初中數(shù)學(xué)-5.第四節(jié) 正方形

第五章四邊形第四節(jié)正方形(8年7考，考則1～3道，3～7分)考點(diǎn)特訓(xùn)營(yíng)目錄玩轉(zhuǎn)廣東8年中考真題教材改編題

考點(diǎn)特訓(xùn)營(yíng)【對(duì)接教材】人教：八下第十八章P58－P60

北師：九上第一章P20－P25【課標(biāo)要求】理解正方形的概念，以及平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系；探索并證明正方形的性質(zhì)定理及判定定理．有一個(gè)角是直角的菱形對(duì)角線互相垂直的矩形有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角判定平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關(guān)系面積定義對(duì)角線相等的菱形有一組鄰邊相等的矩形對(duì)角線垂直平分且相等的四邊形正方形性質(zhì)角對(duì)角線邊對(duì)稱性邊性質(zhì)考點(diǎn)精講對(duì)角線定義：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形四條邊都相等對(duì)邊平行角：四個(gè)角都是直角對(duì)角線相等且互相___________

對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)稱性：既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，有4條對(duì)稱軸，對(duì)稱中心是兩條

的交點(diǎn)垂直平分對(duì)角線正方形返回思維導(dǎo)圖判定（北師獨(dú)有）1.有一組鄰邊相等、并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形（定義）2.有一組鄰邊相等的矩形是正方形3.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形4.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形5.對(duì)角線相等的菱形是正方形面積：S＝a2（a表示正方形邊長(zhǎng)）＝

（m表示對(duì)角線的長(zhǎng)）正方形返回思維導(dǎo)圖平行四邊形、矩形、菱形和正方形之間的關(guān)系：相等90°90°相等返回思維導(dǎo)圖課堂小測(cè)1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是1，它的對(duì)角線AC的長(zhǎng)為(

)A.1

B.2

C.

D.2.在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列條件能使這個(gè)四邊形是正方形的是(

)A.∠D＝90°B.BC＝CD C.AB＝CD D.AC＝BD第1題圖CB3.要使菱形ABCD成為正方形，需要添加的條件可以是(

)A.AB＝CDB.AD＝BC

C.AB＝BCD.AC＝BD4.小華在整理平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)它們的對(duì)角線都具有的同一性質(zhì)是(

)A.相等

B．互相垂直

C.互相平分

D.平分一組對(duì)角5.已知正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2，則它的面積為_(kāi)_______．DC46.如圖，M是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且MC＝MD＝AD，則∠AMB的度數(shù)為_(kāi)_______．第6題圖150°重難點(diǎn)突破例如圖①，已知四邊形ABCD為平行四邊形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.圖①(1)若AB＝BC，要使?ABCD為正方形，則可添加的條件為_(kāi)_____________________________________；(2)若∠ABC＝90°，要使?ABCD為正方形，則可添加的條件為_(kāi)_____________________________________；∠ABC＝90°(或AC＝BD)(答案不唯一)AB＝BC(或AC⊥BD)(答案不唯一)(3)如圖②，若OA＝OB，OA⊥OB，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE分別交BD、CD于點(diǎn)F、G.圖②①證明：四邊形ABCD是正方形；

①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，OA⊥OB∴四邊形ABCD是菱形．∵OA＝OB，∴AC＝BD.∴四邊形ABCD是正方形；判定正方形所用的方法是_______________________________；對(duì)角線相等的菱形是正方形②下列結(jié)論中，不正確的是(

)A.BD⊥DE

B.G是CD的中點(diǎn)C.S△BDE

＝S?ABCD

D.AE平分∠BED③若S△DFG＝2，求?ABCD的面積；D圖②由①知四邊形ABCD是正方形，由②知G是CD的中點(diǎn)，∴AB∥DG，DG＝

CD.∴△DFG∽△BFA.∵S△DFG＝2，∴S△AFB＝8，S△ADF＝4.∴S?ABCD＝2(S△AFB＋S△AFD)＝24；④連接CF，若AB＝6，求CF的長(zhǎng)．由①知四邊形ABCD是正方形，∠DCE＝90°，又∵BC＝CE，AB＝6，∴CD＝CE＝AD＝6.∴DG＝CG＝3.由勾股定理可得AG＝EG＝3，∵AD∥BE，且AD＝

BE，∴△AFD∽△EFB.圖②設(shè)FG＝x，可得由③知AF＝2FG，∴AF＝由正方形的軸對(duì)稱性可得CF＝AF＝2玩轉(zhuǎn)廣東8年中考真題與正方形性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算（8年7考）1.(2016廣東5題3分)如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊的正方形EFGH的周長(zhǎng)為(

)A.

