八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)手冊答案解析

初二數(shù)學(xué)(八上創(chuàng)新教育實(shí)驗(yàn)手冊

參考答案〔蘇科版

第一章軸對(duì)稱圖形

1.1軸對(duì)稱與軸對(duì)稱圖形

［實(shí)踐與探索］

例1請(qǐng)觀察26個(gè)大寫英文字母,寫出其中成軸對(duì)稱的字母.

解：成軸對(duì)稱的字母有：A、B、C、D、E、H、/、K、M、0、T、U、V、W、X、

Y.

注意：字母"N、S、Z”也具有對(duì)稱的特點(diǎn)，但它們不是軸對(duì)稱圖形.

例2國旗是一個(gè)國家的象征，觀察圖中的國旗，說說哪些是軸對(duì)稱圖形,并找出

它們的對(duì)稱軸.

(略

［訓(xùn)練與提高］

一、選擇題：

1.A2.D3.B4.A5.A

二、填空題：

6.(1(2(5(6

7.2,3,1,48.10:21

三、解答題：

9.如圖：

10.長方形、正方形、正五邊形

［拓展與延伸］

1.13比較獨(dú)特，有無數(shù)條對(duì)稱軸

2-d6

1.2軸對(duì)稱的性質(zhì)(1

［實(shí)踐與探索］

例1已知△ABC和是軸對(duì)稱圖形，畫出它們的對(duì)稱軸.

圖

解：連接441,畫出A4i的垂直平分線L,直線L就是△ABC和△4BiG的對(duì)稱

軸.

回顧與反思連接軸對(duì)稱圖形的任一組對(duì)稱點(diǎn),再畫對(duì)稱點(diǎn)所連接線段的垂

直平分線，就得該圖形的對(duì)稱軸.

例2如圖用針扎重疊的紙得到關(guān)于L對(duì)稱的兩個(gè)圖案，并從中找出兩對(duì)對(duì)

稱點(diǎn)、兩條對(duì)稱線段.

解：可標(biāo)注不同的對(duì)稱點(diǎn).例如：A與A'是對(duì)稱點(diǎn),8與8'是對(duì)稱點(diǎn).

對(duì)稱線段有AB與A'B',CD與C'。'等.

回顧與反思研究對(duì)稱點(diǎn)是研究對(duì)稱圖形的基礎(chǔ)，一般先研究對(duì)稱點(diǎn)，再研究對(duì)稱

線段,這能更清楚地了解軸對(duì)稱的性質(zhì).

［訓(xùn)練與提高］

一、選擇題：

1.B2.D3.B4.A

二、填空題:

5.軸對(duì)稱,3條6.略7.8100768.AB=CDBE=DENB=ND

三、解答題:

9.2,4,510.略

［拓展與延伸］

1.如圖：

2.如圖：

［實(shí)踐與探索］

例1畫出圖1.2.3中4ABC關(guān)于直線L的對(duì)稱圖形.

解：在圖（1和圖1.土烏巴笏制畫出點(diǎn)A、B、。關(guān)天事之"對(duì)稱點(diǎn)A1、

B1和C,，然點(diǎn)隼接A缸郊^GA一則^A,B,C,就是爭娘對(duì)稱的

回顧與反思（1如果圖形是由直線、線段崎射繆且成時(shí)，那么在畫出它關(guān)于某一

條直線對(duì)稱的圖形時(shí)，只要畫出圖形中的特殊點(diǎn)（如線段的端點(diǎn)、角的頂點(diǎn)等的

對(duì)稱點(diǎn)，然后連接對(duì)稱點(diǎn)，就可以畫出關(guān)于這條直線的對(duì)稱圖形；

（2對(duì)稱軸上的點(diǎn)（如圖（1中的點(diǎn)民其對(duì)稱點(diǎn)就是它本身.

例2問題1：如圖1.2.4,在一條筆直的河兩岸各有一個(gè)居民點(diǎn)A和B,為方便

往來，必須在河上架橋，在河的什么位置架橋,才能使A和B兩地的居民走的路最

短？

問題2：如圖1.2.5,在一條河的同岸有兩個(gè)居民點(diǎn)A和8,現(xiàn)擬在岸上修建一

個(gè)碼頭，問碼頭修在何處,才能使碼頭到A和8兩地的總長最短？

問題1和問題2之間有鞅系嗎？能從前一個(gè)問題受到居發(fā)來解決這個(gè)問題嗎？

B.

探索：對(duì)問題1.顯然只要連接AB.A3旦4的卒點(diǎn)就星所屢找的點(diǎn).

對(duì)問題2,即要在直線a上找一點(diǎn)C,使AC+BC最小.

分析：我們用“翻折2y——軸對(duì)稱的方法.隨j點(diǎn)6：

（1作點(diǎn)A關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)A'；

12連結(jié)48交。于點(diǎn)C,點(diǎn)。就是所求作的點(diǎn).

理由：如圖，如果C1是直線a上異于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連AC'、BC、A'C,則由于A、

A'關(guān)于直線a對(duì)稱,所以有

/B

AC=AC,AC=AC.4*、、Z：

所以AC+BC=AC+BC>AB=AC+BC=AC+BC.彳多=“

這說明，只有C點(diǎn)能使AC+BC最小.”囪

圖

［訓(xùn)練與提高］

一、選擇題：

1.C2.C3.84.A

二、填空題：

5.（1等腰三角形（2矩形（3等邊三角形（4正方形（5五角星（6圓

6.不對(duì)稱、不對(duì)稱7.5個(gè)

三、解答題：

8.略9.略

10.畫圖略11.如圖

12.畫出點(diǎn)A關(guān)于直線LL的交點(diǎn)即為所求?？奎c(diǎn).

