四年級奧數(shù)計算經(jīng)典講義

加法原理

,%B,

J考試要求

1.使學生掌握加法原理的基本內(nèi)容；

2.培養(yǎng)學生分類討論問題的能力，了解分類的主要方法和遵循的主要原則.

3.理解標數(shù)法

加法原理的數(shù)學思想主旨在于分類討論問題，教授本講的目的也是為了培養(yǎng)學生分類討論問題的習慣,

鍛煉思維的周全細致.

J知識框架

一、加法原理

在生活中做一件事情的時候常常會有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法。那么，

考慮完成這件事情所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決。

例如：春節(jié)期間康康要從北京去天津看奶奶。他可以乘火車也可以乘長途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次

火車從北京到天津，有四趟長途汽車從北京到天津。那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？

分析這個問題發(fā)現(xiàn)，康康去天津要么乘火車，要么乘長途汽車，有兩大類走法：第一類乘火車，有五

種走法；第二類乘汽車，有四種走法。上面的每一種走法都可以從北京到天津，故有5+4=9種不同的走法。

在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法，在具體做的時候，只要采用一類中的一種方法就

可以完成，并且兩大類方法是互無影響的。那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二

類的方法數(shù)。

一般地，如果完成一件事有K類方法，第一類方法中有E種不同做法，第二類方法中有m2種不同的

做法，……，第K類方法中有mK種不同的做法，則完成這件事共有：N=ml+m2+……mK種不同的方法。

這就是加法原理。

二、加法原理的運用

加法原理運用的范圍：完成一件事的方法分成兒類，每一類中的任何一種方法都能完成任務，這樣的

問題可以使用加法原理解決.我們可以簡記為：“加法分類，類類獨立

分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個適合于它的分類標準，然后在這個標準下進行分類；其次，

分類時要注意滿足兩條基本原則：

①完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類；

②分別屬于不同兩類的兩種方法是不同的方法.

只有滿足這兩條基本原則，才可以保證分類計數(shù)原理計算正確.

-‘重難點

(1)選取合適的分類標準；

(2)標數(shù)法.

二例題精講

一、枚舉法

［例1］從甲地到乙地可以乘坐飛機、火車和輪船，在一天中，從甲地直達乙地有3班飛機,4班火車和3班

輪船,那么一天中甲地到乙地共有多少種不同的走法？

【鞏固】從甲地到乙地，有3條公路和2條鐵路可以直接到達，從甲地到乙地,共有多少條路可走?

【例2】小寶去給小貝買生日禮物，商店里賣的東西中，有不同的玩具8種，不同的課外書20本，不同

的紀念品10種，那么，小寶買一種禮物可以有多少種不同的選法？

【鞏固】有不同的語文書6本，數(shù)學書4本，英語書3本，科學書2本，從中任取一本，共有多少種取法?

【例3］把一元錢換成角幣，有多少種換法？人民幣角幣的面值有五角、二角、一角三種.

【鞏固】一把硬幣全是2分和5分的，這把硬幣一共有1元，問這里可能有多少種不同的情況?

【例4】從1?10中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法?

【鞏固】從1?8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于10的共有多少種取法?

【例5】給定三種重量的祛碼（每種數(shù)量都有足夠多個）3kg,11kg,11kg,將它們組合湊成100僅有

種，不同的方法（每種祛碼至少用一塊。）

【鞏固】用若干個1分、2分、5分的硬幣組成一角錢（不要求每種硬幣都有），共有（）種不同的方法.

［例6］一次，齊王與大將田忌賽馬.每人有四匹馬，分為四等.田忌知道齊王這次比賽馬的出場順序依

次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹馬跑的最快的是齊王的一等馬，接著依次為自

己的一等，齊王的二等，自己的二等，齊王的三等，自己的三等，齊王的四等，自己的四等.田

忌有種方法安排自己的馬的出場順序，保證自己至少能贏兩場比賽.

【鞏固】一個文具店橡皮每塊5角、圓珠筆每支1元、鋼筆每支2元5角.小明要在該店花5元5角購買

兩種文具，他有多少種不同的選擇.

［例7］小明要登上12級臺階，他每一步只能登1級或2級臺階，他登上12級臺階共有多少種不同的登

法？

【鞏固】取用15根火柴，每次只能取1根或者2根火柴，那么取完15根火柴共有多少種不同的取法?

