向量的線性表示與坐標(biāo)運(yùn)算

向量的線性表示與坐標(biāo)運(yùn)算匯報(bào)人：XX2024-01-262023XXREPORTING向量基本概念與性質(zhì)坐標(biāo)系中向量表示法向量線性組合與線性表示矩陣與向量乘法運(yùn)算向量空間與子空間概念總結(jié)回顧與拓展延伸目錄CATALOGUE2023PART01向量基本概念與性質(zhì)2023REPORTING向量定義及表示方法向量定義向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。向量表示方法向量可以用小寫(xiě)字母加粗表示，如a、b、c等，也可以用表示起點(diǎn)和終點(diǎn)的兩個(gè)大寫(xiě)字母表示，如AB、CD等，其中起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后。向量加法運(yùn)算規(guī)則向量加法滿足平行四邊形法則或三角形法則。設(shè)兩個(gè)向量a與b不共線，則以a、b為鄰邊作平行四邊形，這兩個(gè)鄰邊之間的對(duì)角線就代表a+b。若a、b共線，則向量a+b的方向與a、b相同，大小等于二者大小之和。向量數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的模等于|λ|與|a|的積，方向與a相同（當(dāng)λ>0時(shí)），或與a相反（當(dāng)λ<0時(shí)）。向量加法與數(shù)乘運(yùn)算規(guī)則若向量a與向量b共線，則存在實(shí)數(shù)λ使得a=λb，或者兩向量對(duì)應(yīng)的分量成比例。若向量a與向量b垂直，則它們的點(diǎn)積為零，即a·b=0。向量共線、垂直條件向量垂直條件向量共線條件向量的模長(zhǎng)（或稱為向量的長(zhǎng)度）是一個(gè)標(biāo)量，表示向量的大小。向量模長(zhǎng)定義對(duì)于二維向量a=(x,y)，其模長(zhǎng)|a|的計(jì)算公式為|a|=√(x2+y2)。對(duì)于三維向量a=(x,y,z)，其模長(zhǎng)|a|的計(jì)算公式為|a|=√(x2+y2+z2)。向量模長(zhǎng)計(jì)算公式向量模長(zhǎng)計(jì)算公式PART02坐標(biāo)系中向量表示法2023REPORTING平面直角坐標(biāo)系由兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸構(gòu)成，分別稱為x軸和y軸。在平面直角坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P都可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)來(lái)表示，稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)。平面直角坐標(biāo)系中的向量可以用有向線段來(lái)表示，起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)為向量所表示的點(diǎn)。平面直角坐標(biāo)系簡(jiǎn)介空間直角坐標(biāo)系由三條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸構(gòu)成，分別稱為x軸、y軸和z軸。在空間直角坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P都可以用一組有序?qū)崝?shù)(x,y,z)來(lái)表示，稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)?？臻g直角坐標(biāo)系中的向量可以用有向線段來(lái)表示，起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)為向量所表示的點(diǎn)?？臻g直角坐標(biāo)系簡(jiǎn)介在平面直角坐標(biāo)系中，向量可以用一對(duì)有序?qū)崝?shù)(a,b)來(lái)表示，其中a表示向量在x軸上的投影長(zhǎng)度，b表示向量在y軸上的投影長(zhǎng)度。在空間直角坐標(biāo)系中，向量可以用一組有序?qū)崝?shù)(a,b,c)來(lái)表示，其中a、b、c分別表示向量在x軸、y軸和z軸上的投影長(zhǎng)度。向量的坐標(biāo)表示法具有唯一性，即一個(gè)向量對(duì)應(yīng)一組唯一的坐標(biāo)。向量在坐標(biāo)系中表示方法0102向量的加法運(yùn)算設(shè)向量A的坐標(biāo)為(a1,a2)，向量B的坐標(biāo)為(b1,b2)，則向量A與向量B的和向量C的坐標(biāo)為(a1+b1,a2+b2)。