［拓展與延伸］

1.圖略

2.圖略

1.3設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖形

［實(shí)踐與探索］

例1剪紙，千百年來在民間時(shí)代流傳，給我們的生活帶來無限的美麗！動(dòng)手學(xué)一

學(xué)：

觀察一下,圖中最后的展開圖是一個(gè)軸對(duì)稱圖形嗎？它有幾條對(duì)稱軸？

4.如圖:

5.略6.如日本、韓國、等7.略

8.圖略

［拓展與延伸］

1.圖略

2.圖略，答案不唯一

1.4線段、角的軸對(duì)稱性<1>

［實(shí)踐與探索］

例1如圖1.4.1,在△ABC中,已知邊A3、BC的垂直平分線相交于點(diǎn)P.

<1>你知道點(diǎn)「與^ABC的三頂點(diǎn)有什么關(guān)系？

<2>當(dāng)你再作出AC的垂直平分線時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

林

圖1.4.1

解：＜1＞點(diǎn)尸與△ABC的三頂點(diǎn)距離相等，即B4=PB=PC.

＜2＞如圖,AC的垂直平分線也經(jīng)過P點(diǎn).即三角形的三條中垂線交于一點(diǎn).

例2如圖1.4.2,在△ABC中，已知AB=AC,。是A8的中點(diǎn)，且DELAB,交AC于

A

E.已知△BCE周長為8,且A8—BC=2,求AB、BC的長.A

分析：由題意可知QE垂直平分AB,則有/^\

因此△3CE的周長就轉(zhuǎn)化為AC+3C,問題即可解決.

解:因?yàn)?。是AB的中點(diǎn)，且OE上A3,所以?c

則ABCE的周長=BE+CE+BC~AE+CE+BC=AC+BC=8.圖142

又因?yàn)锳8—8C=2H8=AC,所以AC—BC=2.

由上可解得AC=5,BC=3.

回顧與反思＜1＞本題中利用"E是線段的垂直平分線上的點(diǎn)"得到"AE=BE”,

從而實(shí)現(xiàn)了"線段BE”的轉(zhuǎn)移，這是我們常用的方法；

＜2＞利用”線段的中垂線的性質(zhì)"可以說明兩條線段相等.

［訓(xùn)練與提高］

一、選擇題：

1.C2.D3.D4.A

二、填空題：

5.無數(shù)個(gè)6.6,27.10,8cm8.9cm

三、解答題：

9.24°10.連結(jié)AB,作AB的中垂線交直線L于P,點(diǎn)尸即為所求作的點(diǎn)

11.24cm12.＜1＞35°(2550

［拓展與延伸］

1.圖略(1只要任意找一個(gè)以A為頂點(diǎn)的格點(diǎn)正方形，過點(diǎn)/的對(duì)角線或其

延長線與BC的交點(diǎn)就是點(diǎn)P(2找與A為頂點(diǎn)的正方形中與A相對(duì)的頂

點(diǎn).

2.9cm

1.4線段、角的軸對(duì)稱性＜2＞

［實(shí)踐與探索］＜

例1如圖1.4.3,在△ABC中，已知NABC和0\

I

BC

NACB的角平分線相交于0.請(qǐng)問：

<1>你知道點(diǎn)。與△ABC的三邊之間有什么關(guān)系嗎？

區(qū)1143

<2>當(dāng)你再作出NA的平分線時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

解:<1>點(diǎn)。到△ABC的三邊的距離相等；

<2>如圖1.4.3,NA的平分線也經(jīng)過點(diǎn)0,即三角形的三條角平分線交于一點(diǎn).

例2已知：如圖1.4.44O〃8C,OC，BCAE平分N84。,且點(diǎn)E是。。的中點(diǎn).問：

AD.與45之間有何關(guān)系？試說明之.Ap

分析：此題結(jié)論不確定，從已知中收集有效信息，并大膽嘗試

（包括用刻度尺測量是探索、猜想結(jié)論的方法./^\

<1>將"AE平分NBA。"與"。結(jié)合在一起考慮,可以聯(lián)想到，慮二-----'c

若作Eb，AB于F,就構(gòu)成角平分線性質(zhì)定理的基本圖形，可得AE=AD圖144

<2>再結(jié)合"點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)"，可得：ED=EF=EC.于是連接8民可證

這樣

解：A。、BC與AB之間關(guān)系：AD+BC=AB.證明思路簡記如下：

作A3,連接BE,易證△ADEgAAFE<AAS>,：.AD=AF.

再由ED,EF=EC河得ABFE名ABCE<HL>,：.BF=BC,AD+BC=AB.

回顧與反思<1>根據(jù)例1的結(jié)論，我們可以在三角形內(nèi)找到一點(diǎn),使它到三角形

三邊距離都相等；

<2>利用角平分線的性質(zhì)，可以說明兩條線段相等，這也是我們常用的辦法.

［訓(xùn)練與提高］

一、選擇題：

1.A2.B3.A4.C

二、填空題：

5.線段的垂直平分線、角平分線6.37.90°

三、解答題：

8.略9.過尸點(diǎn)分別作垂線10.作圖略11.作MN的中垂線,NAOB的

平分線交點(diǎn)即是12.6cm

［拓展與延伸］

1.60°

2.略

1.5等腰三角形的軸對(duì)稱性＜1＞

［實(shí)踐與探索］

例1＜1＞已知等腰三角形的一個(gè)角是100°,求它的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；

＜2＞己知等腰三角形的一個(gè)角是80°,求它的另外兩個(gè)角的度數(shù).