標數(shù)法

【例8】如圖所示，從A到B的最短線路有多少條？

【鞏固】小偉從家到爺爺家經(jīng)過的所有路線如下圖所示，那么，小偉從家到爺爺家有幾條最短路線？

小偉家

爺爺家

［例9］如圖所示，小明家在A地，小學在B地，電影院在C地。

(1)小明從家去小學，走最短的線路，有多少種走法？

(2)小明從家去電影院，走最短的線路，有多少種走法？

A

【例10］下圖是某地街道平面圖，標有0處的道路是不準通行的。問消防車從消防隊到著火點有多少條

最短通路？

著火點

__________

97

消防隊

【鞏固】如圖，某城市的街道由五條東西向馬路和七條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的A處沿最短的

路線走到東北角B出，由于修路，十字路口C不能通過，那么共有多少種不同走法？

B

C

A

'U課堂檢測

【隨練1】從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船

有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？

【隨練2】從1?8中每次取兩個不同的數(shù)相加，和大于11的共有多少種取法?

【隨練3】從A處到B處共有多少條最短路線?

A

J家庭作業(yè)

【作業(yè)1】南京去上?？梢猿嘶疖?、乘飛機、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛機、8班汽車

和4班輪船，那么共有多少種不同的走法？

【作業(yè)2】陽光小學四年級有3個班，各班分別有男生18人、20人、16人.從中任意選一人當升旗手，有

多少種選法？

【作業(yè)3】小剛到書店去買書，從他家到書店最多有幾種最近的走法？

書店

【作業(yè)4】用一個5元紙幣，四個2元紙幣，八個1元紙幣買一張龍年8元郵票，共有多少種付款方式

【作業(yè)5】旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現(xiàn)有紅色、藍色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗表示信

號，最多能表示出多少種不同的信號？

【作業(yè)6】左下圖是某街區(qū)的道路圖，C點和D點正在修路不能通過，那么從A點到B點的最短路線有多少

條？

排列

'J考試要求

1.使學生正確理解排列的意義；

2.了解排列、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；

3.掌握排列的計算公式；

4.會分析與數(shù)字有關的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力；

通過本講的學習，對排列的一些計數(shù)問題進行歸納總結，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等.

J知識框架

一、排列問題

在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構成一列，計算有多少種排法，

就是排列問題.在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關.

一般地，從〃個不同的元素中取出加（加個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從"個不同元素

中取出機個元素的一個排列.

根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同.如

果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排

列順序不同，它們也是不同的排列.

排列的基本問題是計算排列的總個數(shù).

從”個不同的元素中取出團（加4〃）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從〃個不同的元素的排列中取出機

個元素的排列數(shù)，我們把它記做片”.

根據(jù)排列的定義，做一個加元素的排列由"，個步驟完成：

步驟1：從“個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有〃種方法；

步驟2：從剩下的（〃-1）個元素中任取一個元素排在第二位，有（〃-1）種方法；

步驟加：從剩下的個兀素中任取一個兀素排在第加個位置，有〃-（帆-1）=〃-〃7+1（種）方

法；

由乘法原理，從“個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)是〃?(”-的(〃-數(shù)?…?(n-/M+1),即

^=/t(n-l)(rt-2)...(n-/n+l)I這里，m<n,且等號右邊從〃開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,

共有機個因數(shù)相乘.

二、排列數(shù)

一般地，對于帆=〃的情況，排列數(shù)公式變?yōu)樘?="展〃-1)，(〃一2)3-21.

表示從〃個不同元素中取〃個元素排成一列所構成排列的排列數(shù).這種八個排列全部取出的排列，叫做

〃個不同元素的全排列.式子右邊是從"開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,一直乘到1的乘積，記

為疝,讀做〃的階乘，則療還可以寫為:/=〃!,其中〃!=〃?(〃——2).....3-2-1.

1重難點

(3)捆綁法.

(4)插空法.

二例題精講

【例11】計算：(1)廳；⑵斗一砰.

【鞏固】計算：(1)(2)吊一年.

【例12】有4個同學一起去郊游，照相時，必須有一名同學給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況?

(照相時3人站成一排)

【鞏固】4名同學到照相館照相.他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法?

【例1319名同學站成兩排照相，前排4人，后排5人，共有多少種站法?

【例14】丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家福”，5人并排站成一排，奶奶要站在正中間，有多

少種不同的站法？

【鞏固】5個人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同的站法?

【例15】6名小朋友A、B、C、D、E、口站成一排，若A''兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法?

若A、3兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？

【鞏固】將A、B、C、D、E、F、G七位同學在操場排成一列，其中學生8與C必須相鄰.請問共有多少

種不同的排列方法？

【例16】5個同學排成一行照相，其中甲在乙右側(cè)的排法共有種？

【例17】在航海中，船艦常以“旗語”相互聯(lián)系，即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號.如有紅、

黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少

種不同的信號？

【鞏固】有紅、黃、藍三種信號旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號，問共可以組成多

少種不同的信號？

【例18】用1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？

【鞏固】由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？

【例19】用°、1、2、3、4可以組成多少個沒重復數(shù)字的三位數(shù)?

【鞏固】用2、3、5、7、9可以組成多少個沒重復數(shù)字且百位不為3的三位數(shù)?

