所示

即

〔3〕comb(x)*rect(x)=1

1.6exp(-欣2)的傅立葉變換為exp(一待2),試求

〔1〕次xp(-Y)}=?〔2〕次沖(--/2/)}=?

解：設(shè)y=z=&己即p{exp(-7Cy2)}-exp(-T￡,2)

由坐標(biāo)縮放性質(zhì)血/(血力)}=占得

\ab\yab)

[1〕@{e冷(一，)}=@{e乎(-J/%}=邛(一萬z?)=V^ejqX一"話？)

〔2〕犯{exp(-//2/)}=犯{exp(-y?/2m?)}

1.7計(jì)算積分.〔1〕〔2〕

解：應(yīng)用廣義巴塞伐定理可得

1]

ooooC

jsinc2(x)sinc2(^x)dx=jA(^)A(^)^=j(l+J)2dJ+=一

—oo-oo3

〔2〕jsinc2(x)cos;tvdr=；{jAOS(J+g)dJ+>

1.8應(yīng)用卷積定理求/(%)=sinc(x)sinc(2x)的傅里葉變換.

解:紀(jì){sinc(x)sinc(2x)}=匏{(lán)sinc(x)}*p{sinc(2x)}=grect(^)*recf(1)

當(dāng)時(shí)，如圖題L3(a)所示,

當(dāng)時(shí)，如圖題1.3(b)所示，

當(dāng)時(shí)，如圖題1.3(c)所示，

2G?的圖形如圖題1.3(d)所示，由圖可知

1.9設(shè)/(x)=exp(-砌)，尸＞0,求

解：紀(jì){exp(-/?W)}=Jexp(/Jr)exp(-j27i^x)dx+exp(-j3x)exp(-j27t^x)dx

1.10設(shè)線性平移不變系統(tǒng)的原點(diǎn)響應(yīng)為Mx)=exp(-x)srep(x),試

計(jì)算系統(tǒng)對(duì)階躍函數(shù)"e『(x)的響應(yīng).

解：由階躍函數(shù)定義

得

線性平移不變系統(tǒng)的原點(diǎn)響應(yīng)為

所以系統(tǒng)對(duì)解階躍函數(shù)sre『(x)的響應(yīng)為

1.11有兩個(gè)線性平移不變系統(tǒng)，它們的原點(diǎn)脈沖響應(yīng)分別為

%(x)=sinc(x)與〃2(x)=sinc(3x).試計(jì)算各自對(duì)輸入函數(shù)/(x)=cos2^x的

響應(yīng)g[x)與g2(x).

解：

1.12一平面波的復(fù)振幅表達(dá)式為

試計(jì)算其波長(zhǎng)人以及沿x,y,z方向的空間頻率。

解：設(shè)平面波的復(fù)振幅的表達(dá)式可以表示成以下形式

由題可知，kcosa=2,kcos/3=-3,Acos/=4

又因?yàn)镃OS20+COS2P+cos2/=1所以上=正寸

波長(zhǎng)為

沿x,y,z方向的空間頻率為

1.13單色平面波的復(fù)振幅表達(dá)式為

求此波在傳播方向的空間頻率以及在x,y,z方向的空間頻率.

解：設(shè)單色平面波的復(fù)振幅的表達(dá)式可以表示成以下形式

3

由題可知,kcosa-kcos/3-,kcosy

后V14

又因?yàn)閏os?a+cos?尸+cos?y=1所以左=1

波長(zhǎng)為

沿%,y,z方向的空間頻率為

第三章光學(xué)成像系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

3.1參看圖3.1.1,在推導(dǎo)相干成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(3.1.5)

式時(shí)，對(duì)于積分號(hào)前的相位因子

試問：〔口物平面上半徑多大時(shí)，相位因子

相對(duì)于它在原點(diǎn)之值正好改變?；《?？

〔2〕設(shè)光瞳函數(shù)是一個(gè)半徑為a的圓，則在物平面上相應(yīng)h

的第一個(gè)零點(diǎn)的半徑是多少？

〔3〕由這些結(jié)果，設(shè)觀察是在透鏡光軸附近進(jìn)展，則a,入與

之間存在什么關(guān)系時(shí)可以棄去相位因子

解：〔1〕由于原點(diǎn)的相位為零，于是與原點(diǎn)相位差為死的條件是

〔2〕根據(jù)