分析：＜1＞由于等腰三角形兩底角相等，且三角形的內(nèi)角和為180°,所以100°的角

一定是這個(gè)三角形的頂角；

＜2＞等腰三角形的一個(gè)角是80°,要分底角為80°或頂角為80°兩種情況.

解：＜1＞由于等腰三角形兩底角相等，且三角形的內(nèi)角和等于180°,這個(gè)三角形的頂

角等于100°,所以這個(gè)三角形的另兩個(gè)內(nèi)角應(yīng)為100°＞=40°.

2

＜2＞①底角為80°時(shí)，另外兩角分別為80°和20°；②頂角為80°時(shí)，另外兩角分別為50°

和50。.

回顧與反思：＜1＞當(dāng)不知道已知的角是等腰三角形的頂角還是底角，此時(shí)須進(jìn)行討

論；＜2＞若把已知角改為火則這個(gè)等腰三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)是怎樣的呢？

例2如圖，在△ABC中為的中點(diǎn)，

OELAB,垂足為EQFLAC,垂足為凡試說明OE=O尸的道理.

分析：本題可以根據(jù)"角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等"來說明&

r\

DE=DF.也可以利用和△AC。面積相等來說明OE=O凡A

或用全等來說明./\

［訓(xùn)練與提高］/\

一、選擇題：

1.A2.C3.C4.C5.BDC

二、填空題：圖

6.5cm7.6cm,2cm,或4cm,4cm

8.(112.5(2a＞3,0＜Z?＜129.3,3,4或4,4,2

三、解答題：

10.(170。、40°或55°,55°(230°,30°11.75°,75°,30°

12.33cm13.108014.BD=CE.理由：'：AB=AC,：.ZB=ZC.'：AD

=AE,：.ZADE=ZAED.：.ZADB=ZAEC.：.AABD^AACE.：.BD=CE

［拓展與延伸］

1.100°

2.略

1.5等腰三角形的軸對(duì)稱性<2>

［實(shí)踐與探索］

例1如圖1.5.2,在△ABC中，已知NA=36°,ZC=72。,8。

平分NABC,問圖中共有幾個(gè)等腰三角形？為什么？

解：圖中共有3個(gè)等腰三角形.

,/Z/1=36°,ZC=72°,

.?.NA3C=180°—(ZA+ZC=180°-<36°+72°>=72°=ZC,

...△ABC是等腰三角形.

又8。平分NA8C,/.ZABD=ZCBD=

ZBDC=ZA+NA3O=360+36°=72°,

即有NA=NABD,NBDC=ZC.

...△ABO和△BCD都是等腰三角形.

.?.圖152中共有3個(gè)等腰三角形.

D

例2如圖1.5.3所示，在四邊形A8CD中,NABC=NAOC=

90°,M>N分別是AC8。的中點(diǎn)，試說明：

<1>DM=BM；3MNLBD.

解：<1〉?.?點(diǎn)M是RtAABC斜邊的中點(diǎn),...BM=LAC,

2圖

同理。M=-AC,：.BM=BM；

2

<2>?.9是8。的中點(diǎn),又8加=。加,，仰，8。.

回顧與反思<1>"等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”是證明角相等或邊相等的又一手

段，要能夠?qū)⑦@兩條定理結(jié)合在一起靈活運(yùn)用,要分清區(qū)別和聯(lián)系；

<2>看見直角三角形斜邊的中點(diǎn)時(shí),要聯(lián)想"直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半"，這是我們常用的思維方式之一.

［訓(xùn)練與提高］

一、選擇題：

1.D2.B3.D4.C

二、填空題：

5.等腰6.87.35°,-?8.(1ABDE^AADE(2ABCE

2

(3/AGE

三、解答題：

9.等腰三角形10.4ABC,zlAEF,21EBO,21FCO,OBCBE=CF=-EF

2

11.平行12.10cm

［拓展與延伸］

1.延長AE交BC延長線于產(chǎn)

2.略

1.5等腰三角形的軸對(duì)稱性<3>

［實(shí)踐與探索］

例1如圖1.5.4,在△A3C中,A3=AC,NBAC=

120°,點(diǎn)。、E^BC±.,S.BD=AD,CE=AE.判斷△4￡>￡：的形

狀,并說明理由.

解：△AOE是等邊三角形.

理由：'：AB=AC,ZBAC=120ZB=ZC=30°.

；BD=AD,AE=CE,

NB=ZBAD=300,ZC=ZCAE=30°,NADE=NDAE=NAEO=60°.

△AOE是等邊三角形.

例2等腰三角形的底邊長為5cm,一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分為兩

部分之差為3cm,則腰長為<>

A.2cmB.8cmC.2cm或8cmD.以上都不對(duì)

分析可以先畫出草圖，題中所給條件實(shí)質(zhì)是腰長與底邊長之差的絕對(duì)值為3

cm.因?yàn)榈走呴L為5cm,所以腰長可能為8cm或2cm,但由于2cm+2cm<5cm,

故腰長不能為2cm,只能為8cm.

解：選8.

回顧與反思涉及求等腰三角形邊或角時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)"兩解"的情況.這樣的"解"需要

檢驗(yàn)它是否滿足三角形的三邊或三角之間的關(guān)系.