【例20】用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比20000大且百位數(shù)字不是3的無重復數(shù)字的五位數(shù)?

【鞏固】用0到9十個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687

是第幾個數(shù)？

■課堂檢測

【隨練4】計算：⑴用一片;⑵3成-鼠

【隨練5】有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號，問：共可以表示多少種不同的信

號？

【隨練6】由數(shù)字0,1,3,9可以組成多少個無重復數(shù)字的三位自然數(shù)？

家庭作業(yè)

【作業(yè)7】班集體中選出了5名班委，他們要分別擔任班長，學習委員、生活委員、宣傳委員和體育委員.問:

有多少種不同的分工方式？

【作業(yè)8】由0,2,5,6,7,8組成無重復數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個？

【作業(yè)9】一列往返于北京和上海方向的列車全程?？?4個車站（包括北京和上海），這條鐵路線共需要多少

種不同的車票.

【作業(yè)10】4個男生2個女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果要求2個女生緊挨著排在正中

間有多少種不同的排法？

【作業(yè)11】4男2女6個人站成一排合影留念，要求2個女的緊挨著有多少種不同的排法?

【作業(yè)12】停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一

起，一共有多少種不同的停車方案?

排列

■J考試要求

5.使學生正確理解排列的意義；

6.了解排列、排列數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問題，寫出符合要求的排列；

7.掌握排列的計算公式；

8.會分析與數(shù)字有關的計數(shù)問題，以及與其他專題的綜合運用，培養(yǎng)學生的抽象能力和邏輯思維能力;

通過本講的學習，對排列的一些計數(shù)問題進行歸納總結，并掌握一些排列技巧，如捆綁法等.

'J知識框架

三、排列問題

在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構成一列，計算有多少種排法，

就是排列問題.在排的過程中，不僅與參與排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關.

一般地，從“個不同的元素中取出機（加4〃）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素

中取出m個元素的一個排列.

根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，指的是兩個排列的元素完全相同，并且元素的排列順序也相同.如

果兩個排列中，元素不完全相同，它們是不同的排列；如果兩個排列中，雖然元素完全相同，但元素的排

列順序不同，它們也是不同的排列.

排列的基本問題是計算排列的總個數(shù).

從"個不同的元素中取出，〃個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從〃個不同的元素的排列中取出機

個元素的排列數(shù)，我們把它記做片".

根據(jù)排列的定義，做一個“元素的排列由機個步驟完成：

步驟1：從〃個不同的元素中任取一個元素排在第一位，有"種方法；

步驟2：從剩下的（〃-1）個元素中任取一個元素排在第二位，有（〃-1）種方法；

步驟機：從剩下的［〃-（機-1）］個元素中任取一個元素排在第m個位置，有力-1）=〃-利+1（種）方

法；

由乘法原理，從〃個不同元素中取出，〃個元素的排列數(shù)是〃?(〃-2)?…?(?-/?+1),即

,

^=/t(n-l)(M-2)...(n-/M+l)I這里，m<n,且等號右邊從〃開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,

共有機個因數(shù)相乘.

四、排列數(shù)

一般地，對于，的情況，排列數(shù)公式變?yōu)橐?〃?(〃-1)展"-2)…-3-2.1.

表示從“個不同元素中取〃個元素排成一列所構成排列的排列數(shù).這種〃個排列全部取出的排列，叫做

〃個不同元素的全排列.式子右邊是從“開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,一直乘到1的乘積，記

為加,讀做”的階乘，則談還可以寫為:耳=加，其中〃!=止5-6(〃-2).....3-21.

二重難點

(5)捆綁法.

(6)插空法.

J例題精講

【例21］計算：⑴石；⑵耳-P；.

【鞏固】計算：(1)尸；(2)吊一年.

【例22】幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子(每人只能坐一把)，有多少種不同的坐法?

【鞏固】幼兒園里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少種坐法?

【例23】用0、1、2、3、4可以組成多少個沒重復數(shù)字的三位數(shù)？

【鞏固】一個籃球隊有五名隊員A,B,C,D,E,由于某種原因，E不能做中鋒，而其余4個人可以

分配到五個位置的任何一個上，問一共有多少種不同的站位方法？

【例24】6名小朋友A、B、C、D、E、產(chǎn)站成一排，若A,B兩人必須相鄰，一共有多少種不同的站法?