向量的減法運(yùn)算設(shè)向量A的坐標(biāo)為(a1,a2)，向量B的坐標(biāo)為(b1,b2)，則向量A與向量B的差向量D的坐標(biāo)為(a1-b1,a2-b2)。向量的數(shù)乘運(yùn)算設(shè)向量A的坐標(biāo)為(a1,a2)，實(shí)數(shù)k為標(biāo)量，則k與向量A的數(shù)乘結(jié)果向量E的坐標(biāo)為(k*a1,k*a2)。向量的點(diǎn)積運(yùn)算設(shè)向量A的坐標(biāo)為(a1,a2)，向量B的坐標(biāo)為(b1,b2)，則向量A與向量B的點(diǎn)積為一個(gè)標(biāo)量，其值為a1*b1+a2*b2。向量的叉積運(yùn)算設(shè)向量A的坐標(biāo)為(a1,a2,a3)，向量B的坐標(biāo)為(b1,b2,b3)，則向量A與向量B的叉積結(jié)果向量C的坐標(biāo)為(c1,c2,c3)，其中c1=a2*b3-a3*b2，c2=a3*b1-a1*b3，c3=a1*b2-a2*b1。030405向量坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)則PART03向量線性組合與線性表示2023REPORTING向量組的兩個(gè)線性組合的和或差仍是該向量組的線性組合。向量組中任一向量的倍數(shù)仍是該向量組的線性組合。零向量是任意向量組的線性組合，即$0=0a_1+0a_2+ldots+0a_m$。線性組合定義：對(duì)于向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$和標(biāo)量$k_1,k_2,ldots,k_m$，稱向量$b=k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m$為向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$的一個(gè)線性組合。線性組合性質(zhì)線性組合定義及性質(zhì)線性表示定理向量$b$能由向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性表示的充分必要條件是存在一組數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$，使得$b=k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m$。證明必要性顯然，充分性可通過(guò)構(gòu)造法或反證法證明。線性表示定理及其證明線性相關(guān)定義如果存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$，使得$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m=0$，則稱向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性相關(guān)。線性無(wú)關(guān)定義如果只有當(dāng)$k_1=k_2=ldots=k_m=0$時(shí)，才有$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m=0$，則稱向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性無(wú)關(guān)。線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)概念通過(guò)直觀觀察向量組是否共線或共面來(lái)判斷其線性相關(guān)性。觀察法定義法定理法根據(jù)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義，通過(guò)計(jì)算判斷是否存在不全為零的數(shù)使得向量組線性相關(guān)。利用一些已知的定理或性質(zhì)來(lái)判斷向量組的線性相關(guān)性，如向量空間基的性質(zhì)、矩陣的秩等。030201判斷向量組線性相關(guān)性方法PART04矩陣與向量乘法運(yùn)算2023REPORTING0102矩陣乘法定義設(shè)A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則A與B的乘積C為m×p矩陣，記作C=AB。C的第i行第j列元素cij等于A的第i行元素與B的第j列元素對(duì)應(yīng)相乘后之和。結(jié)合律(AB)C=A(BC)分配律(A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB數(shù)乘結(jié)合律k(AB)=(kA)B=A(kB)單位矩陣與任何同階方陣…IE=EI=I030405矩陣乘法定義及性質(zhì)矩陣乘法在向量變換中應(yīng)用通過(guò)矩陣乘法，可以實(shí)現(xiàn)向量的線性變換，如旋轉(zhuǎn)、縮放、平移等。