相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是透鏡光瞳函數(shù)的夫瑯禾費(fèi)衍射圖樣，其

中心位于理想像點(diǎn)（兀，工）

式中/,而

P〔1〕

)

在點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的第一個(gè)零點(diǎn)處，（2加2）=0,此時(shí)應(yīng)有2加心=3.83,即

（2）

將⑵式代入⑴式，并注意觀察點(diǎn)在原點(diǎn)a=%=0）,于是得

⑶

〔3〕根據(jù)線性系統(tǒng)理論，像面上原點(diǎn)處得場(chǎng)分布，必須是物面上

所有點(diǎn)在像面上的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)對(duì)于原點(diǎn)的奉獻(xiàn)以人,，％0,0）o按照上面

的分析，如果略去h第一個(gè)零點(diǎn)以外的影響，即只考慮h的中央亮

斑對(duì)原點(diǎn)的奉獻(xiàn)，則這個(gè)奉獻(xiàn)僅僅來自于物平面原點(diǎn)附近

〃,=0.6￡4,/a范圍內(nèi)的小區(qū)域。當(dāng)這個(gè)小區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的相位因子

exp""；/2d］變化不大，而降它棄去。假設(shè)小區(qū)域內(nèi)相位變化不大于

幾分之一弧度（例如K/16）就滿足以上要求，則

ki^l2do<~,14就/16,也即

1O

a>2.447M〔4〕

例如入=600,=600,則光瞳半徑a>1.46,顯然這一條件是極

易滿足的。

3.2一個(gè)余弦型振幅光柵，復(fù)振幅透過率為

放在圖3.1.1所示的成像系統(tǒng)的物面上，用單色平面波傾斜照明，平

面波的傳播方向在&z平面內(nèi)，與z軸夾角為6。透鏡焦距為1,孔徑

為D。

(1)求物體透射光場(chǎng)的頻譜；

(2)使像平面出現(xiàn)條紋的最大e角等于多少？求此時(shí)像面強(qiáng)度

分布;

〔3〕假設(shè)e采用上述極大值，使像面上出現(xiàn)條紋的最大光柵

頻率是多少？與e=o時(shí)的截止頻率比擬，結(jié)論如何？

解：〔1〕斜入射的單色平面波在物平面上產(chǎn)生的場(chǎng)為

Aexp(^x°,sine),為確定起見設(shè)0,則物平面上的透射光場(chǎng)為

Uo(xo,yo)=Aexp(網(wǎng),sin0)t(xo,yo)

sin。sin。

=-"^exdj2mo+7exp-j2m\/?

其頻譜為

由此可見，相對(duì)于垂直入射照明，物頻譜沿§軸整體平移了6/入距離。

〔2〕欲使像面有強(qiáng)度變化，至少要有兩個(gè)頻譜分量通過系統(tǒng)。系

統(tǒng)的截至頻率金=。/4秒，于是要求

由此得

口〕

e角的最大值為

⑵

此時(shí)像面上復(fù)振幅分布與強(qiáng)度分布為

〔3〕照明光束的傾角取最大值時(shí)，由⑴式與⑵式可得

或fJL

即Jo=

~2Af"J"max22/

⑶

e=0時(shí)，系統(tǒng)的截止頻率為4=D*#',因此光柵的最大頻率

(4)

比擬⑶與⑷式可知，當(dāng)采用傾角的平面波照明時(shí)系統(tǒng)的截止頻率提

高了一倍，也就提高了系統(tǒng)的極限分辨率，但系統(tǒng)的通帶寬度不變。

3.3光學(xué)傳遞函數(shù)在J=〃=0處都等于1,這是為什么？光學(xué)傳

遞函數(shù)的值可能大于1嗎？如果光學(xué)系統(tǒng)真的實(shí)現(xiàn)了點(diǎn)物成點(diǎn)像，這

時(shí)的光學(xué)傳遞函數(shù)怎樣？

解：在

00

JJ%(巧,/)exp~/2乃(先〃％)團(tuán)血

N?〃)="人⑷=々--------------------------〔1〕

JJhl(xi,yi)dxidyi

—00

式中，令以孫為)=」即必)一

J\h,(xi,yi)dxjdyi

-O0

為歸一化強(qiáng)度點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)，因此⑴式可寫成

00

而Z(0,0)=1=JJh(Xj,yjdXjdy

-00

即不考慮系統(tǒng)光能損失時(shí)，認(rèn)定物面上單位強(qiáng)度點(diǎn)源的總光通量將全

部彌漫在像面上，著便是歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的意義。

〔2〕不能大于lo

〔3〕對(duì)于理想成像，歸一化點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)是8函數(shù)，其頻譜為常

數(shù)1,即系統(tǒng)對(duì)任何頻率的傳遞都是無損的。

3.4當(dāng)非相干成像系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)成點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，則其

光學(xué)傳遞函數(shù)是實(shí)函數(shù).