若A、3兩人不能相鄰，一共有多少種不同的站法？

【鞏固】4個男生2個女生6人站成一排合影留念，有多少種排法？如果要求2個女生緊挨著排在正中間

有多少種不同的排法？

【例25】某小組有12個同學，其中男少先隊員有3人，女少先隊員有4人，全組同學站成一排，要求女

少先隊員都排一起，而男少先隊員不排在一起，這樣的排法有多少種？

【鞏固】學校乒乓球隊一共有4名男生和3名女生.某次比賽后他們站成一排照相，請問:

(1)如果要求男生不能相鄰，一共有多少不同的站法？

(2)如果要求女生都站在一起，一共有多少種不同的站法？

【例26】書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果

同類型的書不要分開，一共有多少種排法？如果只要求童話書和漫畫書不要分開有多少種排法？

【鞏固】四年級三班舉行六一兒童節(jié)聯(lián)歡活動.整個活動由2個舞蹈、2個演唱和3個小品組成.請問:

如果要求同類型的節(jié)目連續(xù)演出，那么共有多少種不同的出場順序？

【例27】8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法?

【鞏固】5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？

【例28】甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲乙兩人之間必須有兩個人，問一共有多少種站法？

【鞏固】甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲乙兩人之間最多有兩個人，問一共有多少種站法?

【例29】甲、乙、丙、丁、戊、己六個人站隊，要求：甲不能站在隊伍左半邊，乙不能站在隊伍右半邊,

丙不能站在隊伍兩端，問一共有多少種站法?

【鞏固】甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八個人站隊，要求：甲不能站在隊伍最靠左的三個位置，乙不

能站在隊伍最靠右的三個位置，丙不能站在隊伍兩端，問一共有多少種站法？

【例30】用2,3,4,5排成四位數(shù)：

(1)共有多少個四位數(shù)？

(2)無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？

(3)無重復數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個？

(4)2在3的左邊的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？

(5)2在千位上的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？

(6)5不在十位、個位上的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？

【鞏固】用數(shù)字0,1，2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的正整數(shù).

⑴能組成多少個五位數(shù)？

⑵能組成多少個正整數(shù)？

⑶能組成多少個六位奇數(shù)？

⑷能組成我少個能被25整除的四位數(shù)？

⑸能組成多少個比201345大的數(shù)？

⑹求三位數(shù)的和.

課堂檢測

【隨練7】10個人走進只有6輛不同顏色碰碰車的游樂場，每輛碰碰車必須且只能坐一個人，那么共有多少種

不同的坐法？

【隨練8】將4、B、C、D、E、尸、G七位同學在操場排成一列，其中學生B與C必須相鄰.請問共有多少種不

同的排列方法？

【隨練9】a,b,c,d,e五個人排成一排，a與人不相鄰，共有多少種不同的排法？

J家庭作業(yè)

【作業(yè)13】班集體中選出了5名班委，他們要分別擔任班長，學習委員、生活委員、宣傳委員和體育委

員.問：有多少種不同的分工方式？

【作業(yè)14】由0,2,5,6,7,8組成無重復數(shù)字的數(shù)，四位數(shù)有多少個?

【作業(yè)15】用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同

的偶數(shù)？

【作業(yè)16】用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復數(shù)字的個位是5的三位數(shù)?

【作業(yè)17】停車站劃出一排12個停車位置，今有8輛不同的車需要停放，若要求剩余的4個空車位連在一

起，一共有多少種不同的停車方案?

【作業(yè)18】書架上有3本故事書，2本作文選和1本漫畫書，全部豎起來排成一排.⑴如果同類的書不分

開，一共有多少種排法？⑵如果同類的書可以分開，一共有多種排法？

【作業(yè)19】由0,2,5,6,7,8組成無重復數(shù)字的數(shù).

⑴四位數(shù)有多少個？

⑵四位數(shù)奇數(shù)有多少個？

⑶四位數(shù)偶數(shù)有多少個？

⑷整數(shù)有多少個？

⑸是5的倍數(shù)的三位數(shù)有多少個？

⑹是25的倍數(shù)的四位數(shù)有多少個？

⑺大于5860的四位數(shù)有多少個？

⑻小于5860的四位數(shù)有多少個？

⑼由小到大排列的四位數(shù)中，5607是第兒個數(shù)？

⑩由小到大排列的四位數(shù)中，第128個數(shù)是多少？

排列組合

,J------------------------------1>----------------------------

■J考試要求

1.了解排列、組合的意義

2.明白排列和組合的聯(lián)系與區(qū)別

3.掌握排列和組合的常用解題方法。

4.會分析排列組合與其他專題的綜合應用，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。

J知識框架

五、排列與組合

在生產(chǎn)生活中，常常用到排列與組合，尤其在計算機研究中。

(-)排列

(1)從〃個不同的元素中取出，"(機4〃)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從"個不同的元素的排列中取

出"個元素的排列數(shù)，我們把它記做片月”=〃(〃-1)("-2)…5-m+D,這里，mW”，且等號

右邊從〃開始，后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,共有旭個因數(shù)相乘.