［訓(xùn)練與提高］

一、選擇題：

1.D2.D3.C4.A5.C

二、填空題：

6.等邊、等邊7.15°8,120°

三、解答題：

9.10cm10、略11.［1EC=BD(2添加條件：AB=AC,是軸對(duì)稱圖形,

此時(shí),N3OC=120。，

12.過。點(diǎn)作AC平行線

［拓展與延伸］

1.添輔助線，通過4ACD之4BCE來說明

2.略

1.6等腰梯形的軸對(duì)稱性<1>

［實(shí)踐與探索］

例1如圖1.6.1,在梯形ABC。中力BC,AB=CD,

點(diǎn)E在上且平分是什么三角形？

請(qǐng)說明理由.

圖1.6.1

解：△(?￡>￡是等邊三角形.

因?yàn)锳D〃BC,AB=C2所以N8=NC理由："等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相

等”

又因?yàn)?/BC,所以ZADE=ZCED.由OE平分NAOC,可得ZADE=ZCDE,

于是NCED=NCDE.又因?yàn)锳B〃DE,所以NB=NCED,從而有NC=NCED=/

CDE,

所以△COE是等邊三角形.

回顧與反思等腰梯形與等腰三角形有著緊密的聯(lián)系.在研究等腰梯形時(shí),要聯(lián)想

到等腰三角形中的知識(shí).

例2如圖1.6.2,在梯形紙片A8CO中,AD〃BC,

NB=60°,AB=2,BC=6.將紙片折疊,使得點(diǎn)8與點(diǎn)。

恰好重合浙痕為AE,求AE和CE的長.

解???點(diǎn)3與點(diǎn)。沿折痕AE折疊后重合，

，AABE@AADE,

AZI=ZB=60°,Z3=Z4.

'：AD//BC,：.Z1=Z2=60°.

而N2+Z3+Z4=180°,，N3+Z4=120°,AZ3=Z4=60°,

而N8=60°,N5=60°,因此,△ABE是等邊三角形.

:.AE-BE=AB=2,：.CE=BC-BE=4.

回顧與反思解題過程中要把等腰梯形和一般梯形的特征區(qū)分開，不可誤用.

［訓(xùn)練與提高］

一、選擇題：

1.B2.C3.B

二、填空題：

4.108°,108°,72°5.276.①②③④7.1cm8.15°

三、解答題：

9.NA=NE10.72°、72°、108(\108°,11.成立

［拓展與延伸］

1.CE=-(AB+BC

2

過點(diǎn)C作CF〃。民交AB的延長線于點(diǎn)尸,先證：/DCB出/尸3C,則CF=DB,又

四邊形ABCD是等腰梯形，則AC=O氏故AC=CF,

易證：NA08=NAb,所以/Ab為等腰直角三角形.

又因?yàn)镃ELA8,易證：CE=AE=EF='臺(tái)+臺(tái)。.人沐

Z462\

1.6等腰梯形的軸對(duì)稱性的乂”……'’

［實(shí)踐與探索］

例1如圖,ZVIBC中,NAC3=90°,￡>是AB的中點(diǎn),。E〃AC,且DE=LAC,

2

點(diǎn)尸在AC延長線上，且CP=」AC,請(qǐng)說明四邊形AFED是等腰梯形.

2B

D

略證：先說明四邊形CEEO是平行四邊形.

由CD〃EF,NF=NACD,且CD是HT/XA3C斜邊上的中線

得NA=NF,證得四邊形AFED是等腰梯形

回顧與反思要證明梯形是等腰梯形時(shí),只要證明同一底上的兩個(gè)角相等.

例2閱讀下面的分析過程，并按要求回答問題.因

囹

已知在四邊形ABCD中,45=8,47=8。4。工3。.則四邊形ABCD是等腰梯

形.你能說明理由嗎？

分析：要證明四邊形ABCD是等腰梯形，因?yàn)樗灾恍枳C四邊形ABCD

是梯形即可；又因?yàn)锳DWBC,故只需證現(xiàn)有如圖所示的幾種添輔助線

的方法，可以任意選擇其中一種圖形，對(duì)原題進(jìn)行證明.

G

t\

/X

友，吵勺根利用全歲三財(cái)卓腰三角啜完師六彳（、、

■冢謙Qgm?自殺命我避過贊穌奏暨梯原會(huì)康女、'平、

E

行四邊形歌系起來.<4

<1<2圖1646

［訓(xùn)練與提高］…

一、選擇題：

1.C2.C3.B4.B5.C

二、填空題：

6.247.50°、50。、130。、130°,

8.是9.80°、80°、100°,等腰

三、解答題：

10.略11.AABC^ADCB

12.是,理由：VZE=ZACE,：.AE=AC'：AD//BC,：.ZDAC=ZACE

：.ZE=ZDAC'：AD=BE,：./COA，A8=CO.?.梯形ABCD是等腰梯

形.

13.'：AB=AC,：.ZABC=ZACB.

'：BD±AC,CE±AB,：.ZBEC=ZCDB=9Q°,BC=BC

：./BE8/CDB.：.BE=CD：.AE=AD.

180°-ZA180°-ZA

：.AED=ZADE=ZABC=ZACB=

22

ZAED=ZABC.：.ED//BC.

〈BE與CO相交于點(diǎn)A,...BE與CO不平行.

，四邊形BCDE是梯形.：NE3C=NOCB,.?.梯形BCDE是等腰梯形.

［拓展與延伸］

1.26,32

2.解：設(shè)經(jīng)過x秒后梯形M8N0是等腰梯形,

?.?作MELBC于點(diǎn)E,DF±BC于點(diǎn)F.