解：由于〃/口,%）是實(shí)函數(shù)并且是中心對(duì)稱的，即有

%（須，%）=居（玉，%）,hl（xi,yi）=hl（-xi,-yi）,應(yīng)用光學(xué)傳遞函數(shù)的定義式

易于證明N?"）=N*C，〃），即寸小〃）為實(shí)函數(shù)

3.5非相干成像系統(tǒng)的出瞳是由大量隨機(jī)分布的小圓孔組成。

小圓孔的直徑都為2a,出瞳到像面的距離為，光波長(zhǎng)為X,這種系

統(tǒng)可用來實(shí)現(xiàn)非相干低通濾波。系統(tǒng)的截止頻率近似為多大？

解：用公式來分析。首先，由于出瞳上的小圓孔是隨機(jī)排列的，

因此無論沿哪個(gè)方向移動(dòng)出瞳計(jì)算重疊面積，其結(jié)果都一樣，即系統(tǒng)

的截止頻率在任何方向上均一樣。其次，作為近似估計(jì)，只考慮每個(gè)

小孔自身的重疊情況，而不計(jì)及與其它小孔的重疊。這時(shí)N個(gè)小孔

的重疊面積除以N個(gè)小孔的總面積，其結(jié)果與單個(gè)小孔的重疊情況

是一樣的，即截至頻率約為20/2<,由于2a很小，所以系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了

低通濾波。

第四章局部相干理論

4.1假設(shè)光波的波長(zhǎng)寬度為△入，頻率寬度為Av,試證明：。設(shè)

光波波長(zhǎng)為1=632.8〃九”=2x10%%試計(jì)算它的頻寬Av=假設(shè)把

光譜分布看成是矩形線型，則相干長(zhǎng)度/,=?

證明：因?yàn)轭l率與波長(zhǎng)的關(guān)系為c=其中C為光速）

對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得dc=vM+Adv=0

dvdXAvA2AvAA

所以__s=—s=

v2v2v2

因2=632.8加n,Al=2xIO-8nm

所以1=1.5x104赫

有因?yàn)橄喔砷L(zhǎng)度%=M

4.2設(shè)邁克耳孫干預(yù)儀所用光源為4=589〃%42=589.6〃加的鈉

雙線，每一譜線的寬度為o.oi.

〔1〕試求光場(chǎng)的復(fù)相干度的模；

〔2〕當(dāng)移動(dòng)一臂時(shí)，可見到條紋總數(shù)大約是多少？

〔3〕可見度有幾個(gè)變化周期？每個(gè)周期有多少條紋？

解：假設(shè)每一根譜線的線型為矩形，光源的歸一化功率譜為

〔1〕光場(chǎng)的復(fù)相干度為

式中△"匕-9，復(fù)相干度的模為

由于，故第一個(gè)因子是工的慢變化非周期函數(shù)，第二個(gè)因子是［的快

變化周期函數(shù)。相干時(shí)間由第一個(gè)因子決定，它的第一個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在

「1/8的地方，Q即為相干時(shí)間，故相干長(zhǎng)度

(2)可見到的條紋總數(shù)TV=4=4=^V-58930

/Im().1

〔3〕復(fù)相干度的模中第二個(gè)因子的變化周期r=l/Av,故

可見度的變化周期〃=三=孚=警=2=60

TOVOA0.1

每個(gè)周期內(nèi)的條紋數(shù)