B.2

C.＋1

D.2＋1第1題圖B命題點(diǎn)2.(2017廣東10題3分)如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，DE與AC相交于點(diǎn)F，連接BF，下列結(jié)論：①S△ABF＝S△ADF；②S△CDF＝4S△CEF；③S△ADF＝2S△CEF；④S△ADF＝2S△CDF，其中正確的是(

)A.①③B.②③C.①④D.②④第2題圖C3.(2019廣東10題3分)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，延長(zhǎng)CB至E使EB＝2，以EB為邊在上方作正方形EFGB，延長(zhǎng)FG交DC于點(diǎn)M，連接AM、AF，H為AD的中點(diǎn)，連接FH分別與AB、AM交于點(diǎn)N、K.則下列結(jié)論：①△ANH≌△GNF；②∠AFN＝∠HFG；③FN＝2NK；④S△AFN∶S△ADM＝1∶4.其中正確的結(jié)論有(

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)第3題圖C4.(2015廣東21題7分)如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG.(1)求證：△ABG≌△AFG；(2)求BG的長(zhǎng)．第4題圖∴△ABG≌△AFG(HL)；(1)證明：由折疊的性質(zhì)可得AD＝AF，∠ADE＝∠AFE＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴AB＝AF，∠ABG＝∠AFE＝∠AFG＝90°，在Rt△ABG和Rt△AFG中，(2)解：由△ABG≌△AFG，得BG＝FG，由折疊的性質(zhì)可知ED＝EF＝3，設(shè)BG＝FG＝x，則CG＝6－x，EG＝FG＋EF＝FG＋DE＝x＋3，在Rt△CEG中，由勾股定理可得，EG2－CG2＝CE2，∴(x＋3)2－(6－x)2＝32,解得x＝2，即BG的長(zhǎng)為2.5.(2019深圳15題4分)如圖，在正方形ABCD中，BE＝1，將BC沿CE翻折，使B點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在對(duì)角線AC上，將AD沿AF翻折，使D點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在對(duì)角線AC上，求EF＝________．拓展訓(xùn)練第5題圖6.(2019廣州16題3分)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A，B重合)，∠DAM＝45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF＝BE，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC，EF，EG.則下列結(jié)論：①∠ECF＝45°；②△AEG的周長(zhǎng)為(1＋

)a；③BE2＋DG2＝EG2；④△EAF的面積的最大值是

a2.其中正確的結(jié)論是________(填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào))．第6題圖①④教材改編題教材母題1.(人教八下P68復(fù)習(xí)題18第12題)如圖，過(guò)?ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交AB，BC，CD，DA于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE.試判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由．第1題圖又∵∠HOA＝∠FOC，∴△HAO≌△FCO(ASA)．∴HO＝FO.同理可證△EAO≌△GCO，∴EO＝GO.∴四邊形EFGH是平行四邊形．又∵HF⊥GE，∴四邊形EFGH是菱形．解：四邊形EFGH是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠HAO＝∠FCO.∵點(diǎn)O為AC中點(diǎn)，∴AO＝CO.對(duì)接中考2.(2019玉林)如圖，在正方形ABCD中，分別過(guò)頂點(diǎn)B，D作BE∥DF交對(duì)角線AC所在直線于E，F(xiàn)點(diǎn)，并分別延長(zhǎng)EB，F(xiàn)D到點(diǎn)H，G，使BH＝DG，連接EG，F(xiàn)H.(1)求證：四邊形EHFG是平行四邊形；(2)已知：AB＝2，EB＝4，tan∠GEH＝2，求四邊形EHFG的周長(zhǎng)．第2題圖∵EH∥GF，∴∠DFC＝∠BEA，∴△DFC≌△BEA(AAS)，∴DF＝BE.∵BH＝DG，∴HE＝GF.∵HE∥GF，∴四邊形EHFG是平行四邊形；(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAC＝∠DCA＝45°，∴∠EAB＝∠FCD＝135°.(2)解：如解圖，連接BD交AC于O，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BE于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥BE于N.∵四邊形EHFG是平行四邊形，∴四邊形GNMD是矩形，∴GN＝DM，GD＝MN.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，DO＝BO＝AO.∵AB＝2，∴BO＝2，BD＝AC＝4，∴cos∠OBE＝

，∴∠OBE＝60°，第2題解圖∴DM＝BD·sin∠DBM＝4×