：.BE=FN=AM=x.：.EF=MD=21~x,CN=2x,BN=24—2x.

：.BN=2AM+MD.即24-2x=2x+21~x,.\x=l.

第一章復(fù)習(xí)題

A組：

1.A2,C3.B4.D5.C6.、18或21,227.350、35°；40°、

100。或70。、70°8.3cm或7cm9.7,10或8.5,8.5

10.(130°,(21911.100012.(140°,(235°,(336°

13.45°135°等腰14.等腰梯形15.3

5組：

16.略17.略18.2730019.提示：先證：4AOE絲4ADC,則。E=

DC,

所以ZDEC=NDCE,又EF//BC,所以ZDCE=NFEC,則ZFEC=ZDEC

12

20.—21.略

5

22.提示：連結(jié)CR、BP,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

第二章勾股定理與平方根答案

2.1平方根⑴

例1解：(l)V<±10>2=100,.\100的平方根是±10,即士而萬=±10；

⑵???<±1.3>2=1.69,，1.69的平方根是±1.3,即±J1.69=±1.3；

19399313

(3)V2-=-,<±±>2=的平方根是±2,即±J2-=±-;

442442V42

(4)VO2=O,.1.O的平方根是0,即Vo=0.

回顧與反思：⑴正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，要防止出現(xiàn)100的平方根是10

的錯(cuò)誤；

⑵當(dāng)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí).應(yīng)先將它化成假分?jǐn)?shù)后再求平方根；

⑶0的平方根只有一個(gè)，就是0,負(fù)數(shù)沒有平方根.

例2解：⑴:一64V0,...—64沒有平方根；

(2)4>2=16>0：；.<—4>2有兩個(gè)平方根，即±J(-4)2=±V16=±4；

⑶52=-25<0,二一52沒有平方根；

(4)：而表示81的正的平方根是9,V9>0,商的平方根有兩個(gè)是±3.

回顧與反思：象<一4>2、商這樣的數(shù)求平方根時(shí)，應(yīng)先將這些數(shù)化簡，再求化簡后的數(shù)

的平方根.

例3解：(1)V犬=196,；.X是196的平方根，即x=±如4=±14；

(2)V5》2—1。=0,；.%?=2x是2的平方根，即x=+V2；

(3)?/36(x-3)2-25=0,(x-3)2="，

.?.(犬一3)是§的平方根,即1一3=±=；

366

［訓(xùn)練與提高］

49

1.B-.2D；3B.4.3；5.±17：±4；6.+15；--；7.-1；-；8.9；81；9.0.10.(1)

-8；(2)±1.3；(3)--；(4)-9；11.(1)±5；(2)±9；(3)±-；(4)3,-1；12.25；13.±4.

32

I拓展與延伸I

1.±9；2.±3.

2.1平方根⑵

例1分析：710000表示10000的_________根；-、產(chǎn)表示上的算術(shù)平方根的相

V225225

49

反數(shù)；士、[弓49表示上的__________根.

V8181

解(1)710000=71007=100；

回顧與反思：A/10000表示10000的算術(shù)平方根，要防止出現(xiàn)J1000(r=±100的錯(cuò)誤.

探索：⑴發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí),(J￡)2=a.

⑵發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a>0時(shí),Ja?=a,當(dāng)a<0時(shí),=—a；當(dāng)a=0時(shí),=0.

a(a>0)

即=\a\=<0(〃=0).

-a(a<0)

例2解：⑴(一百尸=3；(2)J(-3)2=3；(3)當(dāng)x>0時(shí),(4>=x；

⑷當(dāng)a<0時(shí),3a<0,J%/=J(3a)，=|3a|=—3a.

a(a>0)

回顧與反思：等式J/=a(a20)和J/=|a|=<0(a=0)，是算術(shù)平方根的兩個(gè)重

一a(a<0)

要性質(zhì).以后經(jīng)常會(huì)用到它們.

［訓(xùn)練與提高1

77____

LB：2.A；3.24.0；5.Z)；6.C.7.⑴±15,15；(2)土一，一；(3)±0.1,0.1：(4)±V17,V17.

1212

(5)±2,2；8.—；±V39.a>0,2；10，Vx=9：11.-1；12.—3,互為相反數(shù).13.⑴1：(2)--；

166

AS7

⑶土一；(4)0.17；(5).5；(6)-0.3；(7)4-.(8)—.

13915

I拓展與延伸I

1.±5,±1；12.5.

2.2立方根

例1分析因?yàn)榱⒎脚c開方互為逆運(yùn)算，因此我們可以用立方運(yùn)算來求一個(gè)數(shù)的立方根,

也可以通過立方運(yùn)算來驗(yàn)證一個(gè)數(shù)是否為另一個(gè)數(shù)的立方根.

3

8_2

例1解(1)；

27-3

⑶略.

回顧與反思：⑴當(dāng)被開方數(shù)帶"一"號(hào)時(shí)，可把"一”提取到根號(hào)外后再計(jì)算;

⑵當(dāng)被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)先化成假分?jǐn)?shù)；

⑶當(dāng)被開方數(shù)沒化簡時(shí),應(yīng)先化簡后再求值.

例3解⑴2%3=-16,/=一8,*=^^=—2；⑵略

回顧與反思：平方根與立方根的區(qū)別如下：⑴表示的意義不同；⑵JZ與板中的被開

方數(shù)a的取值范圍不同，、石中的。應(yīng)滿足中的?？蔀槿魏螖?shù)；⑶一個(gè)數(shù)的平方根

與立方根的個(gè)數(shù)也不同,一個(gè)數(shù)的平方根最多有兩個(gè)，也可能是一個(gè)或者不存在，而它的立方

根總有且只有一個(gè)；⑷負(fù)數(shù)沒有平方根，但負(fù)數(shù)有立方根.