4.3假定氣體激光器以N個(gè)等強(qiáng)度的縱模振蕩。其歸一化功率

譜密度可表示為

式中，Av是縱模間隔，G為中心頻率。為簡(jiǎn)單起見，假定N為奇數(shù)。

〔1〕證明復(fù)相干度的模為

〔2〕假設(shè)N=3,且0<T《1/AV,畫出|加1與Avr的關(guān)系曲線。

〔1〕證明：復(fù)相干度函數(shù)為

00

/(T)="(u)exp(/2^vr)Jv得

o

所以復(fù)相干度得模為

〔2〕當(dāng)3時(shí)，復(fù)相干度的模為

4.4在例4.7.1所示的楊氏干預(yù)實(shí)驗(yàn)中,假設(shè)縫光源用兩個(gè)相距

為a,強(qiáng)度相等的準(zhǔn)單色點(diǎn)光源代替，試計(jì)算此時(shí)的復(fù)相干系數(shù)。

解：應(yīng)用范西泰特-策尼克定理得

4.5利用傍軸條件計(jì)算被一準(zhǔn)單色點(diǎn)光源照明，距離光源為z

的平面上任意兩點(diǎn)Pi與P2之間的復(fù)相干系數(shù)H(Pi2).

解：設(shè)光源所在平面的坐標(biāo)為a,0;孔平面的坐標(biāo)為x。點(diǎn)

P1與P2的坐標(biāo)為(X11)與(X22)。對(duì)于準(zhǔn)單色點(diǎn)光源，其強(qiáng)度可表為

在傍軸近似下，由范西泰特一策尼克定理得

因?yàn)閨〃(耳,￡)|=1，由點(diǎn)光源發(fā)出的準(zhǔn)單色光是完全相干的，或者說

面上的相干面積趨于無限大。

第六章計(jì)算全息

6.1一個(gè)二維物函數(shù)f(x,y),在空域尺寸為10X10,最高空

間頻率為5線，為了制作一張傅里葉變換全息圖：

(1)確定物面抽樣點(diǎn)總數(shù).

(2)假設(shè)采用羅曼型迂回相位編碼方法，計(jì)算全息圖上抽樣單元

總數(shù)是多少？

⑶假設(shè)采用修正離軸參考光編碼方法，計(jì)算全息圖上抽樣單元

總數(shù)是多少？

(4)兩種編碼方法在全息圖上抽樣單元總數(shù)有何不同？原因是什

么？

解：(1)假定物的空間尺寸與頻寬均是有限的。設(shè)物面的空間尺寸

為Ax,Ay;頻寬為2,2.根據(jù)抽樣定理，抽樣間距6x,6y必須滿足8x

<1/2,8y<1/2才能使物復(fù)原。故抽樣點(diǎn)總N(即空間帶寬積)為

(2)羅曼計(jì)算全息圖的編碼方法是在每一個(gè)抽樣單元里用開

孔的大小與開孔的位置來編碼物光波在該點(diǎn)的振幅與相位。根據(jù)抽樣

定理，在物面上的抽樣單元數(shù)應(yīng)為物面的空間帶寬積，即N=SW=104。

要制作傅里葉變換全息圖，為了不喪失信息，空間帶寬積應(yīng)保持不變,

故在譜面上的抽樣點(diǎn)數(shù)仍應(yīng)為N=IO。.

(3)對(duì)于修正離軸參考光的編碼方法，為滿足離軸的要求，

載頻a應(yīng)滿足a>

為滿足制作全息圖的要求,其抽樣間隔必須滿足1/2,8y<l/2o

因此其抽樣點(diǎn)數(shù)為

(4)兩種編碼方法的抽樣點(diǎn)總數(shù)為2倍關(guān)系，這是因?yàn)?，在羅曼型

編碼中，每一抽樣單元編碼一復(fù)數(shù)；在修正離軸型編碼中，每一抽樣

單元編碼一實(shí)數(shù)。

修正離軸加偏置量的目的是使全息函數(shù)變成實(shí)值非負(fù)函數(shù)，每個(gè)

抽樣單元都是實(shí)的非負(fù)值，因此不存在位置編碼問題，比同時(shí)對(duì)振幅

與相位進(jìn)展編碼的方法簡(jiǎn)便。但由于加了偏置分量，增加了記錄全息

圖的空間帶寬積，因而增加了抽樣點(diǎn)數(shù)。防止了相位編碼是以增加抽

樣點(diǎn)數(shù)為代價(jià)的。

6.2比照光學(xué)離軸全息函數(shù)與修正型離軸全息函數(shù)，說明如何選

擇載頻與制作計(jì)算全息圖的抽樣頻率.