(2)一般地，對于m="的情況，排列數(shù)公式變?yōu)橐?”.(〃_1)展"-2)…-3-2.T表示從八個不同

元素中取"個元素排成一列所構成排列的排列數(shù).這種加個排列全部取出的排列，叫做"個不同元素

的全排列.式子右邊是從“開始，后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,一直乘到1的乘積，記為加，讀

做〃的階乘，則還可以寫為：P"=n\,其中=.....3-21.

(-)組合

(1)從"個不同元素中取出，〃個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從"個不同元素中取出加個不

同元素的組合數(shù).記作C：.C：=—=+D這個公式就是組合數(shù)公

P；；；??…3-2-1

式.

(2)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：C：=C,7"(/nW〃)。這個公式的直觀意義是：C："表示從"

個元素中取出機個元素組成一組的所有分組方法.CT"表示從〃個元素中取出(〃-〃?)個元素組成一

組的所有分組方法.顯然，從〃個元素中選出m個元素的分組方法恰是從〃個元素中選加個元素剩下

的(〃-機)個元素的分組方法.

例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即C；=C；.

（3）規(guī)定=C"=1.

六、排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：所有的排列都可以看做是先取組合，再做全排列；同樣組合再補充一個階段（排列）可轉(zhuǎn)化為排列

問題。

區(qū)別：從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關，而組合與順序無關.

七'排列組合問題常用解法

（1）捆綁與插空

相鄰問題用捆綁法，將題目中規(guī)定相鄰的若干個元素捆綁成一個組，當做一個元素參與排列；相

離問題用插空法，先將無位置要求的幾個元素全排列，再把要求相離的幾個元素插入上述幾個元素的

空位和兩端。

（2）插板法

插板法一般用來解決求分解一定數(shù)量的無差別物體的方法的總數(shù)，使用插板法一般有三個要

求：①所要分解的物體一般是相同的：②所要分解的物體必須全部分完：③參與分物體的組至少都

分到1個物體，不能有沒分到物體的組出現(xiàn).

在有些題目中，已知條件與上面的三個要求并不一定完全相符，對此應當對已知條件進行適當

的變形，使得它與一般的要求相符，再適用插板法.

使用插板法一般有如下三種類型：

a）w個人分”個東西，要求每個人至少有一個.這個時候我們只需要把所有的東西排成一排，在其中的

（〃-1）個空隙中放上（機-1）個插板，所以分法的數(shù)目為.

b）加個人分〃個東西，要求每個人至少有。個.這個時候，我們先發(fā)給每個人m-i）個，還剩下

個東西，這個時候，我們把剩下的東西按照類型⑴來處理就可以了.所以分法的數(shù)目

為明"）一

c），“個人分”個東西，允許有人沒有分到.這個時候，我們不妨先借來"，個東西，每個人多發(fā)1個，這

樣就和類型⑴一樣了，不過這時候物品總數(shù)變成了（〃+〃?）個，因此分法的數(shù)目為

（3）特殊優(yōu)先法

特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。

（4）分步法

（5）排除法

對于一些限制條件過多的題目，可以運用正難則反的思想先求出所有情況，再減去不符合要求的

情況，求得結果。

（6）構造模型法

一些不易理解的排列組合問題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使

問題容易解決。

(7)分解與合成法

(8)利用對應思想轉(zhuǎn)化法

‘重難點

(7)捆綁與插空.

(8)構造模型法.

U例題精講

應用

【例3114名男生，5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法:

(1)甲不在中間也不在兩端；

⑵甲、乙兩人必須排在兩端；

⑶男、女生分別排在一起；

(4)男女相間.

【鞏固】小新、阿呆等七個同學照像，分別求出在下列條件下有多少種站法?

(1)七個人排成一排；

(2)七個人排成一排，小新必須站在中間.

(3)七個人排成一排,小新、阿呆必須有一人站在中間.

(4)七個人排成一排,小新、阿呆必須都站在兩邊.

(5)七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上.

(6)七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.

(7)七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排.

【例32】一只兔子沿著方格的邊從A到B,規(guī)定上只能往上或者往右走，但是必須經(jīng)過一座獨木橋MN,

這只兔子有多少種不同的走法?

插板法

【例33】10只無差別的橘子放到3個不同的盤子里，允許有的盤子空著.請問一共有多少種不同的放法？

【鞏固】將13個相同的蘋果放到3個不同的盤子里，允許有盤子空著。一共有種不同的放法。

【例34]把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分3個，可以有多少種不同的分法？

【鞏固】三所學校組織一次聯(lián)歡晚會，共演出14個節(jié)目，如果每校至少演出3個節(jié)目，那么這三所學校演

出節(jié)目數(shù)的不同情況共有多少種？

【例35】(1)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天吃完，共有多少種不同吃法？

(2)小明有10塊糖，每天至少吃1塊，8天或8天之內(nèi)吃完，共有多少種吃法?

【鞏固】有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法?