I訓(xùn)練與提高I

53

I.B；2.C；3.D；4.B；5.±8,4,8；6.—1,5,一—，一.7.100；±8；8.7,-3；9.

62

⑴一10；(2)--；(3)-；(4)-；(5)--；(6)3.(7)0.3；(8)6.10.(1)--.(2)8；(3)-16；(4)-

47235

4.11.(1)5；(2)^9；(3)-4；(4)-2.

［拓展與延伸］

1.V9；2.37.5cm2.

2.3實(shí)數(shù)⑴

例1如圖將兩個(gè)邊長為1的正方形分別沿它的對(duì)角線剪開，得到四個(gè)等腰直角三角形，即

可拼成一個(gè)大正方形，容易知道，這個(gè)大正方形的面積是2,所以大正方形的邊長是血.

/,圖廣

這就是"—淳1的正方形的對(duì)角線長是J2,利用這個(gè)事實(shí)，我們?nèi)菀自跀?shù)軸上畫出表

示后的點(diǎn)，如囪羲.

例2分析無理數(shù),'一是無限小數(shù)，二是不循環(huán).因此，要判定一個(gè)數(shù)是不是無

理數(shù)，應(yīng)從它的定義去判吉%表面上去印斷.如帶根號(hào)的數(shù)不一定是無理數(shù)，而我們熟

悉的圓周率乃就是無破.7^2:

解有理數(shù)有一3.1415926,333,50.13?,235.

11336

無理數(shù)有一萬，衿，J,0.1010010001….

2

回顧與反思：有理數(shù)與無理數(shù)的區(qū)別是：前者是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，而后者一定

是無限不循環(huán)小數(shù).

例3解⑴不正確.如2.35是無限小數(shù)，但它不是無理數(shù);

(2)不正確.如2.石是有理數(shù)，但它是無限小數(shù)；

⑶正確.因?yàn)闊o理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，當(dāng)然是無限小數(shù)；

(4)不正確.如"是有理數(shù).

［訓(xùn)練與提高I

22.d2

1.8；2.C；3.C.4.實(shí)數(shù)；5.V25,—,0,252252225,3.46；5.121121121-,—,-718,—.

723

6.V6；7.±V5.

［拓展與延伸］

1.C；2.8.

2.3實(shí)數(shù)⑵

例1分析在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)的意義與有理數(shù)范圍內(nèi)的意義完全相

同.所以我們可以用在有理數(shù)范圍內(nèi)的同樣方法來求一個(gè)實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值.

解⑴???V^64=-V64=-4,.\V^64的相反數(shù)是4,絕對(duì)值是4；

3—7T的相反數(shù)是71—3；：3—7TVO,，13—萬|=4一3.

(2)???|百|(zhì)=百,|一有|=6,???這個(gè)數(shù)是土石

解由圖可知,a<0,時(shí)=—a.":b<c,：.c—>0,|c—闿=c—b

a<0,。<0,；?+4=—ci—b,

|fl|+|c一q一+4=一a+(c—6)一(一ci-b)=-a+c—b+a+b=c

回顧與反思：⑴根據(jù)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置可以確定各數(shù)的符號(hào)以及這些數(shù)的大小關(guān)系；

⑵在求一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值時(shí)，首先要確定這個(gè)數(shù)的符號(hào)，然后根據(jù)”正數(shù)和零的絕對(duì)值是本

身，負(fù)數(shù)和零的絕對(duì)值是它的相反數(shù)”來求出它的絕對(duì)值.

⑶每個(gè)有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來，但數(shù)軸上的點(diǎn)并不都表示有理數(shù)，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)

數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，即每個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示，反過來數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表

示一個(gè)實(shí)數(shù).

例3解：(1：(石)2=5,(*)2=生,又5<竺，；.V5<-.

2442

回顧與反思：比較兩個(gè)無理數(shù)的大小,通?？梢杂糜?jì)算器求它們的近似值再進(jìn)行比較.

估算一個(gè)無理數(shù)的大小，還可以用與它相近的有理數(shù)逐步逼近的方法來實(shí)現(xiàn).

［訓(xùn)練與提高1

1.D：2.8；3.(1)2,2；(2)2-,2-；(3)-3,3；(4)75-2,75-2.4.<,<,<；5.-1,0,1：

33

6.V7-73；7.(1)2.02；⑵-10.95；(3)-0.98；(4)1.29：8.⑴-5；(2)-4；(3)5-V3-V5；

(4)—9.9.h—2a—2c.10<；<；<；>.

［拓展與延伸］

1.2a—b.2.4一。.

2.3近似數(shù)與有效數(shù)字

例1分析生活中形形色色的數(shù)，哪些是近似數(shù)？哪些是準(zhǔn)確數(shù)?需要我們仔細(xì)去辨別.

脫離了現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)，有時(shí)則無法區(qū)分.

解略.

例2解⑴43例精確到十分位〈即精確到0.1>,有3個(gè)有效數(shù)字,分別為4、3、8.

⑵0.03086精確到十萬分位，有4個(gè)有效數(shù)字,分別為3、0、8、6.

(3)2.40萬精確到百位，有3個(gè)有效數(shù)字,分別為2、4、0.