解：設(shè)物的頻寬為(2星,2紇,)

⑴對(duì)于頻寬a的選擇光學(xué)離軸，由圖6.2.5(b)可知，

a>3BV

修正離軸，由圖6.2.5(d)可知，

a>B、

載頻的選擇是為了保證全息函數(shù)在頻域中各構(gòu)造分量不混疊。

(2)對(duì)于制作計(jì)算全息圖時(shí)抽樣頻率的選擇

光學(xué)離軸全息，由圖6.2.5(c)可知：

在x方向的抽樣頻率應(yīng)28紇，即x方向的抽樣間距蜃41/8紇o

在y方向的抽樣頻率應(yīng)>4BV,即X方向的抽樣間距aw1/4Byo

修正離軸全息，由圖6.2.5(e)可知：

在X方向的抽樣頻率應(yīng)N4B、，即X方向的抽樣間距及41/4紇。

在y方向的抽樣頻率應(yīng)>2BV,即X方向的抽樣間距aW1/2B,。

6.3一種類似傅奇型計(jì)算全息圖的方法，稱為黃氏()法，這種方

法在偏置項(xiàng)中參加物函數(shù)本身，所構(gòu)成的全息函數(shù)為

(1)畫出該全息函數(shù)的空間頻率構(gòu)造，說明如何選擇載頻.

(2)畫出黃氏計(jì)算全息圖的空間頻率構(gòu)造，說明如何選擇抽樣載

頻.

解：把全息函數(shù)重寫為

物函數(shù)為f(x,y)=A(x,y)exp["(x,y)]

并且歸一化的，即|4%刈2=1,參考光波R=lo經(jīng)過處理后的

振幅透過率為

其頻譜為

(1)設(shè)物的帶寬為2a,2%，如圖題6.3(a)所示。全息函數(shù)的空間頻

譜構(gòu)造如圖題6.3(b)所示，載頻紇。

(2)黃氏全息圖的空間頻率構(gòu)造如圖題6.3(c)所示，由此可得出：

在x方向的抽樣頻率應(yīng)26從，即x方向的抽樣間距及41/6紇。

在y方向的抽樣頻率應(yīng)＞2B,,即X方向的抽樣間距aw1/2B,。

抽樣點(diǎn)數(shù)即空間帶寬積為N=SW==12xyBB.

oxoyvv

黃氏計(jì)算全息圖的特點(diǎn)：

⑴占用了更大的空間帶寬積(博奇全息圖的空間帶寬積

SW=8盯8出)，不具有降低空間帶寬積的優(yōu)點(diǎn)。

(2)黃氏全息圖具有更高的比照度，可以放松對(duì)顯示器與膠片曝光

顯影精度的要求。

6.4羅曼迂回相位編碼方法有三種衍射孔徑形式，如圖題6.1

所示.利用復(fù)平面上矢量合成的方法解釋，在這三種孔徑形式中，是

如何對(duì)振幅與相位進(jìn)展編碼的.

解：對(duì)于I型與出型，是用A及來編碼振幅A(),用d及來編碼相

位。(x,y),在復(fù)平面上用一個(gè)相幅矢量來表示，如圖題6.4(a).

對(duì)于羅曼E型是用兩個(gè)一樣寬度的矩孔來代替I,皿型中的一個(gè)