構造模型

【例36】馬路上有編號為1,2,3,……，9九只路燈，現(xiàn)在要關掉其中的三盞，但不能關掉相鄰的兩盞或三盞,

也不能關掉兩端的兩盞，求滿足條件的關燈方案有多少種？

【鞏固】某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況呢？

圓排

【例37】8人圍圓桌聚餐，甲、乙兩人必須相鄰，而乙、丙兩人不得相鄰，有幾種坐法?

【鞏固】5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法?

排除法

【例38】1到1999的自然數(shù)中，有多少個與5678相加時，至少發(fā)生一次進位?

【鞏固】所有三位數(shù)中，與456相加產(chǎn)生進位的數(shù)有多少個?

分類

【例39］有11名外語翻譯人員，其中5名是英語翻譯員，4名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通.從

中找出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中4人翻譯英文，另4人翻譯日文，這兩個小組能同

時工作.問這樣的分配名單共可以開出多少張？

【鞏固】某旅社有導游9人，其中3人只會英語，2人只會日語，其余4個既會英語又會日語.現(xiàn)要從中選6

人，其中3人做英語導游，另外3人做日語導游.則不同的選擇方法有多少種？

【例40］觀察如圖所示的減法算式發(fā)現(xiàn)，得數(shù)175和被減數(shù)571的數(shù)字順序相反。那么，減去396后，使

得數(shù)與被減數(shù)的數(shù)字順序相反的三位被減數(shù)共有個。

571

-396

175

【鞏固】將o?9這十個數(shù)字分別填入下面算式的□內(nèi)，每個數(shù)字只能用一次；那么滿足條件的正確填法共

有種：□+□□+□□□=□□□□

課堂檢測

【隨練10】從1到2004這2004個正整數(shù)中，共有幾個數(shù)與四位數(shù)8866相加時，至少發(fā)生一次進位？

【隨練11]按照中國籃球職業(yè)聯(lián)賽組委會的規(guī)定，各隊隊員的號碼可以選擇的范圍是0~55號，但選擇兩位數(shù)

的號碼時，每位數(shù)字均不能超過5。那么，可供每支球隊選擇的號碼共多少個？

【隨練12】書架上有4本不同的漫畫書，5本不同的童話書，3本不同的故事書，全部豎起排成一排，如果同

類型的書不要分開，一共有多少種排法？如果只要求童話書和漫畫書不要分開有多少種排法？

J家庭作業(yè)

【作業(yè)20】一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目.求：

⑴當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？

⑵當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？

【作業(yè)21】學校新修建的一條道路上有12盞路燈，為了節(jié)省用電而又不影響正常的照明，可以熄滅其中2

盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的2盞燈，那么熄燈的方法共有多少種？

【作業(yè)22】大于2000小于3000的四位數(shù)中數(shù)字和等于9的數(shù)共有多少個?

【作業(yè)23】在三位數(shù)中，至少出現(xiàn)一個6的偶數(shù)有多少個?

【作業(yè)24】一棟12層樓房備有電梯，第二層至第六層電梯不停.在一樓有3人進了電梯，其中至少有一

個要上12樓，則他們到各層的可能情況共有多少種？

【作業(yè)25】在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設備，其余2人既會安裝電腦，又會安

裝音響設備，今選派由6人組成的安裝小組，組內(nèi)安裝電腦要3人，安裝音響設備耍3人，共有

多少種不同的選人方案？

平方差公式、完全平方公式

知識框架

平方差公式：成一占=(d+b)(a—，)

完全平方公式：(a+OF=/+2ab+b2

(a-b)2-a2-2ab+b2

''例題精講

［例41］比比看，看誰算得又快又對。

6x6-5x5=13x13-11x11=752-252=

(6+5)x(6-5)=(13+11)x(13-11)=(75+25)x(75-25)=

［例42］比較下面兩個圖形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么？

【例431請用平方差公式計算下面的題目。

892-112522-322632-372

［例44］202-192+182-172+162-152???+22-12

【鞏固】102-92+82-72+62-52+42-32+22-12

【例45］計算：I2-22+32-42+.??+20052-20062+20072

【鞏固】itM12-22+32-42+52-62+...+172-182+192

【例46］有一串數(shù)1,4,9,16,25,36……它們是按一定規(guī)律排列的，那么其中第1990個數(shù)與第1991

個數(shù)相差多少？

［例47］a、6代表任意數(shù)字，(a+h)x(a-h')=axa-bxb,這個公式在數(shù)學上稱為平方差公式.根據(jù)

公式，你來巧算下列各題吧.

(1)98x102⑵67x73⑶64x28(4)2x29x3x31

【鞏固】運用公式使計算簡便。

1998x2002498x502

[例48]37x37+2x63x37+63x63=

【鞏固】計算：314x31.4+628x68.6+68.6x686=

[例49]1282-2x128x28+28?=

【例50]⑴(31415926『-31415925x31415927=.