回顧與反思：由于2.40萬的單位是萬，所以不能看成精確到百分位，另外2.4萬和2.40萬

作為近似數(shù)，它們是不一樣的.

例3解(1)3.4802-3.48；⑵3.4802-3.480；

(3)3.1415926-3.14；(4)26802=2.7X104.

回顧與反思：(1本題⑴、⑵小題，由于精確度要求不同,同一個(gè)數(shù)的近似結(jié)果是不一樣的,

所以第⑵題中3.480后面的0不能省略不寫；反之同一個(gè)近似結(jié)果所對(duì)應(yīng)的原數(shù)也不一定相

同，你能舉例說明嗎？

(2第⑷小題中若把結(jié)果寫成27000,就看不出哪些是保留的有效數(shù)字，所以此時(shí)要用科

學(xué)計(jì)數(shù)法，把結(jié)果寫成2.7X104.

［訓(xùn)練與提高］

1.D；2.C；3.A；4.略；5.⑴百分位,4個(gè)；⑵個(gè)位,2個(gè)；⑶千分位,3個(gè)；⑷個(gè)

位,5個(gè)；⑸萬分位,3個(gè)；⑹萬位,3個(gè)；⑺百分位,3個(gè)；⑻百萬位,3個(gè).

［拓展與延伸］⑴IX102；(2)-0.54；(3)-3.64X103；；(4)3.5.

2.4勾股定理(1

c)

例1解:⑴在RSABC中，NC=90,，a2+b2=c2,?.?a=6,c=10,

.,.b=S.<b——S舍去,

⑵在RtAABC中，NC=90°,.../+〃=(?,..Z=40/=9,

.".c2a2+b2=1681,.,.c=41,,<c——41舍去,

⑶在RtAABC中,ZC=90°,：.a2+h2=c2,'：b=15,c=25,

/.a2—c1—b2=400?a=20..<a——20舍去〉

⑷在RtAABC中，ZC=90°,/.a2+fe2=c2,'：3a=4b,：.a：b=4：3,

設(shè)a=4勘=3匕則c—5k."."c—2.5,.,.k—0.5,.,.a—2?b—］..5.

回顧與反思：勾股定理反映直角三角形中三邊的關(guān)系，運(yùn)用勾股定理在直角三角形的三

邊中已知任意兩邊就可以求出第三邊.

例2解①;△ABC中，NAC8=90%4c=BC=1,

AB=7AC2+BC2=Vl2+12=V2,

?V/XABC中，ZACB=90°,BC=Mfi=2,

：.AC=ylAB'-BC2=722-l2=V3

回顧與反思：運(yùn)用勾股定理的前提是三角形必須是直角三角形.若已知條件中沒有直角

三角形時(shí),應(yīng)構(gòu)造直角三角形后方可運(yùn)用勾股定理.

［訓(xùn)練與提高］

1.D；2.A；3.13,60；4.225,39,225；5.5,776.5；7.49；8.13；9.用

［拓展與延伸］4.

2.4勾股定理(2

例1略

例2解：由題意得NAOB=9(T,AO=30,BO=40.

AB=dA(f+BCP=/―+正=50〈海里〉

答：1小時(shí)后兩艦相距50海里

例3分析此題首先要解決^ABC的面積，為此，可考慮作ADLBC于￡>.

解過A作于。，則AD2=AB2-BD1^AC2-CD2.

設(shè)BD=x，則CD=\4~X,：.\32—^=152—<14-X>2,

；.x=5即80=5,...">2=144.

1,

?*AD—12,SAABC~~—BC,AD—84w.

2

費(fèi)用84X50=4200元.

回顧與反思：(1勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，已知直角三角形中任意

兩邊就可以依據(jù)勾股定理求出第三邊.在實(shí)際問題中若存在現(xiàn)成的直角三角形，就可以直接運(yùn)

用勾股定理解決問題.

(2涉及面積計(jì)算往往需要添加輔助線<高>來構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理求得

相應(yīng)的線段,進(jìn)而求出所需面積.

［訓(xùn)練與提高I

1.D.2.D.3.4,6,2.4.7,1.8；5.3cm；6.略.

［拓展與延伸］

1.圖略；2.圖略.

2.5神秘的數(shù)組(

例1解⑴=72+24?=625=25?=。2.根據(jù)直角三角形的判定條件知，由

a、b、c為三邊組成的三角形是直角三角形，且NC=90。.

⑵=22+1.52=6.25=2.52=/.根據(jù)直角三角形的判定條件知，由人只。

為三邊組成的三角形是直角三角形，且NA=90。.

c>a,c>b,a2+b2+1?=皂，而c?=（二）a?+〃7c?,根據(jù)直

⑷16⑶9

角三角形的判定條件知，由a、氏c為三邊組成的三角形不是直角三角形.

回顧與反思：要判定一個(gè)三角形是否為直角三角形，只要計(jì)算兩條較短邊的平方和，以及

最長邊的平方，然后看它們是否相等即可.

例2解..?在AABD中,AB2+A/)2=9+I6=25=B￡>2,

/XABD是直角三角形,NA是直角.

?在△BCD中+

.?.△BCD是直角三角形,NQBC是直角.

,這個(gè)零件符合要求.

回顧與反思：像<3,4,5>、<6,8,10>、<5,12,13>等滿足a2+b2=c2的一組正整數(shù)，通常稱

為勾股數(shù).利用勾股數(shù)可以構(gòu)造直角三角形.

2222

例3解：a+b=(I-I)+(2〃>=-2/+1+4/=n^+2n+\.