矩孔。兩矩孔之間的距離A位是變化的，用這個(gè)變化來編碼振幅A()。

在復(fù)平面上反映為兩個(gè)矢量夾角的變化。兩個(gè)矩孔中心距離抽樣單元

中心的位移量“會(huì)用作相位0(x,y)的編碼。在復(fù)平面上兩矢量的合成方

向即表示了O(x,y)的大小，如圖題6.4(b)所示。

第八章空間濾波

8.1利用阿貝成像原理導(dǎo)出相干照明條件下顯微鏡的最小分辨

距離公式，并同非相干照明下的最小分辨距離公式比擬。

解:顯微鏡是用于觀察微笑物以決定，截止頻率為sin',"。從

體的，可近似看作一個(gè)點(diǎn)，物近幾何上看，近似有sin%笈0/2/。

似位于物鏡的前焦點(diǎn)上。設(shè)物鏡截止頻率的倒數(shù)的倒數(shù)即

直徑為D,焦距為f,如圖8.1為分辨距，即

所示。對(duì)于相干照明，系統(tǒng)的截對(duì)于非相干照明，由幾何光學(xué)可

止頻率由物鏡孔徑的最大孔徑角知其分辨距為

非相干照明時(shí)顯微鏡的分辨率大約為相干照明時(shí)的兩倍。

8.2在4f系統(tǒng)輸入平面放置401的光柵，入射光波長(zhǎng)632.8。

為了使頻譜面上至少能夠獲得±5級(jí)衍射斑，并且相鄰衍射斑間距不

小于2,求透鏡的焦距與直徑。

解：設(shè)光柵寬度比擬大，可近似看成無窮，設(shè)周期為d,透光局

部為a,則其透過率函數(shù)可表為

其頻譜為

即譜點(diǎn)的位置由J=//"=加4決定，即m級(jí)衍射在后焦面上的位置

由下式確定：

相鄰衍射斑之間的間距MTd

由此得焦距f為八牛馬-795

物透明片位于透鏡的前焦面，譜面為后焦面，譜面上的±5級(jí)衍射斑

對(duì)應(yīng)于能通過透鏡的最大空間頻率應(yīng)滿足

于是求得透鏡直徑

8.3觀察相位型物體的所謂中心暗場(chǎng)方法,是在成像透鏡的后焦

面上放一個(gè)細(xì)小的不透明光闌以阻擋非衍射的光。假定通過物體的相

位延遲<<1弧度，求所觀察到的像強(qiáng)度（用物體的相位延遲表示出來）o

解：相位物體的透過率為

其頻譜為?。?〃）=韻｛1+,y）｝=7）+川7）

假設(shè)在譜平面上放置細(xì)小的不透明光闌作為空間濾波器，濾掉零

頻背景分量，則透過的頻譜為

尸《川）=/①《川）

再經(jīng)過一次傅里葉變換（在反演坐標(biāo)系）得嚴(yán)（%為）="。3，%）

強(qiáng)度分布為

因此在像面上得到了正比于物體相位平方分布的光強(qiáng)分布，實(shí)現(xiàn)了將

相位轉(zhuǎn)換為強(qiáng)度分布的目的。不過光強(qiáng)不是相位的線性函數(shù)，這給分

析帶來困難。

8.4當(dāng)策尼克相襯顯微鏡的相移點(diǎn)還有局部吸收,其強(qiáng)度透射率

等于Q（O<a<l）時(shí)，求觀察到的像強(qiáng)度表示式。

解：相位物體的頻譜為

現(xiàn)在用一個(gè)濾波器使零頻減弱，同時(shí)使高頻產(chǎn)生一個(gè)±兀/2的相

移，即濾波器的透過率表達(dá)式為

于是TM（虞〃）=H記力）T記，哨=土）仍（0〃）+/①

像的復(fù)振幅分布為嚴(yán)。3，%）=±/。+/。。3，y3）

像強(qiáng)度分布為

像強(qiáng)度分布與相位分布成線性關(guān)系，易于分析。

8.5用（陰極射線管）記錄一幀圖像透明片，設(shè)掃描點(diǎn)之間的間隔

為0.2,圖像最高空間頻率為10%如欲完全去掉離散掃描點(diǎn)，得到

一幀連續(xù)灰階圖像，空間濾波器的形狀與尺寸應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計(jì)？輸出圖

像的分辨率如何（設(shè)傅立葉變換物鏡的焦距f=1000，入=632⑻。

解：掃描點(diǎn)的表達(dá)式為

其頻譜為

在上式的化簡(jiǎn)中應(yīng)用了公式

由此可見，點(diǎn)狀構(gòu)造的頻譜仍然是點(diǎn)狀構(gòu)造，但點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離不

同。掃描點(diǎn)頻譜出現(xiàn)的位置為

點(diǎn)狀構(gòu)造是高頻，所以采用低通濾波將其濾掉。低通濾波器圓孔半徑

為

能傳遞的最高空間頻率為

即高于51的空間頻率將被濾掉，故輸出圖像的分辨率為5lo

8.6某一相干處理系統(tǒng)的輸入孔徑為30X30的方形，頭一個(gè)變

換透鏡的焦距為100,波長(zhǎng)是632.8。假定頻率平面模片構(gòu)造的精細(xì)