(2)12342+87662+2468x8766=

【例51］兩個正方形的周長之和等于32cm,它們的面積之差為48平方厘米，這兩個正方形的邊長是多少？

【鞏固】正方形A的周長比正方形B的周長長96厘米，他們的面積相差960平方厘米，求這兩個正方的

邊長是多少？

【例52］智慧村2012年的總?cè)藬?shù)是一個完全平方數(shù)，2013年增加了101人，結果發(fā)現(xiàn)總?cè)藬?shù)還是一個完

全平方數(shù)。你知道智慧村2013年的總?cè)藬?shù)是多少嗎？

J課堂檢測

【隨練13】20122-2x2012x12+122

【隨練14]2009x2009-2008x2008=

【隨練15】運用公式使計算簡便。

999x100188x92

家庭作業(yè)

【作業(yè)26】填空。

(1)完全平方差公式a?-b2=

(2)完全平方公式(a?+b2)=Aa2-〃)=

【作業(yè)27][2007-(8.5x8.5-1.5xl.5)+10]+160-0.3=.

【作業(yè)28】運用公式使計算簡便.

①9982-4②20022-2003x2001

【作業(yè)29】計算：1002-992+982-972+.??+22-12

【隨練16】運用公式使計算簡便：19982-1997x1999

【作業(yè)30】廣場內(nèi)有一塊邊長為2a米的正方形草坪，經(jīng)統(tǒng)一規(guī)劃后，南北方向要縮短3米，東西方向要

加長3米，則改造后的長方形草坪的面積是多少？（用a表示）

【作業(yè)31】運用公式使計算簡便.

200720072

①②

20072-2008x20062008x2006+1

小數(shù)四則運算

?___________=*

J知識框架

一、加減法中的速算與巧算

速算巧算的核心思想和本質(zhì)：湊整

常用的思想方法：

1、分組湊整法.把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去，或先減去那些與被減數(shù)有

相同尾數(shù)的減數(shù).“補數(shù)”就是兩個數(shù)相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一

個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補數(shù)”.

2、加補湊整法.有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整.

3、數(shù)值原理法.先把加在一起為整十、整百、整千……的數(shù)相加，然后再與其它的數(shù)相加.

4、“基準數(shù)”法，基準當幾個數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準數(shù)”(要注意

把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上)

二、乘法湊整與運算性質(zhì)

思想核心：先把能湊成整十、整百、整千的幾個乘數(shù)結合在一起，最后再與前面的數(shù)相乘，使得運算

簡便。例如：4x25=100,8x125=1000,5x20=100

12345679x9=111111111(去8數(shù)，重點記憶)

7x11x13=1001(三個常用質(zhì)數(shù)的乘積，重點記憶)

理論依據(jù)：乘法交換率：aXb=bXa

乘法結合率：(aXb)Xc=aX(bXc)

乘法分配率：(a+b)Xc=aXc+bXc

積不變規(guī)律：aXb=(aXc)X(b+c)=(a+c)X(bXc)

三、乘、除法混合運算的性質(zhì)

1)商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)乘(或除)以同一個非零數(shù)，其商不變.即：

a+/?=(〃x〃)+(/?x〃)=(〃+/%)+(/?+機)機w0,

2)在連除時，可以交換除數(shù)的位置，商不變.即：a+b+c=a+c+b

3)在乘、除混合運算中，被乘數(shù)、乘數(shù)或除數(shù)可以連同運算符號一起交換位置(即帶著符號搬家).

例如：axb+c=a+cxb=b+cxa

4)在乘、除混合運算中，去掉或添加括號的規(guī)則

去括號情形：①括號前是“X”時，去括號后，括號內(nèi)的乘、除符號不變.即

ax(bxc)=axbxcax(b+c)=axb+c

②括號前是“+”時，去括號后，括號內(nèi)的“X”變?yōu)椤?”，“+”變?yōu)椤癤”.即

a+(bxc)=a+b+ca+(b+c)=a+bxc

添加括號情形：加括號時，括號前是“X”時，原符號不變；括號前是“小”時，原符號“X”

一，一，?axhxc=ax(bxc)axb+c=ax(b+c)

變?yōu)?，?，，，變?yōu)椤癤".即\'；

a+b+c=a+(bxc)a+b義c=a+(b+c)

5)兩個數(shù)之積除以兩個數(shù)之積，可以分別相除后再相乘.即

(axb)+(cxd)=(a+c)x(b+d)=(a+d)x(Z?+c)

J例題精講

[例1]91.5+88.8+90.2+270.4+89.6+186.7+91.8

【鞏固】2006+200.6+20.06+2.006+994+99.4+9.94+0.994=

【例2］計算56.43+12.96+13.57-4.33-8.96-5.67

【鞏固】3.17+7.48-2.38+0.53-3.48-1.62+5.3

【例3］同學們，你們有什么好辦法又快又準的算出下面各題的答案？把你的好方法講一講!