=(/+1)2=c2根據(jù)直角三角形的判定條件，得NC=90。.

I訓(xùn)練與提高I

1.B；2.B；3.C；4.C；5.C；6.直角三角,8；7.12,13,5；直角三角形；8.直角三

角形，略

9.,：AB1BC,：.ZB=9O°,.^.4C2=4B2+BC2=5,又^.^AC2+CD2=5+4=9=A￡)2..^.NACZ)

=90°,，AC_LCD10.是，略；11.連接4(?,：/4/^:=90°AD=4,CD=3,：.AC2=AD2+CD2

=25,，4C=5,：AB=13,BC=12,：.AC2+BC?=25+144=169=AB2,ZACB=90°,5=30-6

=24.

［拓展與延伸］

1.連結(jié)EC；：D是BC的中點(diǎn),QE_L8C于D,交AB于E,：.BE=CE'：BE^EA1=AC2,/.CE2

-EA2=AC2,ACEr=EA1+AC2：./4=90°.2.略

2.6勾股定理的應(yīng)用(1

例1分析⑴根據(jù)勾股定理,直角三角形中若兩直角邊長分別為1個(gè)單位和3個(gè)單位，則斜

邊長為M個(gè)單位，因此，以原點(diǎn)為圓心，廂個(gè)單位長為半徑畫圓與數(shù)軸的交點(diǎn)表示的數(shù)即

分別為土

解：⑴如圖圖①；.

⑵如圖圖②______________.,

例2分析:幾何應(yīng)用問題重在將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化輸煙問題，此題若設(shè)業(yè)DAE、

△EBC均為直角三角形，且它們的斜邊相等，運(yùn)用勾股定理可建立方程.

解：設(shè)AE=xkm,則BE=<25—x>km.A?

,;CE=DE,：.CE2=DU.r

由勾股定理得l52+d=<25-x>2+102圖/c

解得x—10.口

答：E站應(yīng)建在距A站10km處.

回顧與反思：(1運(yùn)用勾股定理的前提是三角形必須是直角三角形.息知條件中沒有

直角三角形時(shí)，應(yīng)構(gòu)造直角三角形后方可運(yùn)用勾股定理.

(2勾股定理是直角三角形中三邊數(shù)量之間的一個(gè)關(guān)系式,也常被用作列方程的等量關(guān)

系；

［訓(xùn)練與提高］

1.8.2.C；3.34；4.5,13；5.24,4.8.6.VL7.能，略8.能，略；9.略；10.10；

11.4；12.25.

［拓展與延伸］

1.19.5/w；2.作ADLBC于。，設(shè)由題意10-?=172—々+9>2,解得x=6.由勾股定

理得AD=8.

2.6勾股定理的應(yīng)用⑵

例1分析：設(shè)EC=x，則￡>E=8—x,由于折疊長方形的邊AO,且D落在點(diǎn)F處，故△AFE

和4ADE全等，則EF=8—x4F=AO=10,在RtAEFC中，運(yùn)用勾股定理得到關(guān)于x的方程,

可以求出x的值.

解：設(shè)EC=xcm,則QE=<8-x>cm,

,：D.F關(guān)于AE對(duì)稱.?.△AFE絲△ACE,

：.AF=AD=BC^\O,EF=DE=S~x.

在RtAABF中,BF2=\lAF2-AB2=6

:.FC=BC-BF=4.

在RQEFC中，由勾股定理得：x2+42=(8-x)2,

解得x=3.

答:EC長為3cm..

回顧與反思：(1折疊問題和軸對(duì)稱密切相關(guān)，要注意翻折圖形的特征；

(2從應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題中，我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到把直角三角形中三邊關(guān)系”居+

從=。<看成一個(gè)方程，只要依據(jù)問題的條件把它轉(zhuǎn)化為我們會(huì)解的方程，就把實(shí)際問題的條

件轉(zhuǎn)化為解方程.

例2分析求證的結(jié)論中出現(xiàn)平方的形式，我們常可聯(lián)想勾股定理.要運(yùn)用勾股定理，首先

要找到與結(jié)論中的線段有關(guān)的直角三角形，若題中沒有現(xiàn)成的直角三角形，則需要構(gòu)造直角三

角形.

解作AE±BC于E,則在△ADE中力加=0^+人序；

又；ZBAC=90°AB^AC,：.AE^=BE=CE.

'：BD2+CD2=<BE~DE>2+<C￡+DE>2

=BE2+CE^+2DE2

=2AE2+2DE2=2AD\

：.BD1+Cb1=2AD1.

回顧與反思：(1在三角形中若要說明某個(gè)角是直角，常常想到勾股定理的逆定理.

(2說明含某些線段的平方形式的問題，常通過作垂線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理來

解決.

［訓(xùn)練與提高］

1.1.5.2.直角三角形；2.5.3.不一定，也可能只是“=〃；4.略；5(l)3,(2^CQ=x,

77

由題意62+f=<8—x>2,解得一.

44

［拓展與延伸］1.2a2；2.略.

第二章復(fù)習(xí)題1.±8；8；4；±5.2.—V9,71.3.-1,0,1.4.<,>.5.2—y/3,2—V3.

6.+4.7.±1,±2.8.12.9.2,3.10.V3+2.11.x20.任何實(shí)數(shù).12.(1)275.(2)

2百，(3)10,24.13.V41.14.30.15.B.16.C.17.B.18.8.19.C.20.C.21.(1)

±71.⑵一3.⑶3,—1；22.直角三角形.23.5cm.24.43.4.25.±1.26.2.27.2010.