程度可與輸入頻譜相比擬，問此模片在焦平面上的定位必須準(zhǔn)確到何

種程度？

解：考慮到系統(tǒng)孔徑有限，一般用幾何光學(xué)近似，引入光瞳函數(shù)

p(),根據(jù)題意其表達(dá)式為

設(shè)系統(tǒng)的輸入面位于透鏡的前焦面，物透明片的復(fù)振幅分布為

/(再/)，它的頻譜分布為尸《力)，透鏡后焦面上的場(chǎng)分布

式中4=々//,〃=必//。由U/的表達(dá)式可見，頻譜面上能分辨的細(xì)

節(jié)由sinc(30g)sinc(30〃)決定。取一個(gè)方向來看，將函數(shù)由最大降為零

的寬度取為最小分辨單元，即要求滿足30A4=1或30—2/4=1，于是有

因?yàn)轭l譜平面模片也有同樣細(xì)節(jié)，所以對(duì)準(zhǔn)誤差最大也不允許超過它

的一半，約1MH1.

第九章相干光學(xué)處理

9.1參看圖9.1.1,在這種圖像相減方法的編碼過程中，如果使

用的光柵透光局部與不透光局部間距分別為a與b,并且a^bo試

證明圖像與的信息與圖像差的信息分別受到光柵偶數(shù)倍頻與光柵奇

數(shù)倍頻的調(diào)制。

解：如圖題9.3所示，先將t(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)

式中

所以

第一次曝光得

對(duì)于/'(X)是將光柵向x的負(fù)方向移動(dòng)半個(gè)周期即()/2,將它展開

成傅立葉級(jí)數(shù)得

第二次曝光得

即圖像與的信息受到光柵偶數(shù)倍頻的調(diào)制，圖像差的信息受到光柵奇

數(shù)信頻的調(diào)制。

9.2用方法來綜合一個(gè)平年元平面濾波器，如圖9.1(左)所示，

一個(gè)振幅透射率為s()的“信號(hào)”底片緊貼著放在一個(gè)會(huì)聚透鏡的前

面，用照相底片記錄后焦面上的強(qiáng)度，并使顯影后底片的振幅透射率

正比于曝光量。這樣制得的透明片放在圖題9.1(右)的系統(tǒng)中，假定

在下述每種情況下考察輸出平面的適當(dāng)部位，問輸入平面與第一個(gè)透

鏡之間的距離d應(yīng)為多少，才能綜合出：

〔1〕脈沖響應(yīng)為s()的濾波器？

〔2〕脈沖響應(yīng)為s*()的“匹配”濾波器？

解：〔1〕參看圖題9.1左，設(shè)物面坐標(biāo)為x1,y】；膠片坐標(biāo)為X2,

y2o則參考光波在記錄膠片上造成的場(chǎng)分布為

Ur(x2,y2)=Aexp(-j2my2)〔1〕

式中A為常數(shù)，a=6/入為空間頻率。物透明片在記錄膠片上造成

的場(chǎng)分布為

式中S(§,n)為s(x】,yj的頻譜，且§=X2/入f,肥/入f。膠片上的光強(qiáng)分

布為

2

I(x2,y2)^\Ur(x2,y2)+U^x2,y2)\

=A'+。2.修,〃)3+cAS"C，〃)exp一j2兀/+和2+(2)

CAS(g,〃)expjl7i%+%]+也

將曝過光的膠片顯影后制成透明片，使它的復(fù)振幅透過率正比于照射

光的強(qiáng)度，即

f(x2,y2)xI(x2,y2)〔3〕

將制得的透明片作為頻率平面模片，放在圖題9.1右所示的濾波

系統(tǒng)中。要綜合出脈沖響應(yīng)s(x,y)或s*(,),只要考察當(dāng)輸入信號(hào)為

單位脈沖6(x,y)時(shí)，在什么條件下系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為s(x,y)或

s*(,)。

參看右圖，當(dāng)輸入信號(hào)為8(X】，yj時(shí)，在L2的后焦面上形成的

光場(chǎng)復(fù)振幅分布，根據(jù)公式

(——4)(/+/)oO

U(x,y)=c'exp<jkJ卜(X”y。)exp-jkdx.dy。

2b(/-4)+鳳］q(f-d0)+及

-00_

得