0.9+0.99+0.999+0.9999+0.99999

(2)1.996+19.97+199.8

(3)0.7+9.7+99.7+???+999999999.7

【鞏固】請你認真計算下面兩道題看誰算得最準確

(1)9.996+29.98+169.9+3999.5

(2)89+899+8999+89999+899999

【例4】(123456789.987654321+234567891.198765432+…+912345678.876543219)+9

【鞏固】325.24+425.24+625.24+925.24+525.24

［例5］計算：2.125x7.5x32

【鞏固】計算：0.125x0.25x0.5x64

【例6］己知1.08+1.2+2.3=10.8+匚I,其中口表示的數(shù)是.

【鞏固】2x0.3x5x7x1.1x1.3x1.7x1.9+3.8+0.51+6.5+7.7

【例7】計算：200.9x20.08-200.8x20.07

【鞏固】計算：199.9x19.98-199.8x19.97

【例8］計算：20.09x31.5+2.009x317+200.9x3.68=

【鞏固】計算：1999x3.14+199.9x31.4+19.99x314.

［例9］計算：6.25x8.27x16+3.75x0.827x8

【鞏固】計算：10.37x3.4+1.7x19.26=

【例10】計算：20.09x62+200.9x3.9-7x2.87=.

【鞏固】計算：2.89x47+1.53-1.4x1.1+24x0.11+288x0.53-0.1=.

【例11】計算：223x7.5+22.3x12.5+230-4-0.7x2.5+1=.

【鞏固】計算：19.98x37+199.8x2.3+9.99x80

課堂檢測

【隨練1】計算1+0.99-0.98-0.97+0.96+0.95-0.94-0.93+…+0.04+0.03-0.02-0.01

【隨練2】計算：(1)8.1x1.3-8^1.3+1.9x1.3+11.9^1.3；⑵2003x2001+111+2003*73+37

【隨練3】計算：379x0.00038+159x0.00621+3.79x0.121

【隨練4】計算：51.2x8.1+11x9.25+537x0.19

家庭作業(yè)

【作業(yè)1】計算

0.0625+0.125+0.1875+0.25+0.3125+0.375+0.4375+0.5+0.5625+0.625+0.6875+

0.75+0.8125+0.875+0.9375

【作業(yè)2】124.68+324.68+524.68+724.68+924.68

【作業(yè)3】計算：2.009X43+20.09X2.9+200.9X0.28=.

【作業(yè)4】1.25x17.6+36+0.8+264x125=

【作業(yè)5】計算：12.5+3.6—7+9+83+3.6

【作業(yè)6】計算78.16x1.45+3.14x21.84+169x0.7816

小數(shù)四則運算

-J知識框架

一、加減法中的速算與巧算

速算巧算的核心思想和本質(zhì)：湊整

常用的思想方法：

2、分組湊整法.把幾個互為“補數(shù)”的減數(shù)先加起來，再從被減數(shù)中減去，或先減去那些與被減數(shù)有

相同尾數(shù)的減數(shù).“補數(shù)”就是兩個數(shù)相加，如果恰好湊成整十、整百、整千……，就把其中的一

個數(shù)叫做另一個數(shù)的“補數(shù)”.

2、加補湊整法.有些算式中直接湊整不明顯，這時可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整.

3、數(shù)值原理法.先把加在一起為整十、整百、整千……的數(shù)相加，然后再與其它的數(shù)相加.

4、“基準數(shù)”法，基準當幾個數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時，選這個整數(shù)為“基準數(shù)”（要注意

把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上）

二、乘法湊整與運算性質(zhì)

思想核心：先把能湊成整十、整百、整千的兒個乘數(shù)結合在一起，最后再與前面的數(shù)相乘，使得運算

簡便。例如：4x25=100,8x125=1000,5x20=100

12345679x9=111111111（去8數(shù)，重點記憶）

7x11*13=1001（三個常用質(zhì)數(shù)的乘積，重點記憶）

理論依據(jù)：乘法交換率：aXb=bXa

乘法結合率：（aXb）Xc=aX（bXc）

乘法分配率：（a+b）Xc=aXc+bXc

積不變規(guī)律：aXb=（aXc）X（b+c）=（a+c）X（bXc）

三、乘、除法混合運算的性質(zhì)

6）商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)乘（或除）以同一個非零數(shù)，其商不變.即：

7）在連除時，可以交換除數(shù)的位置，商不變.即：a+b+c=mb

8）在乘、除混合運算中，被乘數(shù)、乘數(shù)或除數(shù)可以連同運算符號一起交換位置（