向量線性變換在不同坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換向量時(shí)，需要用到矩陣乘法。例如，將笛卡爾坐標(biāo)系中的點(diǎn)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)系中的點(diǎn)。向量坐標(biāo)變換VS設(shè)A、B、C為任意可乘矩陣，則有(AB)C=A(BC)。這一性質(zhì)在矩陣運(yùn)算中非常重要，它保證了矩陣乘法的連貫性和一致性。分配律驗(yàn)證設(shè)A、B、C為任意可乘矩陣，且存在數(shù)與矩陣的乘法，則有(A+B)C=AC+BC和C(A+B)=CA+CB。分配律在矩陣運(yùn)算中同樣具有重要地位，它使得我們可以靈活地進(jìn)行矩陣的拆分和組合。結(jié)合律驗(yàn)證矩陣乘法滿足結(jié)合律和分配律對(duì)角矩陣與任意同階方陣相乘時(shí)，只需將對(duì)角線上的元素與對(duì)應(yīng)方陣的元素相乘即可。這大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。對(duì)角矩陣乘法稀疏矩陣中大部分元素為零，因此在進(jìn)行乘法運(yùn)算時(shí)可以采用特殊算法以減少計(jì)算量。例如，只計(jì)算非零元素與對(duì)應(yīng)位置的乘積并累加。稀疏矩陣乘法對(duì)于大型矩陣，可以將其劃分為若干個(gè)子矩陣（塊），然后分別進(jìn)行塊間乘法運(yùn)算。這種方法可以降低計(jì)算復(fù)雜度并提高計(jì)算效率。分塊矩陣乘法特殊矩陣乘法技巧PART05向量空間與子空間概念2023REPORTING一個(gè)非空集合V，對(duì)于數(shù)域P中的加法和數(shù)量乘法滿足八條性質(zhì)，則稱V是數(shù)域P上的一個(gè)線性空間或向量空間。向量空間具有加法封閉性、加法結(jié)合律、加法交換律、零元存在性、負(fù)元存在性、數(shù)量乘法封閉性、數(shù)量乘法結(jié)合律、數(shù)量乘法對(duì)向量加法的分配律、數(shù)量乘法對(duì)數(shù)的乘法的分配律等性質(zhì)。向量空間定義向量空間性質(zhì)向量空間定義及性質(zhì)設(shè)W是數(shù)域P上的線性空間V的一個(gè)非空子集，若W對(duì)于V中的加法和數(shù)量乘法也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間，則稱W是V的一個(gè)線性子空間或子空間。子空間定義子空間具有加法封閉性、數(shù)量乘法封閉性、零元存在性、負(fù)元存在性、加法結(jié)合律、加法交換律、數(shù)量乘法結(jié)合律、數(shù)量乘法對(duì)向量加法的分配律等性質(zhì)。子空間性質(zhì)子空間定義及性質(zhì)基設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，如果V中存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量a1,a2,...,an，使得V中任一向量a都可以由它們線性表示，則稱向量組a1,a2,...,an是V的一個(gè)基。維數(shù)向量空間的基所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量空間的維數(shù)。秩矩陣的秩等于其列向量組的秩，也等于其行向量組的秩?；?、維數(shù)和秩概念判斷一個(gè)子集是否為子空間，需要驗(yàn)證該子集是否滿足向量空間的定義和性質(zhì)，特別是加法和數(shù)量乘法的封閉性。常見(jiàn)的判斷方法包括：驗(yàn)證零向量是否屬于該子集；驗(yàn)證該子集中任意兩個(gè)向量的和是否仍屬于該子集；驗(yàn)證該子集中任意向量與任意標(biāo)量的乘積是否仍屬于該子集。判斷子空間方法PART06總結(jié)回顧與拓展延伸2023REPORTING向量的線性表示向量可以由其他向量的線性組合來(lái)表示，即存在一個(gè)系數(shù)矩陣使得向量等式成立。向量的坐標(biāo)運(yùn)算向量的加、減、數(shù)乘和點(diǎn)積等運(yùn)算都可以通過(guò)向量的坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行。矩陣與向量的乘法矩陣與向量的乘法可以通過(guò)矩陣的列向量或行向量與向量的點(diǎn)積來(lái)實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧030201例題1已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，求向量a+b和向量a-b。例題3已知向量a和b的點(diǎn)積為0